云南省大理市第四中學2021年高三數學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為（

）A. B. C. D.2參考答案：A試題分析：由雙曲線方程可知漸近線為，由漸近線夾角為，可知漸近線傾斜角為，所以考點：雙曲線方程及性質2.“”是“復數為純虛數”的（

）A．充分但不必要條件

B．必要但不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

參考答案：A3.設函數，則下列結論錯誤的是（）A．D（x）的值域為{0，1} B．D（x）是偶函數C．D（x）不是周期函數 D．D（x）不是單調函數參考答案：C【考點】分段函數的解析式求法及其圖象的作法．

【專題】證明題．【分析】由函數值域的定義易知A結論正確；由函數單調性定義，易知D結論正確；由偶函數定義可證明B結論正確；由函數周期性定義可判斷C結論錯誤，故選D【解答】解：A顯然正確；∵=D（x），∴D（x）是偶函數，B正確；∵D（x+1）==D（x），∴T=1為其一個周期，故C錯誤；∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0，顯然函數D（x）不是單調函數，故D正確；故選：C．【點評】本題主要考查了函數的定義，偶函數的定義和判斷方法，函數周期性的定義和判斷方法，函數單調性的意義，屬基礎題4.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中b=1，=，若A=2B，則△ABC的周長為（

）A.3 B.4 C. D.參考答案：D【分析】由正弦定理化簡已知可得b2+c2-a2=bc，利用余弦定理可求cosA=，結合范圍A∈(0，π)，可求A，根據已知可求B，利用三角形內角和定理可求C，根據正弦定理可求a，c的值，即可得三角形的周長．【詳解】∵=，∴由正弦定理可得=，整理可得b2+c2-a2=bc，∴cosA===，∵A∈(0，π)，∴A=，∵A=2B，∴B=，C=π-A-B=，∵b=1，∴，解得a=，c=2，∴△ABC的周長為．故選：D．【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形內角和定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬基礎題．5.下列命題正確的是(

)A．若平面不平行于平面，則內不存在直線平行于平面B．若平面不垂直于平面，則內不存在直線垂直于平面C．若直線不平行于平面，則內不存在直線平行于直線D．若直線不垂直于甲面，則內不存在直線垂直于直線

參考答案：B略6.已知數列為等比數列，且.

,則=（）．

B.

．

．參考答案：B7.設（

）A．

B.

C.

D．參考答案：D由對數函數的圖像，可得，，又.8.若函數在定義域上為奇函數,則實數的值為

（

）A．

B．

C．1

D．0參考答案：A9.我國南宋著名數學家秦九韶發現了從三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設△ABC三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，面積為S，則“三斜求積”公式為．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，則用“三斜求積”公式求得△ABC的面積為（）A． B．2 C．3 D．參考答案：A【考點】類比推理．【分析】根據正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=4，則由（a+c）2=12+b2得a2+c2﹣b2=4，利用公式可得結論．【解答】解：根據正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=4，則由（a+c）2=12+b2得a2+c2﹣b2=4，則．故選A．【點評】本題主要考查類比推理的應用，要求正確理解類比的關系，比較基礎．10.如果是二次函數,且的圖象開口向上,頂點坐標為（1,）,那么曲線上任一點的切線的傾斜角的取值范圍是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若不等式組所表示的平面區域被直線分為面積相等的兩部分，則的值為

▲

；若該平面區域存在點使成立，則實數的取值范圍是

▲

.參考答案：，12.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積等于 ．參考答案：4略13.設則大小關系是

參考答案：a>b>c14.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知

則A＝

.參考答案：15.設函數的定義域為R，若存在常數對一切實數均成立，則稱為“條件約束函數”．現給出下列函數： ①； ②； ③； ④是定義在實數集R上的奇函數，且對一切均有．其中是“條件約束函數”的序號是_____（寫出符合條件的全部序號）．參考答案：①③④16.函數y=loga（x+3）﹣1（a≠1，a＞0）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，則+的最小值為

．參考答案：8【考點】對數函數的圖象與性質．【分析】根據對數函數的性質先求出A的坐標，代入直線方程可得m、n的關系，再利用1的代換結合均值不等式求解即可．【解答】解：∵x=﹣2時，y=loga1﹣1=﹣1，∴函數y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵點A在直線mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵m＞0，n＞0，∴+=（+）（2m+n）=2+++2≥4+2?=8，當且僅當m=，n=時取等號．故答案為：817.已知函數,若關于的方程有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是A.(0.1)

B.(1，+∞)

C.(-1，0)

