試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆河南省新未來聯盟高三上學期12月聯考數學（文）試題一、單選題1．集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用交集的定義求解即可【詳解】.故選:.2．設，其中為實數，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據復數相等可得答案.【詳解】，解得.故選：D.3．2022年5月，居民消費價格走勢為113.52點，同比增長率為2.01%，增速高于平均值1.105%，增速樂觀．下表統計了近6年的消費價格走勢，令2015年12月時，；2016年6月時，，依次類推，得到x與居民消費價格y（點）的線性回歸方程為．由此可估計，2022年6月份的消費價格約為（

）A．113.5點 B．113.8點 C．117.3點 D．119.1點【答案】B【分析】由題意及圖表，可得，代入線性回歸方程可得答案.【詳解】由題意及圖表，可得當2021年12月時，，故當2022年6月時，.把代入，得．故選：B．4．設向量的夾角的余弦值為，且，則（

）A．3 B．4 C． D．6【答案】C【分析】根據向量數量積公式計算可得答案.【詳解】由題意可得.故選：C.5．函數在區間上的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據函數解析式，判其奇偶性，利用取特殊點，可得答案.【詳解】解：由，可知其定義域為，且，則函數是偶函數，排除選項C．又，，排除選項B，D．故選：A．6．若曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據切點處的切線方程的求解方法求出切線方程，并求出橫縱截距即可求解.【詳解】∵，∴，∴．∵，∴切線方程為，可化為．令，得；令，得．∴，解得．故選:B．7．已知數列中，，，則數列的前10項和（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】將遞推式兩邊同時倒下，然后構造等差數列求出數列的通項公式，再利用裂項相消法求和即可.【詳解】解：∵，∴，∴．∴數列是首項為，公差為的等差數列，∴，∴．∴，∴數列的前10項和．故選:C．8．如圖，網格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（

