2021-2022學年度下學期期中考試高二試題數學第I卷（選擇題，共60分）一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項符合要求）.已知數列｛4｝的前〃項和公式為"=21+2%則數列｛%｝（）A.是公差為4的等差數列B.是公比為2的等比數列C.既是等差數列又是等比數列D.既不是等差數列又不是等比數列.用數學歸納法證明1+2+2?+…+2"2<2〃+3（〃￡乂）時，第一步需要驗證的不等式是（）A.1<24B.1+2<24C.1+2+22<24D.1+2+22+23<24.函數y=-ln（cos光）的導數是（）11A.B.C.—tanxD.tanxcosxcosx4.以模型y=c聲去擬合一組數據時，為了求出回歸方程，設z=Iny,其變換后得到線性回歸方程z=2%+1,則c=（）A.2B.y[eC.eD.e1.做一個容積為8〃立方米的圓柱形無蓋（有底）水箱，為使用材料最省，它的底面半徑，為（）A.1米B.血米C.2米D.2亞米為正奇數）一〃（幾+2）'7-.已知數列｛4｝滿足％=彳'7，則數列｛4｝的前10項和為（）為正偶數）\nJ8-101「101c81小A.—FIn6B.FIn6C.In2D.—In2TOC\o"1-5"\h\z911119.已知數列｛4｝滿足：Q〃+1—4=（—4=2,若存在〃￡N+使得不等式4?2〃2〃2〃成立，則實數2的取值范圍是（）1343A.4〉B.22—1C.2〉D./I>0832（2、r2-i-4r+f7—5.若不等式4+-Inx<。對任意X￡（l,+8）恒成立，則實數。的取值范圍是（）所以函數/(x)在區間［l,e］上的最小值為/(〃)=——a2-a+a\na；③當時，函數/(x)在區間［l,e］上單調遞減，所以函數〃尤)在區間［1,4上的最小值為=—e”+——e.1/n3(a?l)即：mlaJL,—cC—a+aInq2(a>e)易知當QMl時機(Q)G3——,+oo

2e2e-oo,2當leave時,m(6z)-a2-a+alna92則m'(a)=lna—a,由(1)證明過程得知Inx〈光一1vx,即m'(q)vO,所以函數加在Q￡(l,e)上單調遞減，此時機(。)￡綜上"2(〃)e(e2—00,I2‘上_3、3一,+002=R,函數m(a)的值域為尺.A.a>\B.a>\C.a>0D.a>0二、多選題（本題共4小題，共20分，每題選項全對給5分，少選或漏選給2分，錯選、多選和不選給0分）9.下列選項錯誤的有（）??A.兩個變量線性相關性越強，則相關系數，就越接近1.B.若1,x,歹，z,4成等比數列，則實數y=±2.C.線性回歸方程對應的直線y=+a至少經過其樣本數據點中的一個點.D.函數=一/+x+i沒有極值點.10.已知函數/。）=/任7—1）,則下列選項正確的有（）A.函數/（X）極小值為,極大值為3.B.函數存在3個不同的零點.C.當丁三［一2,2］時,函數八％）的最大值為D.當一時'，方程〃司二左恰有3個不等實根.11.數列｛4｝的前〃項和為S〃，且q=l,S川=44+1（〃￡乂），則下列選項正確的有（）A.a.=12.B.數列也用一2?！ǎ堑缺葦盗?D.數列%｝的前10項和為1024.5gC.數列｛4｝的通項公式為4二—D.數列%｝的前10項和為1024.12.已知函數/（x）=xln（x+l）,g（x）=ex（l-x）+a,則下列選項正確的有（）A.函數/（x）在原點（0,0）處的切線方程為y=0.B.存在實數1儀―1,+8）,使得不等式成立，則實數〃的取值范圍是1.C.當x￡（0,+oo）H寸，不等式xln（x+l）—，/一］<o恒成立.D.設王，/￡尺且若g（xj=g（x2），則西+々〉。.第II卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.設偶函數在R上存在導函數/'（X）,且/（%）在點（2,/（2））處的切線方程為y=3x,則/（—2）=14.小李向銀行貸款14760元，并與銀行約定：每年還一次款，分4次還清所有的欠款，且每年還款的錢數都相等，貸款的年利率為0.25,則小李每年所要還款的錢數是元.15.已知定義在A上的函數/（x）=2023?15.已知定義在A上的函數/（x）=2023?x3898J73H2022’2022、<1949>.已知函數%）=*2+二+上+小則不等式/（九+3）2/（2九+1）的解隼為四、解答題（本題共6小題，共70分）.（本題10分）已知函數/（x）=，x2-Qx-21nx（Q￡R）.（1）當4=1時，求函數/（X）的單調區間和極值；（2）若函數/（X）在區間［1,+8）上單調遞增，求實數4的取值范圍..（本題12分）2022年北京冬奧組委會發布的《北京2022年冬奧會和冬殘奧會經濟遺產報告（2022）》顯示，北京冬奧會已簽約200家贊助企業，冬奧會贊助成為一項跨度時間較長的營銷方式.為了解該200家贊助企業每天銷售額與每天線上銷售時間之間的相關關系，某平臺對200家贊助企業進行跟蹤調查，其中每天線上銷售時間不少于8小時的企業有100家，余下的企業中，每天銷售額不足30萬元的企業占口,統計后得到20如下2x2列聯表:銷售額不少于30萬兀銷售額不足30萬兀合計線上銷售時間不少于8小時75100線上銷售時間不足8小時合計200（1）完成上面的2x2列聯表；（2）根據2x2列聯表，判斷能否有99.5%的把握認為贊助企業每天的銷售額與每天線上銷售時間有關.0.10.10.050.010.005k2.7063.8416.6357.8790.10.050.010.005k2.7060.10.050.010.005k2.7063.8416.6357.879附:Z2二1.（本題12分）已知數列｛4｝滿足：+（〃￡N+J且q（1）求數列｛%｝的通項公式；

