矩陣的定義

由個數排成的行列的數表稱為矩陣.簡稱矩陣.記作簡記為元素是實數的矩陣稱為實矩陣,元素是復數的矩陣稱為復矩陣.主對角線副對角線例如是一個實矩陣,是一個復矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣.例如是一個3階方陣.幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數與列數都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).

稱為對角矩陣(或對角陣）.（3）形如的方陣,不全為0

（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同階數的零矩陣是不相等的.例如記作(5)方陣稱為單位矩陣（或單位陣）.

同型矩陣與矩陣相等的概念1.兩個矩陣的行數相等,列數相等時,稱為同型矩陣.全為12.兩個矩陣為同型矩陣,并且對應元素相等,即則稱矩陣相等,記作例如為同型矩陣.例

設解１、定義一、矩陣的加法設有兩個矩陣那末矩陣與的和記作，規定為說明

只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.例如2、矩陣加法的運算規律1、定義二、數與矩陣相乘例如2、數乘矩陣的運算規律矩陣相加與數乘矩陣合起來,統稱為矩陣的線性運算.（設為矩陣，為數）１、定義并把此乘積記作三、矩陣與矩陣相乘設是一個矩陣，是一個矩陣，那末規定矩陣與矩陣的乘積是一個矩陣，其中例１設例2故解注意

只有當第一個矩陣的列數等于第二個矩陣的行數時，兩個矩陣才能相乘.例如不存在.２、矩陣乘法的運算規律（其中為數）;

若A是階矩陣，則為A的次冪，即并且注意

矩陣不滿足交換律，即：例

設則但也有例外，比如設則有例3

計算下列乘積：解解=(）定義

把矩陣的行換成同序數的列得到的新矩陣，叫做的轉置矩陣，記作.例１、轉置矩陣四、矩陣的其它運算轉置矩陣的運算性質例5已知解法1解法2

由四個數排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數表定義即主對角線副對角線對角線法則二階行列式的計算若記對于二元線性方程組系數行列式二、三階行列式定義記（6）式稱為數表（5）所確定的三階行列式.(1)沙路法三階行列式的計算.列標行標(2)對角線法則注意

紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負號．說明1

對角線法則只適用于二階與三階行列式．例解方程左端一、行列式的性質性質1

行列式與它的轉置行列式相等.行列式稱為行列式的轉置行列式.記性質2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.性質3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數，等于用數乘此行列式.推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．性質４

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．性質5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和.性質６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變．2、方陣的行列式定義

由階方陣的元素所構成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運算性質定義行列式的各個元素的代數余子式所構成的如下矩陣性質證明則稱為矩陣的伴隨矩陣.故同理可得則矩陣稱為的可逆矩陣或逆陣.一、概念的引入在數的運算中，當數時，有其中為的倒數，

（或稱的逆）；

在矩陣的運算中，單位陣相當于數的乘法運算中

的1，那么，對于矩陣，如果存在一個矩陣,使得二、逆矩陣的概念和性質

定義

對于階矩陣，如果有一個階矩陣

則說矩陣是可逆的，并把矩陣稱為的逆矩陣.,使得例設說明

若是可逆矩陣，則的逆矩陣是唯一的.若設和是的可逆矩陣，則有可得所以的逆矩陣是唯一的,即例設解設是的逆矩陣,則利用待定系數法又因為所以定理1

矩陣可逆的充要條件是，且

證明若可逆，按逆矩陣的定義得證畢奇異矩陣與非奇異矩陣的定義例1求方陣的逆矩陣.解三、逆矩陣的求法同理可得故解例2例3解給方程兩端左乘矩陣給方程兩端右乘矩陣得給方程兩端左乘矩陣得給方程兩端右乘矩陣一、矩陣的分塊

對于行數和列數較高的矩陣，為了簡化運算，經常采用分塊法，使大矩陣的運算化成小矩陣的運算.具體做法是：將矩陣用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.例即即二、分塊矩陣的運算規則例分塊對角矩陣的行列式具有下述性質:例1設解則又于是例2其中其中例3設解引例消元法解線性方程組求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過程．解用“回代”的方法求出解：于是解得（2）小結：1．上述解方程組的方法稱為消元法．2．始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍．（與相互替換）（以替換）（以替換）3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數和常數進行運算，未知量并未參與運算．若記則對方程組的變換完全可以轉換為對矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換．定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二、矩陣的初等變換定義2矩陣的初等列變換與初等行變換統稱為初等變換．

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換等價關系的性質：具有上述三條性質的關系稱為等價．例如，兩個線性方程組同解，就稱這兩個線性方程組等價用矩陣的初等行變換解方程組（1）：特點：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個臺階只有一行，臺階數即是非零行的行數，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元．注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數也是由方程組唯一確定的．

行最簡形矩陣再經過初等列變換，可化成標準形．例如，特點：

所有與矩陣等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標準形是這個等價類中最簡單的矩陣.定義由單位矩陣經過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應著三種初等方陣.

矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運算，應用廣泛.一、初等矩陣的概念

定理1設是一個矩陣，對施行一次初等行變換，相當于在的左邊乘以相應的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當于在的右邊乘以相應的階初等矩陣.二、初等矩陣的應用初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣

定理2設A為可逆方陣，則存在有限個初等方陣證即利用初等變換求逆陣的方法：

解例１即初等行變換例２解列變換列變換例5解分析：一、線性方程組有解的判定條件問題：證必要性.(),,nDnAnAR階非零子式中應有一個則在設=(),根據克拉默定理個方程只有零解所對應的nDn從而這與原方程組有非零解相矛盾，().nAR<即充分性.(),nrAR<=設.個自由未知量從而知其有rn-任取一個自由未知量為１，其余自由未知量為０，即可得方程組的一個非零解.證必要性．,有解設方程組bAx=()(),BRAR<設則B的行階梯形矩陣中最后一個非零行對應矛盾方程０＝１，這與方程組有解相矛盾.()().BRAR=因此并令個自由未知量全取0，rn-即可得方程組的一個解．充分性.()(),BRAR=設()()(),nrrBRAR￡==設證畢其余個作為自由未知量,

把這

行的第一個非零元所對應的未知量作為非自由未知量,小結有唯一解bAx=()()nBRAR==?()()nBRAR<=?有無窮多解.bAx=齊次線性方程組：系數矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解．若有解，化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；例1

求解齊次線性方程組解二、線性方程組的解法即得與原方程組同解的方程組由此即得例