）A． B． C． D．12【答案】D【分析】多面體的直觀圖可以看成由長方體去掉兩個體積相等的三棱柱，求出對應體積即可【詳解】由三視圖還原該幾何體，得幾何體如圖所示，則該幾何體的體積為．故選：D．9．已知橢圓，直線與橢圓相切，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】聯立直線與橢圓的方程得到一元二次方程，令，即可解得，進而得到橢圓的離心率.【詳解】聯立直線與橢圓的方程可得，.所以，，解得.所以，則，，所以.故選：B.10．在正方體中，已知，點O在棱上，且，則正方體表面上到點O距離為5的點的軌跡的總長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意找到平面平面都有軌跡，都為個圓周即可求解.【詳解】依題意，∵，，，∴，，所以,所以，又因為，所以，所以,即．在平面內滿足條件的點的軌跡為，該軌跡是以5為半徑的個圓周，所以長度為；同理，在平面內滿足條件的點軌跡長度為；在平面內滿足條件的點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓弧，長度為；同理，在平面ABCD內滿足條件的點的軌跡為以A為圓心，AE為半徑的圓弧，長度為．故軌跡的總長度為．故選:C．11．已知函數在內有且僅有1個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角恒等變換化簡，再根據余弦函數的圖像和性質求解即可.【詳解】由題意得當時，，因為在內有且僅有1個零點，所以，解得，故選：D12．柏拉圖多面體并不是由柏拉圖所發明，但卻是由柏拉圖及其追隨者對它們所作的研究而得名，由于它們具有高度的對稱性及次序感，因而通常被稱為正多面體.柏拉圖視“四古典元素”中的火元素為正四而體，空氣為正八面體，水為正二十面體，土為正六面體.如圖，在一個棱長為的正八面體（正八面體是每個面都是正三角形的八面體）內有一個內切圓柱（圓柱的底面與構成正八面體的兩個正四棱錐的底面平行），則這個圓柱的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意得到，，然后利用勾股定理得到，在中根據相似列方程，整理得，然后根據圓柱的體積公式求體積，最后求導，根據單調性求最值即可.【詳解】解：如圖，設正八面體上頂點為A，圓柱上底面圓心為B，正四棱錐底面中心為C,取四棱錐底面邊中點為D，AD交圓柱上底面于E.設該圓柱的底面半徑為，高，由題可知，，，則．又，∴，，∴圓柱的體積，，可知，當時，；當時，，所以當時，單調遞增，當時，單調遞減，∴當時，．故選:.二、填空題13．若滿足約束條件則的最大值是__________.【答案】2【分析】作出可行域利用幾何意義可得答案.【詳解】作出可行域如圖所示，則由圖可知，當經過點時，取最大值，由解得，所以，所以的最大值為.故答案為：2.14．設點在直線上，與軸相切，且經過點，則的半徑為__________.【答案】1或5##5或1【分析】由點在直線上設,圓與軸相切,應用數形結合可得出與半徑的關系,再根據圓經過點也可寫出與半徑的關系，求解即可.【詳解】由點在直線上，設.又與軸相切，且經過點，半徑，且.解得或.則的半徑為1或5.故答案為:1或515．已知數列的前項和為，滿足，則__________.【答案】33【分析】根據與的關系結合等比數列的定義及通項求出數列的通項，即可得出答案.【詳解】解：，兩式相減，得，，又當時，，即，∴數列是以2為首項，2為公比的等比數列，，即，.故答案為：33.16．已知直線經過雙曲線的右焦點，并與雙曲線的右支交于兩點，且.若點A關于原點的對稱點為，則的面積為__________.【答案】【分析】由雙曲線方程求出右焦點，設直線的方程為，聯立方程組，并利用韋達定理和已知條件，求出，根據三角形面積公式，即可求解.【詳解】解：已知雙曲線，則，所以右焦點，設直線的方程為.聯立化簡，得.，，即，則，即.故答案為：.三、解答題17．國內某奶茶店以茶飲和甜品為主打，運用復合創新思維順勢推出最新一代立體復合型餐飲業態，在武漢?重慶?南京都有分布，該公司現對兩款暢銷茶飲進行推廣調查，得到下面的列聯表；A款B款男性8020女性6040(1)根據上表，分別估計男、女購買這款茶飲，選購A款的概率；(2)能否有99%的把握認為選購哪款茶飲與性別有關？參考公式：，其中.參考數據：【答案】(1)男性：；女性：(2)有的把握認為選購哪款茶飲與性別有關【分析】（1）根據古典概型的概率公式計算即可；（2）根據公式求出，再對照臨界值表即可得出結論.【詳解】（1）解：男性中，購買款茶飲的概率為，女性中，購買款茶飲的概率為；（2）解：由題意，得，，∴有的把握認為選購哪款茶飲與性別有關.18．如圖，在長方體中，已知，E為BC中點，連接，F為線段上的一點，且.(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直的判定定理與性質定理證明，（2）由等體積法結合棱錐的體積公式求解，【詳解】（1）證明：連接DE.依題意，可知，∴，即，∵平面ABCD，平面ABCD，∴.又，∴平面，平面，平面.∵平面，∴，同理，可知，則，∴，即，∴.∴.∵平面，平面，且，∴平面；（2）由題可知19．在中，內角所對的邊分別為，且滿足.(1)證明：；(2)若，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)根據題干的條件，利用正弦定理和兩角差的正弦公式以及正弦函數的圖象和性質即可求解；(2)結合（1）的結論和二倍角的正弦得出，然后利用余弦定理即可求解.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得：，所以，可得，又由，可得，由，可得，有，可得或（舍去），可得；（2）由，有，可得，有，又由，可得，在中，由余弦定理可得：，也即，解得或（舍去），所以.20．已知函數．其中．(1)討論函數的單調性；(2)設，如果對任意的，，求實數a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導，然后分，討論求單調性；（2）先利用的單調性化簡得，然后構造函數，求導，根據其為減函數求得實數a的取值范圍．【詳解】（1），當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減；（2）假設，而，由（1）知，在上單調遞減，∴，∴化簡為，令，則在上單調遞減，∴，即，，當且僅當時等號成立，∴，故實數a的取值范圍是．21．已知拋物線，過動點作拋物線的兩條切線，切點為，直線交軸于點，且當時，.(1)求拋物線的標準方程；(2)證明：點為定點，并求出其坐標.【答案】(1)；(2)點為定點，其坐標為，證明見解析.【分析】（1）設過點且與拋物線相切的直線為，聯立方程結合根的判別式求得，再結合當時，求出，即可得解；（2）設，直線的斜率為，直線的斜率為，由（1），利用韋達定理求出，再分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，當斜率存在時求出直線方程，令，即可得證.【詳解】（1）解：設過點且與拋物線相切的直線為，聯立，化簡得，則，化簡得，當時，，此時軸，，當時，則，解得，，拋物線的標準方程為；（2）證明：設，直線的斜率為，直線的斜率為，由（1）可知，，當直線直線的斜率不存在時，，當直線直線的斜率存在時，方程為，令，得，整理得，所以點為定點，坐標為.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.22．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程是（為參數）．以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程為．(1)求直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程；(2)若直線l與x軸交于點P，與曲線C分別交于A，B兩點，求的值．【答案】(1)直線l：；曲線C：(2)2【分析】（1）由題意，利用和角公式以及極坐標恒等式，可得直線方程；利用同角三角函數平方式，可得答案；（2）由直線方程，求得，并整理直線的參數方程，代入圓的方程，根據韋達定理，可得答案.【詳解】（1）∵，∴，∵，∴直線l的直角坐標方程為，∵曲線C的參數方程是（為參數），消去參數，得．∴曲線C的普通方程為；（2）