（（2）設數列也〃｝滿足:（2）設數列也〃｝滿足:b（2）設數列也〃｝滿足:b〃=——nen+V%）,求數列松〃｝的前〃項和S〃..（本題12分）在某化學反應的中間階段，壓力保持不變，溫度x（單位：°C）與反應結果歹之間的關系如下表所示:X2468y30405070（1）求化學反應結果歹與溫度x之間的相關系數/（精確到0.01）；（2）求〉關于x的線性回歸方程；（3）判斷變量x與歹之間是正相關還是負相關，并預測當溫度達到10℃時反應結果大約為多少.〃別為務二*-〃別為務二*-儲:-〃（q/=!a-y-bx.相關系數r=1二Vi=lVi=i參考數據：2.646..（本題12分）已知數列｛%｝滿足q=，，且3?！?1—?！??！?]（1）求的，%，并猜想｛4｝的通項公式；（2）用數學歸納法證明（1）的猜想結果；（3）設數列｛bn｝滿足bn=（2〃+3）?3〃?an（九”），求數列｛2｝（幾￡N+）的前〃項和Sn..（本題12分）已知函數/（X）-（Q+i）x+q]nx（a￡H）,（1）試比較In（2022e）與2022的大小關系，并給出證明；⑵設函數g（x）=ca-alnx+l（Q￡H）,若函數/（%）的圖像恒在函數g（x）的圖像上方，求實數q的取值范圍；（3）函數在上的最小值記為用（。），求函數加（。）的值域.2021-2022學年度下學期期中考試數學參考答案及評分標準一、單項選擇題（每題5分，共40分）1—5ADDCC6—8BAD二、多選題（每題5分，共20分，每題選項全對給5分，少選或漏選給2分，錯選、多選和不選給0分）9.BC；10.AC；11.AB；12.AC.

三、填空題（每題5分，共20分）13.-3；14.6250；15.73；16.[-2,2].四、解答題（共70分）17.（本題10分）解（1）函數/（%）的定義域為（0,+oo）,當a=l時，/一%一21n%22求導得廣（力=工—1——，整理得:2求導得廣（力=工—2求導得廣（力=工—1——，整理得:/，（%）=（%—2）（乂+1）JC由/'（x）＞0得x〉2；由/'（x）＜0得0＜x＜2從而，函數/（x）減區間為（0,2],增區間為：[2,十句極小值為：/（2）=-21n2,無極大值.（注：單調區間如果寫成全開區間，不扣分）2（2）由已知x￡[l,+oo）時,/'（%）20恒成立,即x—a——20恒成立,TOC\o"1-5"\h\z2（2、即怛成立，則X.X\-^7min22令函數g（x）=x——（x＞l）,由g'（x）=1+二〉。知g（x）在[l,+oo）單調遞增,XJC從而。〈屋可疝產且⑴:一1.經檢驗知，當。=—1時，函數/（X）不是常函數，所以。的取值范圍是。＜—1.（注：第（2）問結果為。＜—1的，扣1分，未檢驗〃=—1不扣分）18.（本題12分）解（1）由題意分析可得：簽約企業共200家，線上銷售時間不少于8小時的企業有100家，那么線上銷售時間不足8小時的企業有100家，每天的銷售額不足30萬元的企業占口,共有100xU=55家.2020完成2x2列聯表如下:銷售額不少于30萬兀銷售額不足30萬元合計線上銷售時間不少于8小時7525100線上銷售時間不足8小時4555100合計12080200

