Lx2y29,考研數學 1987-L考研數學 1987-L （經典珍藏版1987年 一、填空題(本題5小題315

已知三維向量空間的基底α1(1,1,0),α2(1,0,1),α3(0,1,1),則向量β(2,0,0)在此基 二、(本題滿8

使等式

t

dt

成立答案填在題中橫線上當x ylnx與兩直ye1xy0所圍成的

三、(本題滿7

x0bxsinx

at面圖形的面積 與兩直線y1z2x1y2z1都平行且過原點的平面方程為

fg為連續可微函數ufx,xy),vgxxy),u,vx設矩陣A和 滿足關系式AB=A2B,其 A 0,求矩陣0 四、(本題滿8

于s,不依賴于設常數k

0則級

nkn求微分y6y9a2y1的通解,其中常數a五、選擇題(本題4小題312小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項)f(x)f

(A)發 (C)條件收 (D)散性與k的取值有設A為n階方陣，且A的行列式|A|a0,而A*是A設 (xa)

1則在xa

隨矩陣，則|A*|f(x)的導數存在,且f(a) (B)f(x)

(A) (B)a得極大(C)f(x)取得極小值 (D)f(x)的

(C)本題滿分10

sfx)為已知連續It

f(tx)dx,t0,s

求冪級數

n1的收斂域，并求其和函數xnx0則I依賴于s和

本題滿分10t和

依賴于

、x,不依賴于

求曲面Ix(8y1)dydz2(1y2)dzdx4yzdxdy,其中是由曲f(xz

y x

y軸正向的夾角 于.本題滿分10設函f(x)在閉區間[0,1上可微,對于[0,1上的每一個xf(x)的值都在開區間(0,1)f(x)1,證明在(0,1)內有且僅有一個xfx)x.本題8問a,b為何值時,現線性方程x1x2x3x4x22x32x4x2(a3)x32x43x12x2x3ax4有唯一解,無解,有無窮多解?并求出有無窮多解時的通解十、填空題(本題3小題,每小26分.把答案填在題中橫線上設在一次實驗中,事件A發生的概率為p,現進行n次獨立試驗,則A至少發生一次的概率為 ;而事件A至多發生 第2個箱子里,再從第2個箱子中取出1個球,此球是白球的概率 .已知上述從第2個箱子中取出的球是白球,從第一個箱子中取出的球是白球的概率 已知連續 量X的概率密度函數為f(x)

1ex22x1,則X的數學期望 ,X的方差 設 f(x)

0x1,f(y) e

y0

求Z2XY的概率密度函數 其它

y1988年 (1)求冪級數(x3)的收

斂 設4階矩陣A[α,γ2,γ3,γ4],B[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均為4維列向量,且已知行列式A4,B1,則行列式AB=

f(x)ex2,f[(x1x且x)0,求(x)及其定設為曲x2y2z21的外側算曲面積Iòx3dydzy3dzdx

三、選擇題(本題5小題,每小315fx)可導f(x)1,則x0時,f(x)在x 微分dy二、填空題(本題4小題,每小312若f(t)limt(11)2tx,則f(t)=

(A)與x等價的無窮 (B)與同階的無窮(C)比x低階的無窮 (D)比 f(x

連續且

x31f(t)dt 0

高階的無窮f(7)

yfx)是方程y2y4y0f(x00,f(x00則函fx)在點x02f(x)

1x0,則 葉(Fourier)級數在x1處0x

(A)取得極大 (B)得極小 (D)某

k1k2,L,ks,k1α1k2α2Lksαs, :x2y2z2R2z0,:x2y2z2R2x0,y0,z0,

α,α,L,

中存在一個向量不能用其余向量線 xdv4

表ydv4

(D)α,α,L,

中存在一個向量都不能用其余向量 zdv4 xyzdv4

性表 nax1nx1處收斂,則此級數在n

四、(本題滿6x2

設uyfxxg(y其中f、g具有二階連續導數 (A)條件收 (B)絕

求收

yxy(C)發 (D)收性不能n維向量組α1α2,L,αs(3sn)線性無關的充要條

五、(本題滿8設函yyx)滿足微分方y3y2y2ex,其圖形在點(0,1)處的切線與曲線yx2x1在該點處的切線重合,求函yy(x).本題9本題9設位于(0,1)的質A對質點M的引力大小k(k0為常數rA質點與M之間的距離),質點Mr線y 2xx2自B(2,0)運動到O(0,0),求在此運動過程中質點A對質點M的引力所作的功.

設函fx)在區間ab上連續,且在(abf(x0證明:在(ab內存在唯一的,使曲yfx)與兩yf(),xa所圍平面圖形面積S是曲yfx)與兩直yf(),xb所圍平面圖形面積S23十、填空題(本題3小題,每小26本題6

0

把答案填在題中橫線上(1)設在三次獨立試驗中,事件A出現的概率相等已知APBP,其中B

0,P

0求A

已知A至少出現一次的概率等于19則事件A在一次試0

中出現的概率 本題滿分8分 (2)若在區間(0,1)內任取兩個數,則事件”兩數之

0

小于6”的概率為 已知矩陣A 1與B 0相似 求x與

0 0

(3)設 量X服從均值為10,均方差為0.02的態分布求一個滿足P1APB的可逆陣(x)

x 2 e2

du,(2.5) 則X落在區間(9.95,10.05)內的概率 設 量X的概率密度函數為量Y13X的概率密度函fY

(1x2

,1989年 把答案填在題中橫線上已知f(3)2,則limf(3h)f(3)= 1 1

所選項前的字母填在題后的括號內當x0yxsinx (B)有(C)既有水平漸近線,又有鉛直fx)f(x)

f(xx20f(t)dt,

既無水平漸近線,又無鉛直已知曲z4x2y2上點PL為下半圓y1x2(x2y2)ds L

面2x2yz10則點的(1,1, (B)(1,1,2)向量場

div

在點P(1,1, 處的散

(C)(1,1, (D)(1,1,divu

設線性無關的函數都是二階非齊次線性方程解是任意常數,則該非齊次方程的通解 設矩陣A 0,I 0 則

cycy0 0 (A2I)1

1 2 c1y1c2y2(c1c2)c1y1c2y2(1c1c2)二、選擇題(本題5小題,每小315

c1y1c2y2(1c1c2) f(x)x2,0x S(x)b

bsinnxx,n n

(3(xz)dv,其中是由x2x21x2 20f(xsinnxdxn1,2,3,L,S(2)

