會計學1D高階齊次線性證畢一、齊次線性方程通解的結構是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)

定理7.1機動目錄上頁下頁返回結束第1頁/共26頁說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數的線性相關與線性無關概念.機動目錄上頁下頁返回結束第2頁/共26頁定義7.1是定義在區間I

上的

n個函數,使得則稱這

n個函數在I

上線性相關,否則稱為線性無關.例如，

在(,)上都有故它們在任何區間I

上都線性相關;又如，若在某區間

I

上則根據二次多項式至多只有兩個零點,必需全為0,可見在任何區間

I

上都線性無關.若存在不全為0

的常數機動目錄上頁下頁返回結束第3頁/共26頁兩個函數在區間I

上線性相關與線性無關的充要條件:線性相關存在不全為0的使(無妨設線性無關常數思考:中有一個恒為0,則必線性相關(證明略)線性無關機動目錄上頁下頁返回結束第4頁/共26頁定理7.2是二階線性齊次方程的兩個線性無關特解,則數)是該方程的通解.例如,方程有特解且常數,故方程的通解為(自證)

推論.是

n

階齊次方程的n

個線性無關解,則方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結束第5頁/共26頁二、通解的求法是二階線性齊次方程的一個非零解,可設此方程還有解其中u(x)為待定的函數(不恒等于常數).將y2(x)帶入方程1.置換法若機動目錄上頁下頁返回結束由于y1(x)是此方程的解，從而有若令則用分離變量法可求得v(x)，再求u(x)，從而能得原方程的另一個解y2(x).由于這兩個解線性無關，原方程的通解為第6頁/共26頁例7.1已知函數是的解，求此方程的通解.解：令是所給方程的另一個解，帶入方程得分離變量后再積分得其中C為任意常數.由于只需求另一個解，不妨取C=1,即其中C1,C2為任意常數.第7頁/共26頁2.冪級數法

定理7.3則在－R<x<R

內方程②必有冪級數解:②設P(x),Q(x)在(－R,R)內可展成x的冪級數,(證明略)此定理在數學物理方程及特殊函數中非常有用,很多重要的特殊函數都是根據它從微分方程中得到的.機動目錄上頁下頁返回結束第8頁/共26頁例7.2求方程的通解.解：在此方程中它們在x=0處可展成冪級數，有定理7.3知所給方程有如下冪級數解帶入原方程得帶入原方程得所給方程的通解.第9頁/共26頁三.常系數機動目錄上頁下頁返回結束齊次線性微分方程基本思路:求解常系數線性齊次微分方程求特征方程(代數方程)之根轉化第10頁/共26頁二階常系數齊次線性微分方程:和它的導數只差常數因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關的特解:因此方程的通解為(r

為待定常數),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.機動目錄上頁下頁返回結束第11頁/共26頁2.當時,

特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結束第12頁/共26頁3.當時,

特征方程有一對共軛復根這時原方程有兩個復數解:

利用解的疊加原理,得原方程的線性無關特解:因此原方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結束第13頁/共26頁小結:特征方程:實根特征根通解以上結論可推廣到高階常系數線性微分方程.機動目錄上頁下頁返回結束第14頁/共26頁例7.3求方程的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為例7.4求解初值問題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為機動目錄上頁下頁返回結束第15頁/共26頁例7.5求方程的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結束第16頁/共26頁例7.6(單擺運動)有一個質量為m的小球，用長為l的細機動目錄上頁下頁返回結束線把它懸掛在某固定點O.它在重力作用下，在垂直于地面的平面內，沿一圓弧往復擺動.若忽略空氣阻力，試求擺球微小擺動時的運動規律.解：取點O為極點，擺線的平衡位置所在的鉛垂線OA為極軸，擺線與極軸的夾角為θ，且規定逆時針方向為正，如圖建立極坐標系.設擺線長度不變，擺球在時刻t的位置為θ(t).當擺球沿圓弧運動時，它相對平衡位置A的位移為s=lθ,它的切向速度，切向加速度為使擺球沿圓弧運動的力是作用在擺球上的重力mg在切線方方向上的分量f，因f總使擺球向平衡位置A運動，第17頁/共26頁機動目錄上頁下頁返回結束即當夾角θ為正時，向θ減小的方向運動；當夾角θ為負時，向θ增加的方向運動，所以由于不計空氣阻力，由牛頓第二定律得這是二階非線性微分方程.但當研究擺球的微小擺動時，即當θ較小時，由于故方程可近似地表示為第18頁/共26頁機動目錄上頁下頁返回結束這是二階常系數齊次線性微分方程.設擺球的初始位置和初始角速度為特征方程為特征根為于是通解為利用初始條件解得第19頁/共26頁若特征方程含k

重復根若特征方程含k

重實根r,則其通解中必含對應項則其通解中必含對應項特征方程:推廣:機動目錄上頁下頁返回結束第20頁/共26頁例7.7求方程的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結束其中C1,C2,C3為任意常數.的通解.例7.8求方程解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為其中C1,C2,C3,C4,C5為任意常數.第21頁/共26頁例7.9解:

特征方程:特征根為則方程通解:機動目錄上頁下頁返回結束第22頁/共26頁例.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解推廣目錄上頁下頁返回結束第23頁/共26頁備用題為特解的4階常系數線