會計學1D格林公式同濟大學高等數學證明:1)若D既是X-型區域,又是

Y-

型區域,且則定理1目錄上頁下頁返回結束第1頁/共26頁即同理可證①②①、②兩式相加得:定理1目錄上頁下頁返回結束第2頁/共26頁2)若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割為有限個上述形式的區域,如圖證畢定理1目錄上頁下頁返回結束第3頁/共26頁推論:正向閉曲線L所圍區域D的面積格林公式例如,橢圓所圍面積定理1目錄上頁下頁返回結束第4頁/共26頁例1.設L是一條分段光滑的閉曲線,證明證:

令則利用格林公式,得機動目錄上頁下頁返回結束第5頁/共26頁例2.

計算其中D是以O(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點的三角形閉域.解:

令,則利用格林公式,有機動目錄上頁下頁返回結束第6頁/共26頁例3.

計算其中L為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.解:

令設L所圍區域為D,由格林公式知機動目錄上頁下頁返回結束第7頁/共26頁在D內作圓周取逆時針方向,,對區域應用格記L和

lˉ

所圍的區域為林公式,得機動目錄上頁下頁返回結束第8頁/共26頁二、平面上曲線積分與路徑無關的等價條件定理2.

設D是單連通域

,在D內具有一階連續偏導數,(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(3)(4)在D內每一點都有與路徑無關,只與起止點有關.函數則以下四個條件等價:在D內是某一函數的全微分,即機動目錄上頁下頁返回結束第9頁/共26頁說明:

積分與路徑無關時,曲線積分可記為證明(1)(2)設為D內任意兩條由A到B

的有向分段光滑曲線,則(根據條件(1))定理2目錄上頁下頁返回結束第10頁/共26頁證明(2)(3)在D內取定點因曲線積分則同理可證因此有和任一點B(x,y),與路徑無關,有函數定理2目錄上頁下頁返回結束第11頁/共26頁證明

(3)(4)設存在函數

u(x,y)使得則P,Q在D內具有連續的偏導數,從而在D內每一點都有定理2目錄上頁下頁返回結束第12頁/共26頁證明

(4)(1)設L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖),利用格林公式,得所圍區域為證畢定理2目錄上頁下頁返回結束第13頁/共26頁說明:根據定理2,若在某區域內則2)求曲線積分時,可利用格林公式簡化計算,3)可用積分法求du=

Pdx+Qdy在域D內的原函數:及動點或則原函數為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點1)計算曲線積分時,可選擇方便的積分路徑;定理2目錄上頁下頁返回結束第14頁/共26頁例4.

計算其中L為上半從O(0,0)到A(4,0).解:為了使用格林公式,添加輔助線段它與L

所圍原式圓周區域為D,

則機動目錄上頁下頁返回結束第15頁/共26頁例5.

驗證是某個函數的全微分,并求出這個函數.證:

設則由定理2可知,存在函數u(x,y)使。。機動目錄上頁下頁返回結束第16頁/共26頁例6.

驗證在右半平面(x>0)內存在原函數,并求出它.證:

令則由定理2

可知存在原函數機動目錄上頁下頁返回結束第17頁/共26頁或機動目錄上頁下頁返回結束第18頁/共26頁例7.設質點在力場作用下沿曲線L:由移動到求力場所作的功W解:令則有可見,在不含原點的單連通區域內積分與路徑無關.機動目錄上頁下頁返回結束第19頁/共26頁思考:積分路徑是否可以取取圓弧為什么？注意,本題只在不含原點的單連通區域內積分與路徑無關!機動目錄上頁下頁返回結束第20頁/共26頁內容小結1.格林公式2.等價條件在

D

內與路徑無關.在

D

內有對D

內任意閉曲線L有在D

內有設P,Q

在D

內具有一階連續偏導數,則有機動目錄上頁下頁返回結束第21頁/共26頁思考與練習1.設且都取正向,問下列計算是否正確?提示:機動目錄上頁下頁返回結束第22頁/共26頁2.設提示:作業P1532(1);3;4(3);5(1),(4);6(2),(5)第四節目錄上頁下頁返回結束第23頁/共26頁

備用題1.

設

C

為沿從點依逆時針的半圓,計算解:

添加輔助線如圖,利用格林公式.原式=到點機動目錄上頁下頁返回結束第24頁/共26頁2.

質點M沿著以AB為直徑的半圓,從A(1,2)運動到點B(3,4),到原點的距離,解: