1.5場向量的微分方程-波動方程MAXWELL微分方程組，在數學上多重耦合、多變量、求解困難.一般先導出由單個場向量所給定的解耦的微分方程。由MAXWELL方程組導出由場向量H、B、E、D或J所滿足的偏微分方程。H的導出方程：

對于線性、均勻且各向同性媒質，設場域中無自由電荷，則由式（1-1）取旋度，并以：J=gE

代入，便得由于

代入（1-27），即得同理可證

式（1-28）、（1-29）就是由一個場分量（H、B、E、D）所描述的一般齊次波動方程。

在特定情況下，基于以上各場分量的導出方程可進一步分別歸結為：(1)理想介質（g=0）中的電磁波方程（波動方程）

(2)良導電媒質（g>>we）中的渦流方程（擴散或熱傳導方程）

(3)正弦穩態時變場中的渦流方程（相量形式的擴散或熱傳導方程）

(4)沒有自由電荷分布區域中的靜電場方程（拉普拉斯方程）

(5)沒有傳導電流分布區域中的恒定磁場方程（拉普拉斯方程）

1.6位函數的微分方程

---位函數和波方程一個場向量的微分方程對應于三個標量微分方程。即在任一場點上，待求的自由度數是三個，因此離散化后的自由度數是相當可觀的。為減少待求自由度數，提高計算效率，同時，也為了簡化概念，構造簡便的數學模型，引入和應用各種電磁場位函數。(有源）位函數引入多種輔助函數，即位函數（如電位），然后由源（如電荷）求位函數，再由位函數計算電場或磁場。位函數有：矢量位A，標量位f，赫茲（Herz）矢量位P位函數定義如下(周希朗）可以證明，位函數滿足以下形式的微分方程因上各式的解為波函數，因此也稱它們為波（動）方程。在無無源源無無耗耗區區，，赫赫茲茲位位滿滿足足以以下下方方程程由赫赫茲茲位位計計算算電電場場和和磁磁場場的的公公式式為為在直直角角坐坐標標系系中中，，矢矢量量位位的的三三個個分分量量均均滿滿足足波波動動方方程程；；在柱柱坐坐標標系系中中，，矢矢量量位位的的z分分量量滿滿足足波波動動方方程程；；在球球坐坐標標系系中中，，矢矢量量位位的的所所有有分分量量均均無無法法滿滿足足波波方方程程。。故在在球球坐坐標標系系中中，，引引入入德德拜拜（（Deby））位位，，動動態態場場中中的的動動態態位位方方程程由任任意意向向量量旋旋度度的的散散度度與與任任意意標標量量梯梯度度的的旋旋度度均均恒恒等等于于零零，，對對動動態態電電磁磁場場，，可可驗驗證證有有以上上兩兩式式分分別別定定義義了了：：動態態向向量量位位函函數數A(r,t)動態態標標量量位位函函數數j(r,t)它們們自自動動滿滿足足MAXWELL方方程程組組中中（（1-3））和和（（1-2））。。但須須知知，，引引入入位位函函數數表表示示場場量量B和和E，，含含有有任任意意性性的的成成分分。。因為為如如果果令令則可可給給出出同同樣樣的的B和和E。。位函函數數按按照照式式（（1-37））和和（（1-38））的的變變換換，，稱稱為為規范范變變換換，而而保保持持B和和E不不變變性性，，則則稱稱為為規范范不不變變性性。由于于存存在在這這一一規規范范不不變變性性，，所所以以對對應應于于一一組組B和和E的的值值，，可可以以有有無無窮窮多多組組A和和j的取取值值，，即即位位函函數數不不是是唯唯一一的的。。任意意性性可可以以導導致致隨隨意意規規定定，，要要采采用用規規范范對對A的的散散度度施加加約約束束條條件件。規范范的的選選擇擇原原則則：１））唯一一地確確定定相相應應的的位位函函數數值值，，２））可可簡化化相應應的的位位函函數數方方程程。。