會計學1薄板彎曲問題的有限元法22、基本假設（克希霍夫假設）

1）直線假設：即變形前垂直于板中面的直線，在彎曲變形后仍為直線，且垂直于彎曲后的中面。說明在平行于中面的面上沒有剪應變，即第1頁/共24頁32）厚度不變假設：即忽略板厚變化。即。由于板內各點的撓度與z坐標無關，只是x，y的函數，即3）中面上正應力遠小于其它應力分量假設：平行于中面的各層相互不擠壓，不拉伸，沿z向的正應力可忽略，即4）中面無伸縮假設：彎曲過程中，中面無伸縮，（薄板中面內的各點都沒有平行中面的位移）即縱向荷載：可以認為他們沿薄板厚度均勻分布，因而他們所引起的應力、形變和位移可以按平面應力問題進行計算。橫向荷載：將使薄板彎曲，他們所引起的應力、形變和位移，可以按薄板彎曲問題進行計算。第2頁/共24頁4二、基本方程

1）幾何方程積分可得繞x軸轉角繞y軸轉角分別表示薄板彎曲曲面在x，y方向的曲率表示薄板彎曲曲面在x，y方向的扭率變形前的直線變形后的直線zxz第3頁/共24頁52）物理方程（廣義胡克定律）寫為矩陣形式：第4頁/共24頁63）內力矩公式及平衡方程 單位寬度上垂直x，y軸的橫截面上彎矩、扭矩xyzδ第5頁/共24頁7圖中力矩雙箭頭方向表示是力矩的法線方向，列平衡方程：由應力的正負方向的規定得出：正的應力合成的主矢量為正，正的應力乘以正的矩臂合成的主矩為正；反之為負。第6頁/共24頁8應力分量表達式第7頁/共24頁9三、矩形薄板單元分析用有限元法求解薄板彎曲問題，常在板中面進行離散，常用的單元有三角形和矩形。為了使相鄰單元間同時可傳遞力和力矩，節點當作剛性節點，即節點處同時有節點力和節點力矩作用。每個節點有三個自由度，即一個擾度和分別繞x，y軸的轉角。1.設位移函數mjil節點位移分量和節點力分量第8頁/共24頁10 薄板彎曲時，只有w(x,y)是薄板變形的未知基本函數，而其它量，如u,v等都是w(x,y)的函數，故薄板矩形單元的位移函數的選擇實際就是w(x,y)的選取。注意單元有12個自由度，則另兩個轉角為：第9頁/共24頁11

待定系數：利用12個節點位移值可待定12個系數，整理w(x,y)為插值函數形式：其中，形函數：第10頁/共24頁122.單元收斂性分析：

1）位移函數中包含有常量項，反映了剛體位移，如為擾度常量，為轉角常量。

2）位移函數中包含了常量應變項，如形變分量為：

表明薄板處于均勻彎扭變形狀態，即常應變狀態。這里的常應變為擾度的二次函數，而在平面單元中為位移的一次式，這是因為板有厚度，其形變是指不同厚度上的。第11頁/共24頁13

3）相鄰單元在公共邊界上擾度是連續的但轉角不一定連續。 設邊界ij邊y=-b則有位移 四個系數剛好通過i，j兩個端點的擾度值和繞y軸的兩個轉角值唯一確定；同時，相鄰單元在此邊界上也能通過i，j的值唯一確定，故連續。

如對于繞x軸的轉角： 四個系數不能通過i，j的兩個已知轉角值唯一待定；同理，相鄰單元在此邊界上也不能唯一確定四個系數。故轉角不連續。

所以，薄板矩形單元是非協調單元。但實踐表明，當單元細分，其解完全能收斂真實解。第12頁/共24頁143.單元剛度矩陣

1）應變矩陣

其中：[B]為x，y的函數，與z無關第13頁/共24頁152）單元剛陣第14頁/共24頁164.總剛矩陣集成按平面問題的有限元法介紹的方法可集成得到結構的總剛矩5.載荷移置∑6.邊界條件出來7.求解線性方程組

第15頁/共24頁17四.三角形薄板單元1.面積坐標

三角形單元的面積坐標定義:如圖示三角形單元中，任意一點P的位置可以用下面3個比例確定。其中A為△ijm的面積，Ai，Aj，Am分別為△Pjm，△Pim，△Pij的面積。比值Li，Lj，Lm就稱為P點的面積坐標。ijmp第16頁/共24頁18實際為三角形的高與高的比，即平行jm線的直線上的所有點有相同的。同時，易得即，三角形內與任一條邊平行的直線上的所有點有相同的面積坐標。比較面積坐標與平面三角形單元形函數可知，面積坐標正是平面三節點三角形單元的三個形函數。面積坐標與整體坐標之間的變換。第17頁/共24頁192、位移函數三角形單元能較好地適應斜邊界，實際中廣泛應用。單元的節點位移仍然為節點處的撓度wi和繞x，y軸的轉角θxi、θyi，獨立變量為wi。三角形單元位移模式應包含9個參數。若考慮完全三次多項式，則有10個參數：若以此為基礎構造位移函數，則必須去掉一項，則無法保證對稱。經過多種選擇，采用面積坐標比較合理可行。對于三角形單元，面積坐標的一、二、三次齊次分別有以下項：第18頁/共24頁20將三個節點的位移和面積坐標代入上式，可得：α1=wi，α2=wj，

α3=wm。代入上式對Li，Lj求導，注意Lm=1-Li-Lj，可得將節點的面積坐標代入上述兩式，可得6個關于α4~α9的方程，求解后可得α4~α9：第19頁/共24頁21第20頁/共24頁22最后，待定常數α1~α9代入位移模式，整理后得：

將w,Lii和w,Lji變換成θxi、θyi，從而得到相應于θxi