z 與z

所圍成的區(A)2(C)4

(B)4(D)2

四、(本題滿6設A是n階矩陣,且A的行列必有一列元素全為兩列元素對應成比

A0,則A

將函f(x)arctan1x展為x的冪級1五、(本題滿7必有一列向量是其余列向量的線性組 任一列向量是其余列向量的線性組

f(xsinx0(xtf(t)dtf為連續函數fx本題7x

證明lnx

x

1cos2xdx在區間(0,)內有,g(u,zf(2xy)gx,xy),其中函數ft)二階可導具有連續二階偏導,g(u,設曲線積分xy2dxy(x)dy與路徑無關,其中c具有連續的導數,且00

僅有兩個不同實根本題6問為何值時,線性方程(1,1)xy2dx

的值

x1x34x1x22x36x1x24x32本題滿分8分）

P(AUB) 率分別為0.6和0.5,現已知目標被命中,則它是甲射中 假設為n階可逆矩陣A的一個特征值

量在(1,6)上服從均勻分布,則方x2x10有實根的概率 (2

為A的伴隨矩陣A*的特征

本題9設半徑為R的球面的球心在定球x2y2z2a2a0)上,問當R為何值時,球面在定球面(1A的概PA)0.5,隨機事件B率PB)06及條件概率PB|A)0.8,則和事AUB的概

量X與Y獨立,且X服從均值為1標準差(均方差)為2的正態分布,而Y服從標準正態分布.試求量Z2XY3的概率密度函數1990年

二、選擇題(本題5小題,每小315把答案填在題中橫線上

xt

efx)F(x)eexf(ex)f

f

則F(x)過點M(1,21)且與直線y3t4垂直的平面方程 zt設a為非零常數,則lim(xa)x= xx

exf(ex)fexf(ex)fexf(ex)f已知fx

具有任意階導數f(x)f(x)]2設函數f(x) 0

x x

n![ff[f[f(x)] (4)dxey2dy的值 .(C)[f(x)] 知向量組(D)n![fα1(1,2,3,4),α2(2,3,4,5),α3(3,4,5,6),α4(4,5,6,

(3)設a為常數,則級數

sin(na) 1 則該向量組的秩

(A)絕對收 (B)件收(C)發 (D)收性與a的取值有已知fx)x0

求1ln(10(2設zf(2xy,ysinx),fuv)具有連續的二階導數2zf(0)0,

f

則在點x0

f(x

x01cos(A)不可 f(0)(C)取得極大 (D)取極小已知β1β2是非齊次線性方程組AXb的兩個不同k2為任意常數,則方程組AXb的通解(一般解)必是kαk(αα)β11 kαk(αα)β11 kαk(ββ)β11

四、(本題滿6求冪級數(2n1)xn的收斂域,并求其和函數IyzdzdxS其中S是球面x2y2z24外側在z0的部分

k1α1k2(β1β2)

β1β2

本題7)區間(ab內可導fa)f(b).證明在(ab)內至少存在點,f(本題6

質點P沿著AB為直徑圓周A(12)運動到點B(34的過程中受變r作用(見圖r 設四階

0 0

大小等于點P與原點O之間的離,其方向垂直于線段OP且與B ,C 1

軸正向的夾角小.變力2 且矩陣A滿足關系其中E為四階單位矩陣C1表示C的逆矩陣C表示C的轉

質點P所作的功已知 本題8求一個正交變換化二次型

f(x)

1e2

,xfx24x24x24xx4xx8xx 1 1 2本題8

則X的概率分布函數F(x) 設隨機事件A、B及其和事件的概率分別是0.40.3和0.6,若B表示B的對立事件,那么積事件AB的概率P(AB)= 已知離散型 量X服從參數為2的泊k(Poisson)分布,即P{Xk}2e,k0,1,2,L,則 kZ3X2的數學期望E(Z) 設二維隨 量(X,Y)在區域D:0x1,yx內服從均勻分布,求關于X的邊緣概率密度函數及 Z2X1的方差D(Z1991年

0 0(5)設4階方陣A ,則A的逆 1 一、填空題(本題5小題,每小315設x1t2,則d2y ycos 由方程xyz x2y2z2 2所確定的函zz(x,y)在點(1,0,1)處的全微分dz 已知兩條直線的方程是l:x1y2z3;l:x2y1z則過l且平行于l 平面方程

A1 二、選擇題(本題5小題,每小3152y121e(A)沒有漸近 (B)僅水平漸 (D)既 (2)若連續函

fx)滿足關系

f(x)

2f(t)dtln2已知當x0時,(1ax)31與cosx1是等價無窮小,則常數a= 2

fx)

(A)exln (B)e2xln(C)exln(D)e2xln n 已知級數(1)n1a2,a 5, n

側的法向量,求函數u

6x28y2z

向導 設D是平xoy上以(1,1)、(1,1)和(1,1)為頂點

(x2y2z)dv其中是由曲y2z繞z軸旋2 x2三角形區域,D1是D在第一象限的部分(xycosxsiny)dxdyD(A)2cosxsin(C)4(xycosxsin

(B)2

四、(本題滿6O(00)A(0)的曲線yasinxa0)中,求一條曲線L使沿該曲線O從到A的積分設n階方陣ABC滿足關系式ABCE,其中E是

(1y3)dx(2xL

的值最階單位陣,則必(A)ACB (B)CBA

五、(本題滿8將函f(x2x(1x1展開成2周(C)BAC (D)BCA

葉級數,并由此求級

1的和n1求lim(cos x)2

本題7nr2x23y2z26P(1,1,1)處的指向n

fx)[0,1]0,1)1 fxdxf(0)證明在(0,1)內存在一點cf(c)13

是法線x軸的交點),且曲線在點(1,1)處的切線x本題8 α110,2,3α2(1,13,5α3(11a2,1α412,4,a β(1,1,b3,a、b為何值時β不能表示成α1α2α3α4的線性合ab為何值時,β有α1α2α3α4的唯一的線性表示式?本題6設A是n階正定陣E是n階單位陣,證明AE的行列式1.本題8