通常常，，對對自自由由空空間間中中的的動動態態電電磁磁場場，，引引入入如如下下的的洛侖侖茲茲規規范范：由此此可可導導出出簡簡單單而而且且對對稱稱的的位位函函數數方方程程組組上兩式式是分分別關關于動動態向向量位位A和和動態態標量量位j的非齊次次波動動方程程，常稱稱為達朗貝貝爾方方程。這兩個個方程程和式式（1-39））（洛侖茲茲規范范）一起起構成成了與與MAXWELL方方程組組等價的一個個方程程組。。對于時諧電電磁場場，場空空間中中各場場點的的動態態位A(r,t)和和j(r,t)也也可分分別再再用復復相量量表示示為和和，，而相相應的的達朗朗貝爾爾方程程的相相量形形式就就成為為式中：：，，稱為為相位位速度度；w為正弦弦激勵勵的角角頻率率。1.6.2磁準靜態態場中中的動態位位方程程對于磁磁準靜靜態場場，在在忽略位位移電電流的前提提下，，式（（1-39）即即成為為上式A的散散度是是施加加的約約束條條件，，被稱稱為庫侖規規范。相應地地，式式（1-40））也就就簡化化為但注意意，由由于此此時在在導電電媒質質內伴伴隨有有渦流流與集集膚效效應，，因而而無從從預先先給定定截流流導體體內電電流密密度J的分分布。。換句句話說說，不可能依據據式（1-45）直直接求解動動態位A。。分析表明，，在導電媒媒質中流通通的電流都都遵從式（（1-7）），而其中中的電流密密度既應表表征由外源施加的的電流密度度Js，又應表征媒質質內感生的的渦流密度度Je，即代入式（1-36）），可得注意到在靜靜態極限情情況下上式式將歸結為為，因此，可以以對式（1-47））中每一項項的物理意意義作出判判斷，即動態標量位位j可看作為自自由電荷系系統（體、、面、線電電荷系統））所產生的的標量位場場，而動態向量位位A則與時變的的電流分布布相聯系，，從而可選選擇渦流密密度：在以上分析析基礎上，，依據基本本方程（1-14）），結合關關系式（1-46））、（1-47），，可得描述述磁準靜態場場的動態位方方程為上式兼容了了場域中可可能存在非線性媒質質的一般情情況。若場域中媒媒質為各向同性的的線性媒質質，則引入庫庫侖規范，，式（1-48）可可簡化為對于正弦穩態條條件下的磁準靜靜態場，動動態位方程程（1-49）的相相量形式即即為解耦情況下下的動態標量位j在設定場空空間電荷密密度r=0的前提提下，應滿滿足拉普拉拉斯方程，，即1.6.3靜態場場中的位函數方程程在靜態電場場情況下，根據其基基本方程組組（1-19）、（（1-20），同理理可以定義義式中，標量位函數數j(r)稱為為電位函數數?？蓪У玫葍r價的位函數數方程即泊泊松方程在無電荷分分布的場域域中，位函函數j應滿足拉普普拉斯方程程在靜態磁場場情況下，根據其基基本方程組組（1-21）、（（1-22），同樣樣可定義向量磁位函函數A(r)，滿足從而等價的的向量磁位位函數的雙旋度方程程為若場域中媒媒質為各向同性的的線性媒質質，則計入庫侖規范，式（1-56）可可簡化為向向量形式的的泊松方程程在無電流區域域中，靜態磁磁場的基本本方程（1-21））變成這樣，就可可以引入標量磁位函函數jm(r)，而令顯然，標量量磁位恒滿滿足拉普拉拉斯方程補充：（一）波方程的基基本解在均勻、各各向同性區區域，基本本解有平面面波、柱面面波、球面面波?；拘g語：：等相面：在在同一時刻刻，空間波波動中相位位相同的點點連成的表表面；等幅面：在在同一時刻刻，空間波波動中振幅幅相同的點點連成的表表面；平面波：等等相面為平平面的波；；均勻平面波波：等相面面和等幅面面重合的平平面波；非均勻平面面波：等相相面與等幅幅面不重合合的平面波波；球面波：等等相面為球球面的波；；柱面波：等等相面為柱柱面的波。。