第六章靜定結構的位移計算§6-1

概述§6-3

支座移動和溫度變化時的位移計算§6-4

靜定結構在荷載作用下的位移計算§6-5

圖乘法§6-6

互等定理§6-7

結構位移計算公式的另一種推導§6-2

變形體虛功原理及位移計算一般公式1§6-1

概述一.

靜定結構的位移：

靜定結構在荷載，溫度變化，支座移動以及制造誤差等外干擾因素的作用下，結構的某個截面或結點通常會產生水平線位移，豎向線位移以及轉角位移。1.

截面和結點的位移：桁架受荷載作用剛架受荷載作用ABCABC22.

廣義位移：

通常把兩個截面的相對水平線位移，相對豎向線位移以及相對轉角位移叫做廣義位移。

A，B截面的豎向線位移之和

A，B截面的相對豎向線位移ABa)支座B下沉溫度變化ABCABC3ABb)c)

A，B截面的相對豎向線位移

A，B截面的相對水平線位移ABq4e)d)桿件AB的轉角位移A

鉸結點A左、右截面的相對轉角位移AlB5結構的次梁跨中撓度:結構的主梁跨中撓度:結構的樓蓋跨中撓度:機械的吊車梁跨中撓度:二.

位移計算的目的：1）驗算結構的剛度：結構的設計規范中要求:62）為求解超靜定結構的內力和位移計算作準備

在求解超靜定結構時，只利用平衡條件不能求得內力或位移的唯一解答，必須補充位移連續條件。12kN7.5kN.m9kN.m2m2mAB

如右圖示超靜定單跨梁，若只滿足平衡條件，內力可以由無窮多組解答，例如：可以取任意值。7三.實功和虛功的概念：1.

實功：

力在由該力引起的位移上所作的功稱為實功。即：

右圖中，外力是從零開始線性增大至，位移也從零線性增大至。也稱為靜力實功。

FP1Δ182.虛功：右圖簡支梁，先加上，則兩截面1，2之位移分別為，。然后加，則1，2截面產生新的位移FP1FP212

力在由非該力引起的位移Δ上所作的功，叫作虛功。9實功：虛功：

虛功強調作功的力與位移無關，即它們之間沒有因果關系。FP1FP21210§6-2

變形體虛功原理

及位移計算的一般公式一.

變形體的虛功原理

定義：設變形體在力系作用下處于平衡狀態，又設該變形體由于其它原因產生符合約束條件的微小連續變形，則外力在位移上所做的外力虛功W恒等于各個微段內應力的合力在變形上所作的內力虛功Wi

，即:

W=Wi

。11下面討論W及Wi

的具體表達式：條件：1）存在兩種狀態：

第一狀態為作用有平衡力系；

第二狀態為給定的位移及變形。以上兩種狀態彼此無關。

2）力系是平衡的，給定的位移及變形是符合約束條件的微小連續變形。

3）上述虛功原理適用于彈性體和非彈性體。

12第二狀態（給定位移和變形）q(s)q(s)dsds第一狀態（給定平衡力系）沒有因果關系13外力虛功：微段ds的內力虛功dWi：整根桿件的內虛功為：14根據虛功方程W=Wi，所以有：實際結構通常有若干根桿件，則對全部桿件求總和得：15小結：

只要求兩個條件：力系是平衡的，給定的位移和變形是符合約束條件的微小連續變形。上述虛功原理適用于各類結構（靜定，超靜定，桿系及非桿系結構），適用于彈性或非彈性體。

考慮了桿件的彎曲，剪切及軸向變形。1)2)3)16

變形體虛功原理有兩種應用形式，即虛力原理和虛位移原理。虛力原理：虛設平衡力系求位移;虛位移原理：虛設位移求未知力。

二.

位移計算的一般公式所以:

在變形體虛功方程中，若外力只是一個單位荷載，則虛功方程為：

用變形體虛力原理求靜定結構的位移，是將求位移這一幾何問題轉化為靜力平衡問題。17

下面以圖示剛架為例對位移計算的一般公式加以具體說明。給定位移，變形虛設平衡力系ABC1.欲求

，則在C截面加上豎向單位載荷則該靜定剛架就產生了一組平衡力系。ABC182.位移計算一般公式------單位荷載法

外力虛功：

內力虛功：

所求位移：——給定的位移和變形。力和位移無關。3.小結1）——單位載荷在結構中產生的內力和支座反力，、、、19，則與同向；若求得的，3）外力虛功這一項前取正號。若求得的則與反向。2）正負號規則：