平行若 量X服從均值為2方差為2的正態分布且P{2X4}0.3,則P{X0} 隨機地向半圓0y 2axx2(a為正常數)內擲則原點和該點的連線x軸的夾角小的概率4 設二維 量(X,Y)的密度函數在上半平面求一條向上凹的曲線,其上任一點P(x,

f(x,y)

2e(x2y0

x0,y處的曲率等于此曲線在該點的法線段PQ長度的倒數( 求 量ZX2Y的分布函數dy dxuln(x2y2z2)在點M(1,22)處的梯graduM 設f(x) 1

x0,則其以2為周期的0x里葉級數在點x處收斂 微分方程

yytanxcos

的通解為y

a a ab設

A2 2

2n La a abn n nnai0,bi0,(i1,2,L, 1992年 一、填空題(本題5小題,每小315

r(A) 每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把)x2 yyx)由方程exycos(xy0確定

當x1時,函

x

ex1的極等于 (B)等于

1 0要使ξ0ξ1都是線性方程組AX0的解 (C)為 (D) 在但不為級數(1)n(1cosa)(常數a

只要系數矩陣A

1(A)發 (B)件收(C)絕對收 (D)在曲xt,yt2zt3的所有切線中,與平面x2yz4平行

0 20 0 1(A)只有1 (B)2

exsinx. .x011(C)至少有3 (D)不在

zf(exsinyx2y2f具有二階連續偏導數求求f(x)3x3x2xf(n(0)存在的最高階數n

1(3)f(x)(3)

x0,求3f(x

e

x 四、(本題滿6求微分y2y3ye3x的通解五、(本題滿8

本題7設向量組α1α2α3線性相關,向量組α2α3α4線性無問α1能否由α2,α3線性表出?證明你的結論(x3az2dydzy3ax2dzdx(z3ay2dxdy,為上半

α能否由αα

線性表出?證明你的結論球面z

a2a2x2

本題7

本題7設f(x)0,f0

證明對任何x10x20,

向量依f(x1x2)f(x1)f(x2

1 1

13ξ1ξ2ξ3,又向量β3

本題

在變r

r r

將β用ξξξ線性表 運動到橢球面x2y2z2上第一卦限的 M(,,

求Anβ(n為自然 當、、取何值r所做的功W最大?并求出WF大值 十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分把答案填在題中橫線上 PA)P(B)P(C)1PAB)0,PAC)PBC)1, A、B、C全不發生的概率 量X服從參數為1的指數分布,則數學期望E{Xe2X}= 設隨X與Y獨立X服從正態分N(,2),Y服從[,上的均勻分布ZXY的概率分布密度算結果用標準正態分布表示,其中(x)

2

2dt)1993年 把答案填在題中橫線上

二、選擇題(本題5小題,每小315f(xsinxsin(t2dtg(xx3x4,x0,f函數F(x) x(21

1)dt(xt

的單調減少區間

gx)y由曲線3x22y212yz

軸旋轉一周得到的旋

(A)等價無窮 (B)同但非等價的無窮面在點(0, 2)處的指向外側的單位法向量 設函數f(x)xx2(x) 葉級數展

高階無窮 (D)低無窮雙紐線(x2y22x2y2式為0(ancosnxbnsinnx),b3

積分表 div(gradu)

u

x2y2z2

(A)24cos20(B)44cos20 設n階矩陣A的各行 和均為零,且A的秩

(C)20

cos2則線性方程 的通解

4(cos2)22n AX

設有直

x y

z8與l xy

則ll1

2

2yz l2的夾角(A)6

(B)4

求 x exex3

2

求微x2yxyy2滿足初始條特解

x11設曲線積分[f(tex]sinydxf(xcosL

與路徑fx具有一階連續導f(0)0fx)(A)ex (B)exe

四、(本題滿62(C)exex

exe

ò2xzdydzyzdzdxx2x22x2

2

z

與z

所圍立體的表面外側 t,P為三階非零矩陣, 3 PQ0,

五、(本題滿7求級數(1)(nn求級數

的和(A)t6時P的秩必為 (B)t6(C)t6時P的秩必為 (D)t6

nn

設在0)

f(x

fx)k0,f(00,fx)在(0,內有且僅有一 )求lim(sin2 1 )

點設bae,證明abbax 把答案填在題中橫線上本題8已知二次型fxxx)2x23x23x22axx(a0) 2過正交變換化成標準形fy22y25y2求參數a及所 的正交變換矩陣本題6設A是nm矩陣B是mn矩陣,其中nmI是n階單

有0和2兩次,每次抽一個,抽出后不再放回,則第二次抽出的是次 .設隨X服從(0,2)上的均勻分布,則量YX2在(0,4)內的概率分布密度fY(y) 矩陣,若ABI證明B的列向量組線性無

設隨機變量f(x)1ex,x2

的概率分布密度為本題6設物體A從點(0,1)出發,以速度大小為常數vy軸正向運動.物體B從點(1,0)與A同時出發,其速度大小為2v,方向始終指向A試建立物體B的運動軌跡所滿足的微分十、填空題(本題2小題,每小36

求X的數學期望EX和方差DX求XX的協方差,并問XX是否不相關問XX是否相互獨立?為什么1994年 把答案填在題中橫線上

二、選擇題(本題5小題,每小315設Mcos4xdx,NMcos4xdx,N 2(sin3xcos4x)dx,P 2(x2sin3xcos4 2limcot 2

)=

1x

sin

則zex2xy3(1,20)處的切平面方程為

NPMPNM

uex ,y

(2)