平面波在均勻、各各向同性區區域，直角角坐標系中中的波方程程的基本解解為均勻平平面波。平面波的簡簡單表達式式為式中如略去時間間因子，即即用復矢量量表示，則則平面波電電場為由Maxwell方方程，可得得平面波磁磁場的表達達式相對于傳播播方向，均均勻平面波波的電場、、磁場只有有橫向分量量，因此稱稱為橫電磁磁波或TEM波。散射問題常常用到角譜譜理想均勻平平面波只在在單一方向向傳播，在在角度域只只有一條譜譜。復雜電磁波波可分解為為許多理想想平面波的的集合，表表示成平面面波角譜PWS（planewavespectrum）。。從數學上看看，每個平平面波都是是一個d函數。正如復雜時時間信號經經過Fourier變換可表表示為頻譜譜一樣，空空間場的平平面波譜概概念非常重重要。柱面波在無源區域域，赫茲位位的波方程程為可以證明有有產生簡單理理想柱面波波的源為無無限長電流流線或磁流流線與平面波不不同，式中中電磁波傳傳播矢量的的方向k和和徑向矢量量r的方向向處處相同同。因此球球面波因子子可表示為為球面波在球坐標下下，引用赫赫茲位或德德拜位，通通過球坐標標的波動方方程和分離離變量法可可得到球面面波的解。。一個點源天天線在遠區區產生球面面波。設理想點源源處于球坐坐標的原點點，球面波波的基本解解可表示為為可見，電磁磁波的等幅幅面和等相相面重合，，它們分布布在r等于于常數的球球面上。根據能量守守恒定理，，隨觀察面面與理想點點源間距離離的增加，，場強的振振幅按1/r規律衰衰減。一般來說，，只要等相相面為球面面，電磁波波就是球面面波。實際天線不不是理想天天線，它們們都不能產產生理想均均勻球面波波。故A=A(q,f)是方位角角的函數，，即天線有有方向性。。（二）自由由空間中Maxwell方程程的解--波方程程解的導出出在洛侖茲規規范下，矢量位的矢矢量姆霍茲茲方程為標量位標量量姆霍茲方方程為在某些正交交坐標系下下，矢量姆姆霍茲方程程可簡化為為標量姆霍霍茲方程（三個）而標量姆霍霍茲方程的的格林函數數為這里r’代代表源點位位置，r代代表場點位位置。因此有而標量位可可由洛侖茲茲規范得到到也可由標量量位姆霍茲茲方程得到到于是電場E也有兩種種表達式：：注意這兩種種表達式的的不同。前者的兩個個D算子都都是對場點點r，即都都是作用在在格林函數數G上，導導致積分核核奇異點階階次很高。。然由于等等效源無需需被作用，，在某些條條件下如計計算遠場，，能化簡得得到簡明的的表達式。。因而此表表達式一般般用于計算算遠場。后者的兩個個D算子，，一個對場場點r，作作用在格林林函數G上上；一個對對源點r’’，作用在在等效源上上，因而積積分核奇異異點階次低低于前者，，一般用于于計算近場場。因此也可得得為簡潔，引引入兩個積積分微分算算子L、K，分別定定義為這樣電磁場場E和H可可寫成E=ZL(J);H=K(J)這里用相同的方方法或電磁磁對偶原理理可求出等等效磁流產產生的電磁磁場為H=L(J)/Z;E=-K(J)于是根據線線性疊加原原理，電流流和磁流共共同產生的的電磁場為為E=ZL(J)-K(J);H=L(J)/Z+K(J)（三）金屬屬體散射問問題積分方方程的建立立假設有一個個電磁波Ei、Hi照射到一個個邊界為S的金屬體體上，此金金屬體自然然會產生散散射場。下面介紹如如何建立一一個積分方方程來求解解出散射場場。在S上應用用等效原理理的第一形形式可：散散射場可等等效為由S上的等效效源