會計學1第4章線性規劃在工商管理中的應用-new§1

人力資源分配的問題

2

例1．某晝夜服務的公交線路每天各時間段內所需司機和乘務人員數如下：

設司機和乘務人員分別在各時間段一開始時上班，并連續工作八小時，問該公交線路怎樣安排司機和乘務人員，既能滿足工作需要，又配備最少司機和乘務人員?第1頁/共27頁§1

人力資源分配的問題

解：設xi

表示第i班次時開始上班的司機和乘務人員數,這樣我們建立如下的數學模型。目標函數：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6

約束條件：s.t.x1+x6≥60

x1+x2≥70

x2+x3≥60

x3+x4≥50

x4+x5≥20

x5+x6≥30

x1,x2,x3,x4,x5,x6≥03第2頁/共27頁§1

人力資源分配的問題

例2．一家中型的百貨商場，它對售貨員的需求經過統計分析如下表所示。為了保證售貨人員充分休息，售貨人員每周工作5天，休息兩天，并要求休息的兩天是連續的。問應該如何安排售貨人員的作息，既滿足工作需要，又使配備的售貨人員的人數最少？4第3頁/共27頁§1

人力資源分配的問題

解：設xi(i=1,2,…,7)表示星期一至日開始休息的人數,這樣我們建立如下的數學模型。目標函數：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6+x7

約束條件：s.t.x1+x2+x3+x4+x5≥28

x2+x3+x4+x5+x6≥15

x3+x4+x5+x6+x7≥24

x4+x5+x6+x7+x1≥25x5+x6+x7+x1+x2≥19x6+x7+x1+x2+x3≥31

x7+x1+x2+x3+x4≥28

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥05第4頁/共27頁§1

人力資源分配的問題往往一些服務行業的企業對人力資源的需求一周內像例2所描述的那樣變化，而每天的個時間段的需求又像例1往往描述的那樣變化，在保證工作人員每天工作8h，每周休息兩天的情況下，如何安排能使人員的編制最小呢？6第5頁/共27頁§2

生產計劃的問題

例3．某公司面臨一個是外包協作還是自行生產的問題。該公司生產甲、乙、丙三種產品，都需要經過鑄造、機加工和裝配三個車間。甲、乙兩種產品的鑄件可以外包協作，亦可以自行生產，但產品丙必須本廠鑄造才能保證質量。數據如表。問：公司為了獲得最大利潤，甲、乙、丙三種產品各生產多少件？甲、乙兩種產品的鑄造中，由本公司鑄造和由外包協作各應多少件？7第6頁/共27頁§2

生產計劃的問題

解：設x1,x2,x3分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產品的件數，x4,x5

分別為由外協鑄造再由本公司加工和裝配的甲、乙兩種產品的件數。求xi的利潤：利潤=售價-各成本之和產品甲全部自制的利潤=23-(3+2+3)=15元

產品甲鑄造外協，其余自制的利潤=23-(5+2+3)=13元

產品乙全部自制的利潤=18-(5+1+2)=10元

產品乙鑄造外協，其余自制的利潤=18-(6+1+2)=9元

產品丙的利潤=16-(4+3+2)=7元

可得到xi

（i=1,2,3,4,5）的利潤分別為15元、10元、7元、13元、9元。8第7頁/共27頁§2

生產計劃的問題通過以上分析,可建立如下的數學模型:目標函數：Max15x1+10x2+7x3+13x4+9x5

約束條件：5x1+10x2+7x3≤80006x1+4x2+8x3+6x4+4x5≤120003x1+2x2+2x3+3x4+2x5≤10000x1,x2,x3,x4,x5≥09第8頁/共27頁§2

生產計劃的問題例4．永久機械廠生產Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種產品，均要經過A、B兩道工序加工。設有兩種規格的設備A1、A2能完成A工序；有三種規格的設備B1、B2、B3能完成B工序。Ⅰ可在A、B的任何規格的設備上加工；Ⅱ可在任意規格的A設備上加工，但對B工序，只能在B1設備上加工；Ⅲ只能在A2與B2設備上加工。數據如表。問：為使該廠獲得最大利潤，應如何制定產品加工方案？10第9頁/共27頁§2