―/?200x(75x55-25x45)(2)由題意，得力?二\J120x80x100x100975計算得力？=18.75（結果寫成假分數一、近似為19、近似為188以上情況只扣1分；其它情況按錯誤處4理，本檔3分不給）由于18.75>7.879故有99.5%的把握認為贊助企業每天的銷售額與每天線上銷售時間有關.（注：如果卡方結果錯誤，最后的2分不給；如果臨界值選錯，最后的2分不給）19.（本題12分）解(1)由已知％=(〃+1)4+](〃￡乂)以及q=1可知％00,從而有3ann+1v-V/i根據累乘法得：4生。31114

an-\=X—X—x???x234*2)整理得：a2x3x4x???從而有3ann+1v-V/i根據累乘法得：4生。31114

an-\=X—X—x???x234*2)整理得：a2x3x4x???x〃=*2)由于該式對于〃=1也成立，于是數列｛%｝的通項公式為：%=?幾5）（注：通項公式結果寫成：a(2)???4=t4〃￡乂),〃n+r+7〃=1(〃￡%)的形式，不扣分)Ix2x3x???x〃%=」(〃cN+)n\,n??bn=7-所以：20.（本題12分）,Im―r/rj—2+4+6+8―解(1)由題后可得x==5,y=430+40+50+70…二47.5，所以相關系數r二1301313a720x78755a35（2）根據（1）數據得4率x-4xy60+160+300+560-4x5x47.5130，-]4_2之X；-4xz=l22+42+62+82-4x52206.5,a==47.5-6.5x5=15,因此，回歸直線方程為y=6.5x+15；（3）???務=6.5>0,與y之間是正相關,當x=10時，y=6.5x10+15=80,J當溫度達到10℃時反應結果大約為80.21.（本題12分）%=9,%=9,猜得:9%=9,猜得:%=9,猜得:92〃一1=〃2n+3（2）證明：（i）〃=1時，猜想成立,（ii）假設〃=左（左21）時猜想成立,即ak=2k—1則〃=k+1時,由3%+i2k—12k—14+i2k+312^+3解得以+i2^+12（左+1）—12攵+5-2億+1）+3即幾=后+1時猜想成立,2〃一1綜上，時;猜想成立，即。〃=.〃2〃+3（3）由已知得2=（2〃一1）?3〃，則=1x3+3x32+5x33+???+（2幾一1）x3〃記為①式3S〃=1x32+3x33+5x34+.??+（2〃-1）x3〃*記為②式①式與②式相減得：整理得—25〃=-6+（2—2〃）3向所以5〃=（〃_1）3向+3（注：由于第（3）問依賴于第（2）問，如果第（2）問沒有證明、證明錯誤、證明不完整，第使正確，也要扣1分）22.（本題12分）（1）ln（2022e）<2022.（3）問結果即證明：令函數"（x）=lnx-x-l（x＞0）求導得/（%）=上三，由“（X）＞0得X￡（0,1）,即函數h（x｝在（0J］上單調遞增；由由（x）＜0得％￡（l,+oo），即函數在［1,+00）上單調遞減,所以/2（x）＜/2⑴=0,即lnx＜x—1,當且僅當x=l時等號成立,從而In2022V2022—1,S|J1+In2022<2022,即ln(2022e)<2022.（注：如果結果正確，但未證明，給1分；如果結果寫成民“ln（2022e）＜2022”按錯誤處理）（2）由已知V光￡（0,+oO）,/（X）＞g（x）恒成立,一(〃+l)x+alnx>or—alnx+1恒成立,19整理得：—x1-lax-x+2a\nx-\>0.2法1：令函數/(%)=l%2—2度一1+2。111%—1(%>0),r\求導得：Ff(x)=x-26Z-1+—=JC3①〃>0時，由于歹(1)=—2〃—所以。>0不合題意.x2~^2a+\)x+2a(工-1)(尤-2〃)0,即耳（X）無法恒大于0.②〃（0時，易知尸（X）在區間（0,1］上單調遞減，在區間［1,+8）上單調遞增,為使函數*x）＞0恒成立，只需函（%）同=尸（1）＞0,由此解得:3ci<—4綜上：ci<—4法2：2〃(x-lnx)由（1）證明過程得知lnx〈x-l＜九，即x-lnx＞0,—x2-X-1所以恒成立，x-lnx—x2-x-1令函數0（x）=2（%＞0）,則H(x)=(\\一x"—%—11—12X)—X2-X-12整理得H(x)=(x-lnx)23+1+」2x)_(x-lnx)2x1、--1HX+1+-(x-lnx)212(x-