若及使桿件同側纖維伸長，則乘積為正，反之為負；乘積及的正負號分別由力與應變的正負號確定。使隔離體產生順時針轉動為正，反之為負，以順時針方向為正，反之為負；以拉力為正，壓力為負，

以拉應變為正，壓應變為負；若與同向，則乘積為正，反之為負。204）根據所求位移的性質虛設相應的單位載荷。圖示虛擬單位荷載分別用于求位移ABC①沿擬求位移方向虛設性質相應的單位載荷；②求結構在單位載荷作用下的內力和支座反力；③利用位移計算一般公式求位移。

5）求位移的基本步驟如下：21例6-2-1

已知桿AB和BC在B處有折角(見圖a)，求B截面下垂距離。給定位移b)a)1）將制造誤差明確為剛體位移，即在B截面加鉸，見圖b)。解：ABCl/32l/3ABCl/32l/3222）虛設平衡力系如圖c)所示。運用虛功方程W=0得：給定位移b)虛設平衡力系c)1/3ABCl/32l/32/312l/9ABCl/32l/323例6-2-2

已知桿AB在B左、右截面有豎向相對錯動(見圖a)，求。ABCl/32l/3a)BABCl/32l/3b)給定位移1）將制造誤差明確為剛體位移，將截面B變為滑動聯結，見圖b)。解：242）虛設平衡力系如圖c）所示。運用虛功方程W=0得：c)虛設平衡力系1/lABCl/32l/311/l1/l1/lb)給定位移BABCl/32l/325例6-2-3

已知一直桿彎曲成圓弧狀，求桿中撓度。虛設平衡力系如圖所示，運用變形體虛功方程

，得：給定位移虛設平衡力系ABCl/2l/2l/41/21/21CABRl/2l/2解：26三.廣義位移的計算:求圖a）結構A，B截面相對水平位移。+a)給定位移c)

虛設單位荷載

1AB1b)AB11d)

虛設單位荷載

2AB1=qABΔAHΔBH27虛設單位載荷如上頁圖c)，d)所示，則有：由上圖b)，可得：所以，得：28

所以，為了求兩個截面的相對位移，只需要在該兩個截面同時加一對大小相等，方向相反，性質與所求位移相應的單位荷載即可。下面給出幾種情況的廣義單位荷載：1)q求ABC11單位荷載ACB29AB1/l1/l單位荷載ABlΔAVΔBV求+)/l=(ΔAVΔBV2)ABFP1AB求ΔAV-ΔBV1AB11求ΔAV+ΔBVΔAVΔBV(A，B截面豎向位移之和）(A，B截面相對豎向位移）原結構3)30例6-2-4

因溫度變化底板AB彎曲成半徑R=10m之圓弧狀，求截面C、D的相對水平位移。給定位移虛設平衡力系CR=10mD0.7mAB2mCD0.7AB110.7

在截面C、D上加一對大小相等，方向相反，沿水平方向的單位荷載，如圖所示。解：31注意：AC、BD桿無彎曲變形。32§6-3

支座移動和溫度變化所引起

位移的計算一.

支座移動所引起位移的計算說明：1）等號右邊的負號是公式推導而得出，不能去掉。2）若

與方向相同，則乘積為正，反之為負。

若靜定結構只有支座移動而無其他因素作用，則結構只產生剛體位移而無變形，故對于桿件的任意微段，應變均為零。所以支座移動時的位移計算公式為：33例6-3-1

已知剛架支座B向右移動a,求

解：1）求：CABhd/2d/2aDCAB1d/4hd/4h0.50.5求D在C點加一個豎向單位力，做虛擬的單位力狀態：34CADB10.50.5h/dh/d求ΔDHd/2d/22）求：CADB1/h1/h00求ΔφCd/2d/2113）求：CABhd/2d/2aD35二.

溫度變化所引起位移的計算

靜定結構在溫度變化作用下各桿件能夠自由變形，所以在結構的支座中不會產生支座反力，因而也不會產生內力。1.是溫度改變值，而非某時刻的溫度。某時刻溫度另一時刻溫度t1,t2是溫度改變值36

2.溫度沿桿件截面厚度方向成線性變化。截面上、下邊緣溫差：對于矩形截面桿件，，。hb桿軸線處溫度改變值：h1h2ht1t2dsh1h2ht1t2t2-

t1dt37拉應變：彎曲應變：剪應變：4.溫度改變所引起的位移的計算公式：3.微段的應變：38小結：以溫度升高為正，降低為負，以拉力為正，壓力為負。2）1）正負號規則：及溫度變化使桿件同一側纖維伸長（彎曲方向相同），則乘積為正，反之為負。39例6-3-2求圖示剛架C截面水平位移。已知桿件的線膨脹系數為，桿件矩形橫截面高為h。解：CABdd1CABdd圖11CAB圖111.作虛擬狀態的內力圖，如上圖

b）,c）所示。圖a）圖b）圖c）402.