D.(-∞，-1)參考答案：B略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分13分）翡翠市場流行一種賭石“游戲規則”：翡翠在開采出來時有一層風化皮包裹著，無法知道其內的好壞，需切割后方能知道翡翠的價值，參加者先繳納一定金額后可得到一塊翡翠石并現場開石驗證其具有的收藏價值，其舉辦商在賭石游戲中設置了甲乙兩種賭石規則，規則甲的賭中率為，賭中后可獲得20萬元；規則乙的賭中率為，賭中后可獲得30萬元；未賭中則沒有收獲，每人有且只有一次賭石機會，每次賭中與否互不影響，賭石結束后當場得到兌現金額.（1）收藏者張先生選擇規則甲賭石，收藏者李先生選擇規則乙賭石，記他們的累計獲得金額數為(單位：萬元)，若的概率為，求的大小；（2）若收藏者張先生李先生都選擇賭石規則甲或賭石規則乙進行賭石，問：他們選擇何種規則賭石，累積得到的金額的數學期望最大？參考答案：（1）由已知得收藏者張先生賭中的概率為，收藏者李先生賭中的概率為，且兩人賭中與否互不影響．記“這2人的累計獲得金額數為（單位：萬元）”的事件為，則事件的對立事件為“”．因為，所以，求得．………6分（2）設收藏者張先生、李先生都選擇規則甲賭中的次數為，都選擇規則乙賭中的次數為，則這兩人選擇規則甲累計獲獎得金額的數學期望為，選擇規則乙累計獲獎得金額的數學期望為．由已知可得，，，所以，，從而，．若，則，解得；若，則，解得；若，則，解得．綜上所述，當時，他們都選擇規則甲進行賭石時，累計得到金額的數學期望最大；當時，他們都選擇規則乙進行賭石時，累計得到金額的數學期望最大；當時，他們都選擇規則甲或規則乙進行賭石時，累計得到金額的數學期望相等.………13分19.（本小題共13分）對于每項均是正整數的數列，定義變換，將數列變換成數列．對于每項均是非負整數的數列，定義變換，將數列各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數列；又定義．設是每項均為正整數的有窮數列，令．（Ⅰ）如果數列為5，3，2，寫出數列；（Ⅱ）對于每項均是正整數的有窮數列，證明；（Ⅲ）證明：對于任意給定的每項均為正整數的有窮數列，存在正整數，當時，．參考答案：【標準答案】:（Ⅰ）解：，，；，．（Ⅱ）證明：設每項均是正整數的有窮數列為，則為，，，，，從而．又，所以，故．（Ⅲ）證明：設是每項均為非負整數的數列．當存在，使得時，交換數列的第項與第項得到數列，則．當存在，使得時，若記數列為，則．所以．從而對于任意給定的數列，由可知．又由（Ⅱ）可知，所以．即對于，要么有，要么有．因為是大于2的整數，所以經過有限步后，必有．即存在正整數，當時，。【高考考點】:數列【易錯提醒】:入口出錯【備考提示】:由一個數列為基礎，按著某種規律新生出另一個數列的題目，新數列的前幾項一定不難出錯，它出錯，則整體出錯。20.（12分）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD,且PB=PC=.（Ⅰ）求證：AB⊥CP；（Ⅱ）求點到平面的距離；（Ⅲ）設面與面的交線為，求二面角的大小．參考答案：解析：（Ⅰ）∵

底面ABCD是正方形，∴AB⊥BC,又平面PBC⊥底面ABCD

平面PBC∩

平面ABCD=BC∴AB

⊥平面PBC又PC平面PBC∴AB

⊥CP

………………3分（Ⅱ）解法一：體積法.由題意，面面，取中點，則面.再取中點，則

………………5分設點到平面的距離為，則由.

………………7分解法二：面取中點，再取中點，過點作，則在中，由∴點到平面的距離為。

………………7分解法三：向量法（略）（Ⅲ）面就是二面角的平面角.∴二面角的大小為45°.

………………12分方法二：向量法（略）.21.如圖，直線PQ與⊙O相切于點A，AB是⊙O的弦，的平分線AC交⊙O于點C，連結CB，并延長與直線PQ相交于Q點，

(1)求證:;

（2）若AQ=6，AC=5.求弦AB的長.

參考答案：（1）∵PQ與⊙O相切于點A，∴

∵

∴∴AC=BC=5

由切割線定理得：

∴

------------5分

（2）由AC=BC=5，AQ=6及（1），知

QC=9

由

知∽

∴

∴

.

----------10分22.如圖,多面體ABCD—EFG中,底面ABCD為正方形,GD//FC//AE,AE⊥平面ABCD,其正視圖、俯視圖及相關數據如圖:（1）求證:平面AEFC⊥平面BDG;（2）求該幾何體的體積;（3）求點C到平面BDG的距離．

參考答案：（1）連接AC,BD,正方形ABCD中,AC⊥BD,又AE∥GD∥FC,AE⊥平面ABC