2023年內蒙古自治區包頭市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

A.1

B.

C.0

D.

2.設f(x)為連續函數，則等于()．A.A.f(x2)B.x2f(x2)C.xf(x2)D.2xf(x2)

3.若x0為f(x)的極值點，則（）．A.A.f(x0)必定存在，且f(x0)＝0

B.f(x0)必定存在，但f(x0)不－定等于零

C.f(x0)不存在或f(x0)＝0

D.f(x0)必定不存在

4.設f(x)在點x0的某鄰域內有定義，且，則f'(x0)等于()．A.-1B.-1/2C.1/2D.1

5.

6.設二元函數z==()A.1

B.2

C.x2+y2

D.

7.

8.A.A.僅為x=+1B.僅為x=0C.僅為x=-1D.為x=0，±1

9.

10.設y=cos4x，則dy=（）。A.

B.

C.

D.

11.設函數f(x)在(0，1)內可導，f'(x)>0，則f(x)在(0，1)內（）A.A.單調減少B.單調增加C.為常量D.不為常量，也不單調

12.設f(x)，g(x)在[a，b]上連續，則()。

A.若,則在[a，b]上f(x)=0

B.若，則在[a，b]上f(x)=g(x)

C.若a<c<d<b，則

D.若f(x)≤g(z)，則

13.A.A.

B.

C.

D.

14.

15.曲線y=x-3在點(1，1)處的切線斜率為()

A.-1B.-2C.-3D.-416.設f'(x0)=1,則等于()．A.A.3B.2C.1D.1/217.A.A.2B.1/2C.-2D.-1/2

18.函數f(x)=lnz在區間[1，2]上拉格朗日公式中的ε等于()。

A.ln2

B.ln1

C.lne

D.

19.微分方程(y)2＋(y)3＋sinx=0的階數為

A.1B.2C.3D.4

20.

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.________。

25.

26.

27.設f(x)=1+cos2x，則f'(1)=__________。

28.

29.求30.

31.32.33.設f(x)=esinx，則=________。34.微分方程xy'=1的通解是_________。35.36.

37.38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.42.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．43.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．44.

45.

46.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

47.48.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

49.

50.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．51.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．52.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．53.54.證明：55.求曲線在點(1，3)處的切線方程．56.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則57.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．58.求微分方程的通解．

59.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

60.

四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.

65.

66.67.68.

確定a，b使得f(x)在x=0可導。69.求微分方程xy'-y=x2的通解．70.五、高等數學(0題)71.

________.

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.B

2.D解析：

3.C本題考查的知識點為函數極值點的性質．

若x0為函數y＝f(x)的極值點，則可能出現兩種情形：

(1)f(x)在點x0處不可導，如y＝|x|，在點x0＝0處f(x)不可導，但是點x0＝0為f(x)＝|x|的極值點．

(2)f(x)在點x0可導，則由極值的必要條件可知，必定有f(x0)＝0．

從題目的選項可知應選C．

本題常見的錯誤是選A．其原因是考生將極值的必要條件：“若f(x)在點x0可導，且x0為f(x)的極值點，則必有f(x0)＝0”認為是極值的充分必要條件．

4.B由導數的定義可知

可知，故應選B。

5.A解析：

6.A

7.B

8.C

9.C

10.B

11.B由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)內單調增加．因此選B．

12.D由定積分性質：若f(x)≤g(x)，則

13.D本題考查的知識點為偏導數的計算．

14.B

15.C由導數的幾何意義知，若y=f(x)可導，則曲線在點(x0，f(x0))處必定存在切線，且該切線的斜率為f"(x0)。由于y=x-3，y"=-3x-4，y"|x=1=-3，可知曲線y=x-3在點(1，1)處的切線斜率為-3，故選C。

16.B本題考查的知識點為導數的定義．

由題設知f'(x0)=1，又由題設條件知

可知應選B．

17.B

18.D由拉格朗日定理

19.B

20.D

21.2

22.

23.y=f(0)

24.

25.-sinx

26.

27.-2sin2

28.

29.=0。30.1．

本題考查的知識點為二元函數的極值．

可知點(0，0)為z的極小值點，極小值為1．

31.＜032.0．

本題考查的知識點為連續函數在閉區間上的最小值問題．

通常求解的思路為：

33.由f(x)=esinx，則f"(x)=cosxesinx。再根據導數定義有=cosπesinπ=-1。34.y=lnx+C

35.解析：

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.由二重積分物理意義知

44.由一階線性微分方程通解公式有

45.

46.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

47.

48.

49.

則

50.函數的定義域為

注意

51.

52.

53.

54.

55.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

56.由等價無窮小量的定義可知

57.

列表：

說明

58.

59.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b；∵可導一定連續∴a+b=1②

∵可導f-"(x)=f+"(x)∴b=-4∴a=5①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b；∵可導一定連續∴a+b=1②∵可導f-"(x)=f+"(x)∴b=-4∴a=5①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b；∵可導一定連續∴a+b=1②∵可導f-"(x)=f+"(x)∴b=-4∴a=569.將方程化為標準形式本題考查的知識點為求