應用位移計算一般公式,計算所求位移:41§6-4

靜定結構在荷載作用下的

位移計算一.

基本公式虛設平衡力系CABDFP=1給定位移和變形

求下圖示結構在荷載作用下的位移。FPCABqDD42

若結構只有荷載作用，則位移計算一般公式為：

上式適用條件：小變形，材料服從虎克定律，即體系是線性彈性體。

在荷載作用下，應變與內力的關系式如下：（式中k為剪應力不均勻系數）43正負號規則：正正負負1）不規定和的正負號，只規定乘的正負號。若和使桿件同一側纖維受拉伸長，則乘積為正，反之為負；

44

若結構除荷載外，還有支座移動和溫度變化的影響，則位移計算公式為：2）和以拉力為正，壓力為負；3）和的正負號見下圖。45二.

各類結構的位移計算公式1.梁和剛架：

在梁和剛架中，由于軸向變形及剪切變形產生的位移可以忽略，故位移計算公式簡化為：

在高層建筑中，柱的軸力很大，故軸向變形對位移的影響不容忽略。

對于深梁，即h/l

較大的梁，剪切變形的影響不容忽略。462.桁架：

桁架各桿只有軸力，所以位移計算公式為：3.拱：拱軸截面軸向變形的影響，通常不能忽略：4.組合結構：用于梁式桿用于二力桿區分桿件47例6-4-1求簡支梁中點豎向位移，并討論剪切變形對位移的影響。qxAMPFSPql/2ABqCl/2l/2ABCl/2l/2xA0.5xx48解：49

若桿件的截面為矩形，則k=1.2；又μ=1/3，則E/G=2(1+μ)=8/3，I/A=h2/12。若h/l=1/10，則

h/l=1/2，則可見，剪切變形的影響不能忽略。50§6-5

圖乘法

圖乘法是一種求積分的簡化計算方法，它把求積分的運算轉化為求幾何圖形的面積與其形心對應豎標的乘積的運算。一.

圖乘法的基本公式

為方便討論起見，我們將把積分改寫成。51Mi圖yxMk圖dω=MkdxMk(x)xdxAByxMi(x)=xtgxAB52說明：3）若與在桿軸或基線的同一側，則乘積

取正號；若與不在桿軸或基線的同一側，則乘積取負號。2）

與的取值：一定取自直線圖形，則取自另一個圖形，且取的圖形的形心位置是已知的，不必另行求解。1）適用條件：桿為等截面直桿，即等于常數；

與圖形中至少有一個是直線圖形。53二.常見圖形的幾何性質l/2l/2二次拋物線hω5l/83l/8二次拋物線hω二次拋物線3l/4l/4hω二次拋物線hω?54三.運用圖乘法計算結構的位移舉例

運用圖乘法進行計算時,關鍵是對彎矩圖進行分段和分塊,尤其是正確的進行分塊。M2M12l/3l/3M1M22l/3l/355分段：圖均應按直線圖形的斜率變化情況分為相應的若干區段，然后進行計算。ABCD圖ABCD圖56分塊：只對或中的一個圖形進行分塊，另一個圖形不分塊。ABAB57例6-5-1求圖示懸臂梁端部A點的豎直位移。解：作和，如上圖所示。圖MP圖分段：，，分為AC、CB兩段。分塊：圖的CB段分為兩塊。MP圖圖采用圖乘法計算：FPCBy1y2y3EI1EI2AMP圖ACBEI1EI2ω1ω2ω31圖58

此題還可以這樣處理：先認為整個AB桿的剛度是，再加上剛度為的AC段，再減去剛度為的AC段即可。CBACACAω1ω2ω2MPEI2EI2EI1EI2+-FPACBACACEI2EI2EI1EI2y2y2+-y1159例6-5-2求懸臂梁中點C的豎向位移,EI等于常數。解：作圖圖，如右圖所示。MPA1CB2ω2y1圖分段：，分為AC、CB兩段。分塊：圖的AC段分為兩塊。MPMP采用圖乘法計算：16A4CBω1MP圖y2ACB2m2m2kN/m60

如果將AC段的圖如下圖那樣分塊，就比較麻煩。

16A4C84圖例6-5-3

求簡支梁端B截面的轉角位移,EI等于常數。4kN5kN2kN/m12kN.m4kN.m7kN4m4mACB解：4kNm4kN2kN/m2mAC作圖圖，如下頁圖所示。611/21y1ω2y3圖1BAC81244MP圖ω1ω3y2ACB（kN.m)采用圖乘法計算：62例6-5-4求簡支梁中B截面的轉角位移,EI等于常數。解：

作圖及圖，如右所示。6kN/m7kN6kN.m17kN2m4mABC1/61/62/31/31ω2y3y1圖圖1412ω1ω3（kN.m)6分段：，分為AB、BC兩段。分塊：圖的BC段分為兩塊。采用圖乘法計算：631/61/62/31/31ω2y3y1圖6圖1412ω1ω3（kN.m)64解：ABC2kN/mEIEI2kN/m4m2m例6-5-5

求懸臂剛架C點的水平位移，EI等于常數。分塊：圖的AB段分為兩塊。作圖和圖見下頁圖。654ω2y3=412ω1MP圖(kN.m)2m2y22y1圖1ω3ABC4采用圖乘法計算：66§6-6

互等定理

互等定理適用于線性變形體系，即體系產生的是小變形，且桿件材料服從虎克定律。一.功的互等定理功的互等本質上是虛功互等。下圖給出狀態I和狀態II

。AB12ab狀態I狀態IIAB12ab67

令狀態I的平衡力系在狀態II的位移上做虛功，得到：AB12ab狀態I狀態IIAB12ab68

同樣，令狀態II的平衡力系在狀態I的位移上做虛功，得到：所以即69在任一線性變形體系中，第一狀態的外力在第二狀態的位移上所做的虛功W12等于第二狀態的外力在第一狀態的位移上所做的虛功W21。二.位移互等定理

在任一線性變形體系中，由荷載FP1引起的與荷載FP2相應的位移影響系數δ21等于由荷載FP2引起的與荷載FP1相應的位移影響系數δ12。即即功的互等定理位移互等定理70由功的互等定理可得：

在線性變形體系中，位移Δij與力FPj的比值是一個常數，記作δij，即：或于是所以狀態II12狀態I1271說明：1）

δij也稱為柔度系數，即單位力產生的位移。

i

產生位移的方位；

j

產生位移的原因。2）

FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，則相應的δ12和δ21就是線位移影響系數或角位移影響系數。即荷載可以是廣義荷載，而位移則是廣義位移。兩個廣義位移的量綱可能不等，但它們的影響系數在數值和量綱

上仍然保持相等。狀態II12狀態I1272例6-6-1

試驗證位移互等定理。解：FP1=Fa/2a/21EIΔ2121FFa/41/2a/2a/21EIFP2=MΔ122M1a/4M/273所以例6-6-2

試驗證位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kNmΔ2124m1m1EIFP2=3kN2Δ1274解：所以11113FP2=3kN5FP1=5kNm75三.反力互等定理

反力互等定理只適用于超靜定結構，因為靜定結構在支座移動時只產生剛體位移，其內力和支座反力均等于零。根據功的互等定理有：即:12FR22FR12狀態II12FR21FR11狀態I76

在線性變形體系中，反力FRij與cj的比值為一常數，記作rij，即或所以得說明：

rij也稱為剛度系數，即結構產生單位位移所需施加的力。其量綱為。

i

產生支座反力的方位；

j

產生支座移動的支座。77例6-6-3

試驗證反力互等定理。在任一線性變形體系中，由位移c1引起的與位移c2相應的反力影響系數r21等于由位移c2引起的與位移c1相應的反力影響系數r12。12EI

,

lr12可見：r21=3EI/l23EI/l12r21EI

,

l3EI/l3r12=3EI/l2反力互等定理78四.位移反力互等定理根據功的互等定理有：令

上述支座可以是其它種類的支座，則支座位移,支座反力應與支座種類相應。狀態I12FR21狀態II1Δ12279所以由此得到即

上式中的力可以是廣義力，位移可以是廣義位移。符號相反表明：虛功方程中必有一項，其力和位移方向相反。系數，的量綱都是。在任一線性變形體系中，由