(D)PM x2y2R2 (x(x

fx,y)在點(x0y0)處兩個偏,)a aD

(A)充分條件而非必要條 ,已知α[1,2,3],β 1 設Aαβ,其中α是α ,2置,則An

必要條件而非充分條(C)充分必要條 (D)非充分條件又非必要條an設常數0,且級 2收斂,則級an

n2

zex2xy3(1,20)處的切平面方程為1 1(A)發 (B)條收

uexsinx,y

(2(C)絕對收 (D) 斂性與

x2y2R2 atanxb(1cos x0cln(12x)d(1ex

2,其中a2c20,則必

2a(2aD

y)dxdy=

b4

b4

已知α[1,2,3],β 1 設Aαβ,其中α是α的 , ,(C)a (D)a4已知向量組α1α2α3α4線性無關,則向量1994年 把答案填在題中橫線上

置,則An 二、選擇題(本題5小題,每小315設M2cos4xdx,NM2cos4xdx,N 2(sin3xcos4x)dx,P 2(x2sin3xcos4

1x

limcot )=

sin 則NP

斂性與atanxb(1cos x0cln(12x)d(1ex

2,其中a2c20,則必MPNMPMfx,y)在點(x0y0)處兩個偏,)充分條件而非必要條 必要條件而非充分條(C)充分必要條 (D)

(A)b4 (B)b4(C)a (D)a4已知向量組α1α2α3α4線性無關,則向量α1α2α2α3α3α4α4α1線性無α1α2α2α3α3α4α4α1線性無α1α2α2α3α3α4α4α1線性無α1α2α2α3α3α4α4α1線性無非充分條件又非必要條0,

an2an

n2n2

22

xcos(t2t2tytcos(t2)

cos

dyd2y在t2 2 (A)發 (B)條收

的值f(x)1ln1x1arctanxx展開x的冪 1 (C)絕對收 (D) 數 sin(2x)2sinx四、(本題滿6

本題6已知AB的直角坐標分別(1,00)與(0,1,1).線段ABx軸旋轉一周所成的旋轉曲面為S求由S及兩平z0z1所圍成的立體體積計算曲面積S

x2y2

,其中

是由曲x2y2R2zR,zRR0)兩平面所圍成立體表面的外側五、(本題滿9fx),f(0)0,f(0)1,且[xy(xy)f(xy]dx[f(xx2y]dy0為一全微分方程,求fx)及此全微分方程的通解.六、(本題滿8fx)在點x0的某一鄰域內具有二階連續導數

本題8設四元線性齊次方程組(Ⅰ) x1x20x2x4k1(0,1,1,0)k2(1,2,求線性方程組(Ⅰ)的基礎解析問線性方程組和若.本題6

f

0,證明級數f

設A為n階非零方陣A*是A的伴隨矩陣A是A的轉

矩陣,當A*AA十、填空題(本題2小題,每小36把答案填在題中橫線上AB兩個事件滿足條件PAB)PAB),P(A)p,則P(B) 設相互獨立的兩個 量X,Y具有同一分布率,且的分布 P 則 量Zmax{X,Y}的分布率 設 量X和Y分別服從正態分布N(1,32)N(0,42),且X與Y的相關系數 1,設ZXY 求Z的數學期望EZ和DZ方差求X與Z的相關系數問X與Y是否相互獨立?為什1995年

二、選擇題(本題5小題,每小315所選項前的字母填在題后的括號內x3y2z1把答案填在題中橫線上lim(13x)sinx

L:4x2yz20,則直線

2xy10z3(A)平行于 (B)在

(C)垂直于 (D)與

dxx

xcost (ab)gc

交[0,1]上f(x)0,則f(0),f(1),f(1f(0)[(ab)(bc)]g(ca) 冪級數R

n12n

的收斂半徑

f(0)f(1)的大小順序f(1)f(0)f(1)ff(1)f(1)f(0)f設三階方AB滿足關A1BA6ABA00 00

f(1)f(0)f(1)ff(1)f(0)f(1)fA 0,則B=

fx)可導F(x)f(x)(1sinx),f00Fx 1

7

在x0處可導(A)充分必要條 (B)分條件但非必要條(C)必要條件但非充分條 既非充分條件又非必要條

有一階連續偏導數0.du 1fx)在區間[0,1]上連0f(x)dx1 求0dxxf(xf 設

(1)n 1則級n n(A)

與u2都收n

un

x2nu2都發 (1)計算曲面積分zdS,其中為錐面x2n

收斂,而u2n

un

體x2y22x內的部斂,而u2n

(2)將函fx)x10x24a13 a13 a,P100, 01 00五、(本題滿7Aaa,則必

23

23 (C)PPA= (D)PPA=

設曲線L位于平xOy的第一象限內L上任一點M處33求L的方程1 2 2設uf(x,yz),(x2eyz)0,ysinx,其中f都具

六、(本題滿8設函數Qx,y)在平xOy上具有一階連續偏導線積L2xydxQ(x,y)dy與路徑無關,并且對任意t恒有 (0,0) Q(x, (0,0) Q(x, Q(x,y).本題8假設函fx)gx)在ab]上存在二階導數,并且g(x)0,fa)fb)ga)gb)0,試證:(1)在開區間(a,b)內gx)0.在開區間(ab內至少存在一點,使f()f()g( g(本題7設三階實對稱矩陣A的特征值為11231

次射中目標的概率0.4,則X2的數學期望E(X2) 設X和Y為兩個 量,P{X0,Y0}3,P{X0}P{Y0}4 則P{max(X,Y)0} 于的特征向量ξ1求

f(x) e

x0

x求 量YeX的概率密度fY(本題6設A為n階矩陣,滿足AAI(I是n階單位矩陣A是的轉置矩陣A0AI1996年 把答案填在題中橫線上設lim(x2a)x8,則a= xx

每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目所選項前的字母填在題后的括號內(xay)dxydya則等(x(A)- ffx)f(0)0,

x(6,3,2),且與平4xy2z8垂直,則此平面方程 微分方程y2y2yex的通解 函數uln(xy2z2A(1,0,1)處沿A指向B(3,2,2)方向的方向導數 設A是43矩陣,且A的秩r(A)2,而B

f(0fx)的極大f(0fx)的極小(0,f(0))是曲yfx)的拐f(0fx)的極值,(0,f(0))也不是曲yf(x)的拐設a0(n12,L),且a收斂,常數(0,),則則r(AB)

1

2n2數(1)n(n

n絕對收 (B) 件收(C)發 (D)散性與

(2)設x110,xn1 6xn(n1,2,L),試證數列{xn}極限

f(x

,f(0)0,f(0)0F(x) x(x2t2f(t)dtx0時F(x)0

xk是同階無窮小,則k

計算曲面積

(2xz)dydzzdxdy,S為有S zx2y2(0x1其法向量z軸正向的夾角為

角ux2

可把方程6

2z2四階行列2

000ab000ab00000

vx

0 a1a2a3a4

2z

求常數a1a2a3a4

五、(本題滿7

求級

的和

b3b4

(n21)2(a2a3b2b3)(a1a4b1b4六、(本題滿7

設對任x0,yfx)上點x,fx))處的切線軸上的截距等于

的一般表達式求心形線ra(1cos)的全長,其中a0是常

x

f

f(x本題8設fx)[0,1]上具有二階導數,且滿足條件f(x)a,f(x)bab都是非負常數,c是(0,1)內任

設工廠A和工廠B的產品的次品率分別為1%和一點

f

2ab2

現從由A和

的產品分別占60%和40%的一批產品中隨抽取一件,發現是次則該次品A生產的概率是本題6AIξξT其中I是n階單位矩陣,ξ是n維非零列

設,是兩個相互獨立且均服從正態分布量ξT是

的轉置

N(0,(1)2)的 量,則 量2

的數學期A2A的充分條件是ξTξ當ξTξ1時A本題8

E() 設,是兩個相互獨立且服從同一分布的兩個隨機變量,已知的分布率為P(i)1i12,3.3f(xxx5x25x2cx22xx6xx6xx的秩 1 1 2求參數c及此二次型對應矩陣的特征值f(x1x2x31表示何種二次曲面

XmaxYmin,).321Y寫出二維 量的分布率321YXX123求 量X的數學期望E(X1997 數學一、填空題(本題5小題,每小315

二、選擇題(本題5小題,每小3153sinxx2coslim x x0(1cosx)ln(1

二元函數f(x,y) x20

(x,y)(0,(x,y)(0,

,在點(0,設冪級

an

的收斂半徑為3冪級

(A)連續,偏導數存 (B)nna(x1)n1的收斂區間 n

續,偏導數不存對數螺線e(,)標方程

(e2,

處切線的直角

(C)不連續,偏導數存 連續,偏導數不存 設A

3B為三階非零矩陣,且ABO,

設在區間abfx)0,fx)0,fx)03 1

S f(x)dx,Sf(b)(ba),S

[f(a)f(b)](bt

則

有0中00白球,今有兩人依次隨機地從袋中各取一球,取后不放回, .

S1S2SS2S1S3S3S1SS2S3設F(xx2esintsintdtFxx為正常 (B)負常(C)恒為 (D)不常 c1設αaαbαc則三條

計算I (x2y2)dv,其中為平面曲 y2 x繞z軸旋轉一周所成的曲面與平面z8所圍成的區域計算曲線?zy)dx(xz)dy(xy)dz,其中c 2

2

2a3 b3 c3a2xb2yc2a3xb3yc3

是曲時針

x2y2xyz

從z軸正向往z軸負向看c的方向是 (其中a2b20,i12,3)交于一點的充要條 α1α2α3線性相α1α2α3線性無秩r(α1,α2,α3)秩r(α1,α2) (D)α1,α2,α3線性相關,α1,α2線性無關設兩個相互獨立的 量X和Y的方差分別4和2,則 量3X2Y的方差

的人進行的,設該人群的總人數為N在t0時刻已掌握新技術的人數為x0在任意時刻t已掌握新技術的人數為xt)(將xt)視為連續可微變量),其變化率與已掌握新技術人數和未掌握新技術人數之積成正比,比例常數k0,求xt).

設直線l xybxayz3

在平面上,而平面

設

是秩為2

54曲面zx2y2相切于點(1,25),求ab之值fu)具有二階連續導zf(exsiny

α[1,12,3],α[1,1,4,1],α[5,1,8,9]是齊次線性方 組Bx0的解向量,求Bx0的解空間的一個標準正交基足方程2z2z

1

2e2x f

已知ξ

3的一個特征

1是矩陣A 1 量五、(本題滿6fx)連續,(x)f(xt)dt,limf1

AA為常數

求(x并討論(x在x0處的連六、(本題滿8設a0, 1(a1)(n1,2,L),證 nnliman存在級數an1收斂.n1an1

問A能否相似于對角陣?說明理.本題5設A是n階可逆方陣,將A的第i行和j行對換后到的矩陣記為證明B可逆求本題7從學校乘汽車到火車站的途中3個交通崗各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的,并且概是2.設X為途中遇到紅燈的次數,求 量X的分5本題滿分5）f(x)

0x其它其中1是未知參數X1X2,L,Xn是來自總體X的一個容法求的估計量1998年 一、填空題(本題5小題,每小315lim1x1x2

二、選擇題(本題5小題,每小315

fx)連續

xtf(x2t2)dt02

zx

f(xy)y(xy),f,具有二階連續導數,則

(A)xf(x2 (B)xf(x2(C)2xf(x2

x2y2

f(xx2x2)x3x設

為橢

a,

(C)1?(2xy3x24y2)ds L

yyx)x設A為n階矩陣,

0,A*為A的伴隨矩陣E為n

y

1

x0

,x單位矩陣A有特征值,(A*)2E必有特征 設平面區域D由曲y1及直y0x1xe2x圍成,二維 量(X,Y)在區域D上服從均勻分布,

y0y(1) (A) 設矩 c是滿秩的直x

y

zc3X,Y)關于X的邊緣概率密度在x2處的

2

a1 b1 c1直線xa1yb1za2 b2 c2(A)相交于一 (B)重(C)平行但不重 (D)面設A, 是兩個隨機事件,0PA1P(B)0,P(B|A)P(B|A則必P(A|B)P(A|P(A|B)P(A|P(AB)P(A)P(BP(AB)P(A)P(B三、(本題滿5求直線l:x1yz1在平面:xy2z10上的 影直線l0的方程,并求l0繞y軸旋轉一周所成曲面的方

,x0A(x,y)2xy(x4y2ix2x4y2j為某二元函數ux,y)的梯度,并求ux,y).五、(本題滿6儀器的質量為m體積為B海水密度為儀器所受的阻力與下沉速度成正比,比例系數為k(k0試建立y與v所滿足的微分方程,并求出函數關系yy(v).六、(本題滿7計 axdydz(za)2dxdy(x2y2z2)1

a2x2a2x2

z

的上側,a為大于零的常數本題6七、(本題滿61sin sin 1

已知二次曲面方程x2ay2z22bxy2xz2yz4 求lim n n

sin

xn

n2

n n

本題滿分5分 n設正向數列{an}單調(1)nn

發散,試問級 )n是否收斂?并說明理由n1an本題6yfx)是區間[0,1上的任一非負連續函數試證存x0(0,1),使得在區間[0x0f(x0的矩形面積,等于在區間[x0,1yfx)為曲邊的曲邊

設A是n階矩陣,若存在正整數k使線性方程組Akx有解向量α且Ak1α,a11x1a12x2

a1,2nx2nfx)在區(0,1)內可導f(x)2f(x),x

a21

x2L

x2n明(1)中的x0是唯一

an1x1an2x2Lan,2nx2n的一個基礎解析(b,b,L )T,(b,b,L11

)T,L,(b,b,L, )T試寫出z(xz(x性方程

b21y1b22y2Mbn1y1bn2y2

b1,2ny2nb2,2ny2nbn,2ny2n

設某次考試的學生成績服從正態分布,從中隨機地的通解,并說明理由 差為1的正態分布,求隨 量XY的方差.2其樣本均值位于區間(1.4,5.4)內的概率不小于0.95,問樣本容量n至少應取多大?附:標準正態分布

70分?.P{t(n)tp(n)}(x)

z

t2 1999年 把答案填在題中橫線上

(A)當f(x)是奇函數時,F(x)必是偶函 (B)fx是偶函數時F(x)必是奇(C)fx)是周期函數時F(x)必是周期函D)fx是單調增函數時F(x必是單調增函1cos

xlim(x0x

) xtan

設f(x)

gx)是有界函數dxsin(xt)2dt dxy4ye2x的通解為y

fx)在x0

x設n階矩陣A的元素全為1,則A的n個特征值 設兩兩相互獨立的三事件ABC滿足條ABC,PA)P(B)P(C)1,2且已知P(AUBUC)9,則P(A)=

(A)極限不存 (B)極存在,但不連(C)連續,但不可 (D)導設

f(x)

0x

,S(x)a0

acosnx,x22x1x 每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目

1

, 5等其中an20f(xcosn

(n0,1,2,L

S(2所選項前的字母填在題后的括號內fx是連續函數F(xfx)的原函

2(C)4

2(D)4設A是mn矩陣B是nm矩陣

求I (exsinyb(xy))dx(excosyL

其中ab(A)當mn時,必有行列式|AB| (B)mn時,必有行列式|AB|(C)當nm時,必有行列式|AB| (D)當n時,必有行列式|AB| 量X和Y分別服從正態分布N(0,1)和N(1,1),則P{XY0}2

的常數,L為從點A(2a,0)沿曲線y 2axx2到點O(0,0)的五、(本題滿6設函yx)(x0二階可導yx)0,y01.過曲yyx)上任意一點Px,y)作該曲線的切線及x軸的垂線上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1,區間[0xyyx)為曲線的曲邊梯形面積記為S2P{XY1}2P{XY0}2

2S1S21,y六、(本題滿7

y(x

的方P{XY1}2

論證:當

x

(x21lnxx三、(本題滿6yyx),zzx)是由方zxfxy)Fx,y,z)0確定的函數f和F分別具有一階連續導數和一階連續偏導數,求dz.四、(本題滿5

七、(本題滿6放入井底,抓起污泥后提出井口(見圖).已知井深30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度3m/s,在提升過程中,污泥20N/s速率從抓斗縫

c設矩陣A

3其行列式|A|1,又A的伴中漏掉.現將抓起污泥的抓(說明:①1N1m=1Jm,N,s,J分別八、(本題滿7

A*有一個特征00的一個特征向量為0α11,1)T求abc和的值.十一、(本題滿6分)0設A為m階實對稱矩陣且正定B為mn實矩BTB的轉置矩陣,試證BTAB為正定矩陣的充分必要條B的秩rB)S

x2y2

z21

十二、(本題滿8Px,yz)S為S在點P處的切平面x,y,z)為點O(00到平面的距離,求 dS.S(x,y,九、(本題滿7XYXYP(Xxi)1818P(Yyi)p161

設 量X與Y相互獨立,下表列出了二維量X,Y聯合分布率及X和關于Y的邊緣分布率中的n設a 4tannxdxn0求

(anan2

的值1n11試證:對任意的常數0,級數an收n1十、(本題滿8十三、(本題滿66x(x)0<x設X的概率密度f(x)

,X1,X2,L,X是取自總體X的簡單隨機樣2000年 1一、填空題(本題5小題,每小3151202xxdx 2x22y23z221(122)的法線方程 微分方程xy3y0的通解

所選項前的字母填在題后的括號內fx)gx)是恒大于零的可導函數,且fxgx)fxgx)0,則當axbf(x)g(b)f(b)g(xf(x)g(a)f(a)g(xf(x)g(x)f(b)g(bf(x)g(x)f(a)g(aSx2y2z2a2(z0S1為S 已知方程組

1x1 a2x3無解a

2 1 A和B都不發生的概率

xdS4 ydS4 zdS4 1,9

發生

不發生的概率與

發生

不發生的概率

xyzdS4 設級數un收斂,則必收斂的級數則P(A)

(1)nun (B)u2

二、選擇題(本題5小題,每小315

(C)(u2n1u2n(D)(unun1設n維列向量組α1,L,αm(mn線性無關,則n

四、(本題滿5向量組β,L,

線性無關的充分必要

zf(xy,xg(x)f具有二階連續偏導數g (A)向量組α,L

可由向量組β,L

線性表

2 .(B)向量組β,Lβ可由向量組α,L,.

線性表

有二階連續導數 (C)向量組α,L,α與向量組β

五、(本題滿6(D)矩陣Aα1,L,αm與矩陣Bβ1,L,βm設二維 量(X,Y)服從二維正態分布,則隨

計算曲線積

I xdyydx L4

是以

(1,0)變量XY與XY不相關的充分必要條件E(X)E(YE(X2)[E(X)]2E(Y2)[E(YE(X2)E(Y2E(X2)[E(X)]2E(Y2)[E(Y

心R為半徑的圓周R1取逆時針方向六、(本題滿7設對于半空x0內任意的光滑有向封閉曲面S,都òxf(x)dydzxyf(x)dzdxe2xzdxdy0,其中函數fx)S(0內具有連續的一階導數limf(x1fx)三、(本題滿61求lim2exsinx

七、(本題滿6xxx

1e

求冪級數

的收斂區間,并討論該區間n13 點處的收斂性十一、(本題滿8八、(本題滿7設有一半徑為R的球體,P0是此球的表面上的一個定點,球體上任一點的密度與該點到P0距離的平方成正比(比例常數k0),求球體的重心位置.九、(本題滿6設函 f(x 在 上連續,

某適應性生產線每年1月份進行熟練工與非熟練的人數統計,然后將1熟練工支援其他生產部門,其缺6由招收新的非熟練工補齊.新、老非熟練工經過培訓及2.設第n年15熟練工與非熟練工所占百分比分別為xnyn,記成向xny ynf(x)dx

f(xcosxdx0試證(0,)內至少存在兩

xn1

xny

n1 xn1 n1 n

n十、(本題滿6設矩 的伴隨矩

A* ,

驗證η4η1是A的兩個線性無關的1 1 1 1 2 向量,并求出相應的特征值

1

xn1 (3)當12時,求 y

yn1

1 2十二、(本題滿8某流水線上每個產品不合格的概p(0p1),各產品合格與否相對獨立,當出現1個不合格產品機檢修.設開機后第1次停機時已生產了的產品個X,求X的數學期望EX和方差DX十三、(本題滿6X2e2(x)x0f(x;)0

x

x1x2,Lxn是X的一組樣本觀測值,求參數的最大似然估2001年

所選項前的字母填在題后的括號內(1fx)在定義域內可yfx)的圖形如右圖所示yf(x)的圖形為把答案填在題中橫線上(1yex(asinxbcosx)(ab為任意常數)為某二階常系數線性齊次微分方程的通解,則該方程為 r x2y2z

= 12交換二次積分的積分次序:dy f(x, 12

設A2A4EO,則(A2E)1= DX)2,則根據車貝曉夫不等式有估計

P{XE(X)2} 二、選擇題(本題5小題,每小315

合同且相 (B)

f(x,

在點(00)

同但不(C)不合同但相 (D)合同且不相fx(0,0)3,fy(0,0)1(A)dz|(0,0)3dx(B)曲面zfx,y)在(00,f(00))處的法向量為

(5)將一枚硬幣重復擲n次,以X和Y分別表示正面向 向上的次數,則X和Y相關系數為(A)- (C{1,0,(D{3,

zf(x,y)(00,f(00))處的切向量為yzf(x,y)(00,f(00))處的切向量為y

(C)2

設f(0)0則f(x)在x=0處可導 三、(本題滿分6分(Alimf(1cosh)

求arctan

f(1eh)

e2 (Climf(hsinh)

四、(本題滿6 (Dlimf(2h)f(h)

設函數zfx,y

在點

可微,

111

f(1,11,f(1,12,f(1,1 ,x)fx,fx,

11

,則A與 A ,B 11111

0 0

d3

x1 八、(本題滿8五、(本題滿81

設有一高度為h(t)(t為時間)的雪堆在融化過程設f(x)

arctanxx0

f(x

展開成

的冪級

面滿足方zh(t

2(x2y2

(設長度單位為并求

x的和

單位為小時),已知體積減少的速率與側面積成n11六、(本題滿7LIy2z2dx(2z2x2dy(3x2yL

間九、(本題滿6是平面xyz2與柱x去,L為逆時針方七、(本題滿7

y1的交線,從Z軸正向

設α1α2Lαs為線性方程組AXO的一個基礎解系β1t1α1t2α2,β2t1α2t2α3,L,βst1αst2α1其中t1t2為實常數,試問t1t2滿足什么條件時β1β2L,βs為AXO的一個基礎解系fx)在(1,1)內具有二階連續fx)0(1x(1,0)(0,1),存在惟一的x)(0,1)fx)f(0xf(xx)成立

十、(本題滿8已知三階矩陣A和三維向xxAxA2x線性無關,且滿足A3x3Ax2A2x.1記PxAxA2x求B使APBP1十一、(本題滿7設某班車起點站上客人數X服從參數為0)的泊松分布,每位乘客在中途下車的概率為p(0p1),且中途下車與否相互獨立.Y為中途下車的人數二維 量(X,Y)的概率分布十二、(本題滿7設X~N(,2)抽取簡單隨機樣本X,X,K, (n i樣本均X1i2n

n ,Y(X 2X2,求E 2002年 把答案填在題中橫線上

每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把)考慮二元函fx,y的四條性質fx,y)在點(x0y0處連續fx,y)在點(x0y0處(1)

xln2已知ey6xyx210,則y(0)

③f(x,y

在點(x0y0

處可微

f(x,y

在點(x0y0yyy20滿足初始條y(0)1,y(0)1的特解2 f(xxx)ax2x2x24xx4xx4xx經正交變換 1 1 21可化 f6y2,則a 1X~N(,2)

的一階偏導數存在則有(A)②③ (B)③(C)③④ (D)③y24yX 無實根的概率 0.5,

(2)設un0,且limn1,則級n

(1)n1(1

1

(A)發 (B)對收

(D設函fx在Rlimf(x0limf(x limf(x存在時limf(x (Climf(x)0limf(x limf(x存在時limf(x0

當

FX(x)FY(y)必為某一 量的分布函數三、(本題滿6設函fx)x0的某鄰域具有一階連續導f(0f(0)0h0afh)bf(2h)f(0)oh),試求設有三張不同平面,其方程為aixbiycizdii1,2,3)它們所組成的線性方程數矩陣與增廣矩陣的秩2,則這三張平面可能的位

ab的值四、(本題滿7已知兩曲線yf(x)與y arctanxet2dt在點(0,0)處的0線相同.求此切線的方程,并求極

.limnf(. 設X和Y是相互獨立的連續型 量,它們的 五、(本題滿分7分度函數分別f

,分布函數分別為

(x和FYy

計算二重積分emaxx2y2dxdyD

,其中則(A)fX(x)＋fY(y)必為密度函 )(C)FX(x)＋FY(y)必為某一 量的分布函數

D{(x,y)|0x1,0y1}六、(本題滿8設函fx)在R上具有一階連續導L是上半平(c,d記I 1[1y2f(xy)]dxx[y2f(xy)1]dy y(2)當abcd時,求I

面上何方向的方向導數最大?若此方向的方向導數為g(x0y0,寫出g(x0y0的表達D的邊界線上找出使(1gx,y)達到最大值的點.試確七、(本題滿7驗證函y(x)

x)滿足微分

九、(本題滿6yyyex

n0

已知四階方陣Aα1α2α3α4,α1α2α3α4均為列向量,其中α2α3α4α12α2α3求冪級y(x)n0八、(本題滿7

的和函

βα1α2α3α4,求線性方程組Axβ的通十、(本題滿8設有一小山,取它的底面所在的平面為xoy面,其底部所占的區域Dx,y)|x2y2xy75},小山的高度函數為hx,y)75x2y2xy.M(x0,y0為區域D上一點,問hx,y)在該點沿

設AB為同階方陣若AB相似,證明AB的特征多項式相等舉一個二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立當A,B為實對稱矩陣時,證明(1)的逆命題成立十一、(本題滿7設維 1cos 0x

零件,得到長度的平均值為40(cm),則的置信度為0.95的置信區間是 (注:標準正態分布函數值(1.96)0.975,(1.645)0.95.)f(x)

其它

對X獨立地重復4

表示觀察值大于的次數3

二、選擇題(本題6小題,每小424題給出的四個選項求Y2的數學期望X0123P2(11X0123P2(11

有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(1f(x)在(,)內連續,其導函數的圖形如圖所示,則f(x)有一個極小值點和兩個極大值2求的矩估計和最大似然估計值

2003年

(2)設{an},{bn},{cn均為非負數列,且liman0limbn1limcn,則必 (A)anbn對任意n成 (B)bncn對任意n成(C)極限不存(D)極限不存(C)極限不存(D)極限不存

已知函f(xy在點(0,0)的某個鄰域內連續,且

f(xyxy11 曲面zx2y2與平面2x4yz0平行的切平面的方程 設x2acosnx(x),則a

點(0,0)f(x,y的極值點(0,0)f(x,y的極大點(0,0)f(x,y的極小

x0,y0(x2y2

1

1 1

,從R2的基α ,α 到基β,β的過渡矩陣

,設二維 量(X,Y)的概率密度為f(x,y) 0

0xy1

當rs時,向量組II必線性相 (B)當rs時,向量組II必線性關P{XY1}

(D)當rs時,向量組I必線性關設有齊次線性方程組Ax0和Bx0,其中AB均為mn矩陣4個命題①若Ax0的解均是Bx0的解,則秩(A秩②若秩(A秩(B,則Ax0的解均是Bx0③若Ax0與Bx0同解,則秩(A秩秩(A秩(B,則Ax0與Bx0同解 設 量X~t(n)(n1),Y

1XY~2 (B)Y~2(n(C)Y~ (D)Y~F(1,

四、(本題滿1212x展

將函f(x)

1

x的冪級數,并求級2n

的和三、(本題滿10求D的面A求D繞直線xe旋轉一周所得旋轉體的體積Vk.k0).汽錘第一次擊打將樁打進 作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數r(0r1).問(1)汽錘擊打樁3次后,可將樁打 多深?(2)若擊打次數不限,汽錘至多能樁打 已知平面區域Dxy0x,0y}L為D的正向邊界.試證LxesinydyyesinxdxLxesinydyyesinxdxLsin sin dyyLsin sin 設函yy(x在(,內具有二階導y0,xxyyy(x的反函數

2xysinxdx)30變換dy

y

滿足的分方求變換后的微分方程滿足初始條y(0)0,y(0)的解2某建筑工程打地基時,需用汽錘將樁打進土層.汽錘每次擊打,都將克服土層對的阻力而作功.設土層對樁的阻力的大小與樁被打 的深度成正比(比例系數 設矩陣A 2,P

1BP1A*P,求B2E的特征值與特征向量,其

2

0 設函數f(x)連續 于零f(x2y2z2

f(x2y2

A*為A的伴隨矩陣E3階單位矩F(t) ,G(t)D(t) ,tf(x2y2tD(t其中(t)xyz)x2y2z2t2}D(t){(xyx2y2t討論F(t在區間(0,證明當t0F(t2

f(x2已知甲、乙兩箱中裝有同種產品,其中甲箱中裝3件合格品3件次品,乙箱(2)從乙箱中任取一件產品是次品的概率已知平面上三條不同直線的方程分別為l1 ax2by3c0,l2bx2cy3a0l3: cx2ay3b0證這三條直線交于一點的充分必要條件abc

f(x)

2e2(x0

xx0XX1X2,Xn?min(X1,X2,,Xn(1)求總體X的分布函數F(x.(2)求統計量?的分布函數F(x.(3)如果用?作為的估計量,討論它是否具有無偏性2004

limnan=0,則級an數學

若存在非零常數,使得lim

an曲線ylnx上與直線xy1垂直的切線方