生產計劃的問題解：設xijk

表示第i種產品，在第j種工序上的第k種設備上加工的數量。建立如下的數學模型:

s.t.5x111+10x211≤6000（設備A1

）

7x112+9x212+12x312≤10000（設備A2

）

6x121+8x221≤4000（設備B1

）

4x122+11x322≤7000（設備B2

）

7x123≤4000（設備B3

）

x111+x112-x121-x122-x123=0（Ⅰ產品在A、B工序加工的數量相等）

x211+x212-x221=0（Ⅱ產品在A、B工序加工的數量相等）

x312-x322=0（Ⅲ產品在A、B工序加工的數量相等）

xijk≥0,i=1,2,3;j=1,2;k=1,2,311第10頁/共27頁§2

生產計劃的問題目標函數為計算利潤最大化，利潤的計算公式為：利潤=[（銷售單價-原料單價）*產品件數]之和-（每臺時的設備費用*設備實際使用的總臺時數）之和。這樣得到目標函數：

Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)(x211+x212)+(2.80-0.5)x312

–

300/6000(5x111+10x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)-250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123).經整理可得：

Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4474x122-1.2304x322-0.35x12312第11頁/共27頁§3

套裁下料問題

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例5．某工廠要做100套鋼架，每套用長為2.9m,2.1m,1.5m的圓鋼各一根。已知原料每根長7.4m，問：應如何下料，可使所用原料最省？解：共可設計下列8種下料方案，見下表

設x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8分別為上面8種方案下料的原材料根數。這樣我們建立如下的數學模型。目標函數：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8

約束條件：s.t.x1+2x2+x4+x6≥1002x3+2x4+x5+x6+3x7≥1003x1+x2+2x3+3x4+x6+4x8≥100x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8≥0第12頁/共27頁§3

套裁下料問題若可能的下料方案太多，可以先設計出較好的幾個下料方案。較好，首先要求每個方案下料后的料頭較短；其次方案總體能裁下所有各種規格的圓鋼，且不同方案有著不同的各種所需圓鋼的比。這樣套裁即使不是最優解，也是次優解，也能滿足要求并達到省料目的。如我們用前5種下料方案進行求解，也可得到上述最優解。14第13頁/共27頁§3

套裁下料問題用“管理運籌學”軟件計算得出最優下料方案：按方案1下料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根。即x1=30;x2=10；

x3=0；

x4=50；

x5=0；x6=x7=x8=0只需90根原材料就可制造出100套鋼架。注意：在建立此類型數學模型時，約束條件用大于等于號比用等于號要好。因為有時在套用一些下料方案時可能會多出一根某種規格的圓鋼，但它可能是最優方案。如果用等于號，這一方案就不是可行解了。15第14頁/共27頁§4

配料問題

16

例6．某工廠要用三種原料1、2、3混合調配出三種不同規格的產品甲、乙、丙，數據如右表。問：該廠應如何安排生產，使利潤收入為最大？

解：設xij

表示第i種（甲、乙、丙）產品中原料j的含量。這樣我們建立數學模型時，要考慮：對于甲：x11，x12，x13；對于乙：x21，x22，x23；對于丙：x31，x32，x33；對于原料1：x11，x21，x31；對于原料2：x12，x22，x32；對于原料3：x13，x23，x33；目標函數：利潤最大，利潤=收入-原料支出約束條件：規格要求4個；供應量限制3個。第15頁/共27頁§4

配料問題利潤=總收入-總成本=甲乙丙三種產品的銷售單價*產品數量-甲乙丙使用的原料單價*原料數量，故有目標函數Max50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33）=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33

約束條件：從第1個表中有：

x11≥0.5(x11+x12+x13)x12≤0.25(x11+x12+x13)x21≥0.25(x21+x22+x23)x22≤0.5(x21+x22+x23)17第16頁/共27頁§4

