高等幾何電子教案§1.1平行射影與仿射對應一.兩直線間的平行射影與仿射對應ABCD1.平行射影或透視仿射：若直線且,，≠≠

,點A,B,C,D……,過點A,B,C,D……作直線的平行線交于……，則可得直線到直線的一個映射。稱為平行射影或透視仿射，記為TABCD原象點：A,B,C,D……

直線a上的點平行射影的方向：直線透視仿射與方向有關，方向變了，則得到另外的透視仿射O點O為自對應點(同一平面上兩相交直線的公共點)映象點：……直線上的點記透視仿射T：………2.仿射（或仿射變換）：仿射是透視仿射鏈或平行射影鏈表示透視仿射鏈，T表示仿射（如圖）………………仿此，每一個對應點都可以這樣表示。注：1.仿射是有限回的平行射影組成的2.判斷仿射是否是透視仿射的方法：對應點的聯線是否平行3.書寫的順序與平行射影的順序是相反的二.兩平面的平行射影與仿射對應：1.平行射影：如圖點A,B,C共線a，則共線gABCal兩相交平面的交線為自對應點的集合即對應軸平面到平面的仿射是有限回平行射影的積組成的，是透視仿射鏈性質：1.透視仿射保留同素性.（幾何元素保留同一種類而不改變）即點對應點，直線對應為直線.2.保留點與直線的結合性2仿射：§1.2仿射不變性與不變量定義1

仿射不變性與不變量：經過一切透視仿射不變的性質和數量仿射圖形：經過任何仿射對應不改變的圖形.仿射性：經過任何仿射對應不改變的性質.仿射量：經過任何仿射對應不改變的數量.定理1：兩直線間的平行性是仿射不變性.（反證法）推論平行四邊形是仿射不變的圖形.定義2簡比：設A,B,C為共線三點，這三點的簡比（ABC）定義為以下有向線段的比：當點C在線段AB上時，(ABC)<0當點C在線段AB或BA的延長線上時，當點C與點A重合時，當點C與點B重合時，當點C為線段AB的中點時，(ABC)=-1則點C稱為分點，A,B兩點稱為基點簡比(ABC)等于點C分割線段AB的分割比的相反數例1經過點A(-3,2)和B(6,1)兩點直線被直線x+3y-6=0截于P點，求簡比（ABP）解:設(ABC)0(ABC)=0(ABC)不存在定理2共線三點的簡比是仿射不變量.定理3兩平行線段之比是仿射不變量.∴點P在直線x+3y-6=0上.ABC==要證:ABCDE證明:如圖,作DEAC,==∵簡比是仿射不變量∴定理4一直線上兩線段之比是仿射不變量.定理5在透視仿射下，任何一對對應點到對應軸的距離之比是一個常數gABC證明:設T為到的一個透視仿射,如圖并且則=若ABg,==g,則顯然成立.若ABg,=g,=過A,,B,分別引軸g的垂線垂足分別為由相似三角形得:定理2任意兩個三角形面積之比是仿射不變量.證明:分兩種情形特殊情形:有兩對對應點在對應軸g上并且重合.如圖ABCg一般情形:如圖對應三角形的三對對應頂點都不在對應軸上,△ABC與對應,三對對應邊相交于對應軸g上.ABCgXYZ由的證明可得:推論1在仿射變換下，任何一對對應多邊形面積之比是仿射不變量推論2在仿射變換下，任何兩條封閉凸曲線所圍成的面積之比是仿射不變量§1.3平面內的仿射變換及其決定一.平面內的透視仿射設為平面到平面的透視仿射，射影方向為.設為平面到平面的透視仿射，射影方向為.則gAB設T將上的點A變換為其本身上的點T將上的點B變換為其本身上的點aT將上的點變換為上的點,將上的直線a變換為上的直線,即T保留同素性和接合性.T將上的相交直線a,b變換為上的相交直線.T將上的平行直線

變換為上的平行直線.

和的交線g上的每一點經過T不變，且T具有仿射不變性與不變量，稱T為平面到自身的透視仿射定理1平面內的透視仿射由一對對應軸與一對對應點完全決定證明:設已知對應軸g與不在其上的一對對應點為平面上任一已知點定理2給定平面內的兩個三角形，至多利用三回透視仿射可使一個三角形變為另一個三角形BAXg連直線AB,設與對應軸g相交于X,連X與,則AX與是一對對應直線過B引的平行直線,與B對應的點就只能是這直線與的交點.∴是唯一確定的.BAgAB=ggoABC證明:把△ABC平移到使頂點A落在上,把平移看作透視仿射的特例.記為ABC∵對應軸不存在,對應邊互相平行再以直線為透視軸,以作為一對對應點確定一個透視仿射.最后以為對應軸,以作為一對對應點確定一個透視仿射T為仿射變換定理3原象點不共線，映象點也不共線的三對對應點決定唯一的仿射變換.若兩三角形有一對頂點重合,則利用兩回透視仿射就夠了.若兩三角形有兩對頂點重合,則利用一回透視仿射就夠了.仿射等價圖形:經過仿射變換可以互相轉換的圖形.任意三角形是仿射等價的.證明:存在性:設是平面內不共線的任意三點.也是不共線的任意三點.存在一個仿射變換T使在平面內任意取一點P,設交于Q.由定理2知.QP唯一性:設存在另一個仿射,在平面內任意取一點P,設于Q為仿射.∴保持接合性且簡比不變都在直線上.且有:∴對于平面上任意一點P,都有作業:§1.4仿射變換的代數表示設有一正交笛卡兒坐標系xoy，以E為單位點（如圖）。一個仿射變換T將平面上一點P變換為一點，求P的坐標（x,y）和的坐標之間的關系。仿射變換T由三對對應點唯一確定.設的坐標為X軸上的單位點的映象的坐標為y軸上的單位點的映象的坐標為設P在坐標軸上的正射影，且，則T將平行四邊形及分別變換為平行四邊形及.由于T保留簡比.則xyOP(x,y)或者寫為且因為三點不共線，三點不共線所以行列式不為O(1)(2)定義1把笛氏坐標系在仿射對應下的象叫仿射坐標系，叫點的仿射坐標，記為對于斜交笛氏坐標系，仿射坐標系，上面的代數式（1），（2）都成立。例1求使點（0，0），（1，1），（1，-1）分別變為點（2，3）,（2，5），（3，-7）的仿射變換。將點解:分別代入仿射變換的代數表示式得:∴仿射變換式為:例2求仿射變換的不變直線。解:設