配料問題

從第2個表中，生產甲乙丙的原材料不能超過原材料的供應限額，故有

x11+x21+x31≤100

x12+x22+x32≤100

x13+x23+x33≤60

通過整理，得到以下模型：18第17頁/共27頁§4

配料問題例6．（續）目標函數：Maxz=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33

約束條件：

s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x13≥0（原材料1不少于50%）

-0.25x11+0.75x12-0.25x13≤0（原材料2不超過25%）

0.75x21-0.25x22-0.25x23≥0（原材料1不少于25%）

-0.5x21+0.5x22-0.5x23≤0（原材料2不超過50%）

x11+x21+x31≤100(供應量限制）

x12+x22+x32≤100(供應量限制）

x13+x23+x33≤60(供應量限制）

xij≥0,(i=1,2,3;j=1,2,3)19第18頁/共27頁§4

配料問題例6．（續）

此線性規劃的計算機解為x11=100，x12=50，x13=50，其余的xij=0，也就是說每天只生產產品甲200kg，分別需要用第1種原料100kg，第2種原料50kg，第3種原料50kg。20第19頁/共27頁§4

配料問題

標準汽油辛烷數蒸汽壓力(g/cm2)庫存量(L)1107.57.11×10-2380000293.011.38×10-2265200387.05.69×10-24081004108.028.45×10-2130100飛機汽油辛烷數蒸汽壓力(g/cm2)產量需求1不小于91不大于9.96×10-2越多越好2不小于100不大于9.96×10-2不少于25000021例7.汽油混合問題。一種汽油的特性可用兩種指標描述，用“辛烷數”來定量描述其點火特性，用“蒸汽壓力”來定量描述其揮發性。某煉油廠有1、2、3、4的4種標準汽油，其特性和庫存量列于表4-8中，將這四種標準汽油混合，可得到標號為1，2的2種飛機汽油，這兩種汽油的性能指標及產量需求列于表4-9中。問應如何根據庫存情況適量混合各種標準汽油，既滿足飛機汽油的性能指標，又使2號汽油滿足需求，并使得1號汽油產量最高？表4---8表4---9第20頁/共27頁§4

配料問題

22解：設xij為飛機汽油i中所用標準汽油j的數量(L)。目標函數為飛機汽油1的總產量：

庫存量約束為：產量約束為飛機汽油2的產量：由物理中的分壓定律，可得有關蒸汽壓力的約束條件：同樣可得有關辛烷數的約束條件為：第21頁/共27頁§4

配料問題

23綜上所述，得該問題的數學模型為：第22頁/共27頁§4

配料問題

24由管理運籌學軟件求解得：第23頁/共27頁§5

投資問題

25例8．某部門現有資金200萬元，今后五年內考慮給以下的項目投資。已知：項目A：從第一年到第五年每年年初都可投資，當年末能收回本利110%；項目B：從第一年到第四年每年年初都可投資，次年末能收回本利125%，但規定每年最大投資額不能超過30萬元；項目C：需在第三年年初投資，第五年末能收回本利140%，但規定最大投資額不能超過80萬元；項目D：需在第二年年初投資，第五年末能收回本利155%，但規定最大投資額不能超過100萬元。據測定每萬元每次投資的風險指數如右表：問：1）應如何確定這些項目每年的投資額，使得第五年年末擁有資金的本利金額為最大？2）應如何確定這些項目每年的投資額，使得第五年年末擁有資金的本利在330萬元的基礎上使得其投資的總的風險系數為最小？

解：1）確定決策變量：連續投資問題設xij(i=1～5，j=1～4)表示第i年初投資于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)項目的金額。這樣我們建立如下的決策變量：

Ax11

x21

x31

x41

x51

Bx12

x22

x32

x42Cx33

Dx24第24頁/共27頁§5

投資問題2）約束條件：第一年：A當年末可收回投資，故第一年年初應把全部資金投出去，于是x11+x12=200；第二年：B次年末才可收回投資，故第二年年初有資金1.1x11，于是x21+x22+x24=1.1x11；第三年：年初有資金1.1x21+1.25x12，于是x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；第四年：年初有資金1.1x31+1.25x22，于是x41+x42=1.1x31+1.25x22；第五年：年初有資金1.1x41+1.25x32，于是x51=1.1x41+1.25x32；

B、C、D的投資限制：xi2≤30(i=1、2、3、4)，x33≤80，x24≤1003）目標函數及模型：a)Maxz=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24s.t.x11+x12=200

x21+x22+x24=1.1x11