上海教育發展研究院附屬中學2021年高三數學文上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.有以下四個命題：①若，則.②若有意義,則.③若,則.④若,則.則是真命題的序號為(

)

A．①②

B．①③

C．②③

D．③④參考答案：A2.若數列的前n項和為，則下列命題：

（1）若數列是遞增數列，則數列也是遞增數列；

（2）數列是遞增數列的充要條件是數列的各項均為正數；

（3）若是等差數列（公差），則的充要條件是

（4）若是等比數列，則的充要條件是

其中，正確命題的個數是

（

）

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個參考答案：B3.設，不等式的解集是，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.已知函數，下列說法正確的是（

）A．，在上是增函數B．，在上是減函數C．，是上的常函數D．，是上的單調函數參考答案：D函數的定義域為。當時，。當時，函數為奇函數。，若，則，所以函數在區間和上，函數遞增。若，則，所以函數在區間和上，函數遞減。所以D正確，選D.5.已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，則M∩N為（）A．（1，2） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．[1，+∞）參考答案：A【考點】1E：交集及其運算．【分析】通過指數函數的值域求出M，對數函數的定義域求出集合N，然后再求M∩N．【解答】解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，故選A6.下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D略7.當時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.右圖是一個幾何體的正（主）視圖和側（左）視圖,其俯視圖是面積為8的矩形,則該幾何體的表面積是（

）A．20+8 B．24+8C．8 D．16參考答案：A【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2此幾何體是一個三棱柱，且其高為，由于其底面是一個等腰直角三角形，直角邊長為2，所以其面積為×2×2=2，又此三棱柱的高為4，故其側面積為，（2+2+2）×4=16+8，表面積為：2×2+16+8=20+8．【思路點撥】由三視圖及題設條件知，此幾何體為一個三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高為，故先求出底面積，求解其表面積即可．9.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的表面積為（

）A.B.C.D.參考答案：A【分析】通過三視圖的特點,還原為三棱錐,然后計算三棱錐面積.【詳解】由三視圖可知三棱錐為如圖所示，在△中,,；在△中,,；在△中,,；在△中,,；故表面積為.【點睛】本題考查了三視圖的還原問題以及三棱錐表面積的計算,關鍵是根據三視圖特點還原為三棱錐.10.函數y=的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】函數的圖象．【分析】根據函數的定義域，取值范圍和取值符號，進行排除即可．【解答】解：函數的定義域為{x|x≠0}，排除A．當x→﹣∞時，y→+∞，排除B，當x→+∞時，x3＜3x﹣1，此時y→0，排除D，故選：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，E是C的準線上位于x軸上方的一點，直線EF與C在第一象限交于點M，在第四象限交于點N，且|EM|=2|MF|=2，則點N到y軸的距離為．參考答案：【考點】K8：拋物線的簡單性質．【分析】由題意可知丨FM丨=1，|EM|=2，丨EF丨=3，根據相似三角形的性質，即可求得p的值，由丨EN丨=2丨DN丨，根據拋物線的定義，即可求得丨DN丨=3，點N到y軸的距離為丨DN丨﹣．【解答】解：過M，N做MH⊥l，ND⊥l，垂足分別為H，D，由拋物線的定義可得丨FM丨=丨MH丨，丨FN丨=丨DN丨|EM|=2|MF|=2，則丨FM丨=1，|EM|=2，丨EF丨=3，∴∠EMH=，∠MEH=，∴p=，拋物線的標準方程為y2=3x，在Rt△EDN中，sin∠MED=，則丨EN丨=2丨DN丨，即丨EM丨+丨MF丨+丨DN丨=2丨DN丨，則丨DN丨=3，點N到y軸的距離為丨DN丨﹣=3﹣=，故答案為：．12.如左下圖所示，是某校高三年級文科60名同學參加謀科考試所得成績（分數均為整數）整理后得出的頻率分布直方圖，根據該圖這次考試文科60分以上的同學的人數為____________.參考答案：45略13.若函數在內有極小值，則實數的取值范圍是___________．參考答案：略14.如圖是某幾何體的三視圖（單位：cm），則該幾何體的表面積是

cm2，體積為

cm3．參考答案：14+2，4。考點：由三視圖求面積、體積．專題：計算題；空間位置關系與距離．分析：判斷得出該幾何體是三棱錐，利用題中數據，即可求解幾何體的表面積、體積．解答： 解：根據三視圖得出：該幾何體是三棱錐，AB=2，BC=3，DB=5，CD=4，AB⊥面BCD，BC⊥CD，∴幾何體的表面積是+++=14+2其體積：×S△CBD×AB==4，故答案為：14+2；4．點評：本題考查了三棱錐的三視圖的運用，仔細閱讀數據判斷恢復直觀圖，關鍵是確定幾何體的形狀，屬于中檔題．15.已知集合|，若，則實數m的取值范圍是

參考答案：16.已知雙曲線的左、右端點分別為，點，若線段的垂直平分線過點，則雙曲線的離心率為__________．參考答案：由題意可得，為正三角形，則，所以雙曲線的離心率.17.的展開式中只有第5項的二項式系數最大，則展開式中的第2項為________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知函數.(Ⅰ)當時，求函數在，上的最大值、最小值；(Ⅱ)令，若在上單調遞增，求實數的取值范圍.參考答案：解:(Ⅰ)時,，由

，可以看出在取得極小值,在取得極大值…5分而由此,在上,在處取得最小值,在處取得最小值…6分(Ⅱ)…7分在上恒有考察的對稱軸為(i)當,即時，應有解得:，所以時成立…………9分(ii)當,即時，應有即:

ks5u解得…………12分綜上：實數的取值范圍是…13分19.（本小題滿分14分）如圖，矩形ABCD中，，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE（1）設M為線段A1C的中點，求證：BM//平面A1DE；（2）當平面A1DE⊥平面BCD時，求直線CD與平面A1CE所成角的正弦值．

參考答案：【知識點】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．G4G11

【答案解析】（1）見解析；（2）解析：（1）取的中點F，連結MF，則MF//CD，且MFCD，即MF∕∕BE，MF=BE，故四邊形BEFM是平行四邊形，則BM//EF，BM平面A1DE，EF平面A1DE，所以BM//平面A1DE；…………7分（2）由矩形ABCD中，AB=2BC=4，E為邊AB的中點，可得ED2=22+22=8=CE2，CD2=42=16，∴CE2+ED2=CD2，∴∠CED=90°，∴CE⊥ED．又∵平面A1DE⊥平面BCD，∴CE⊥平面A1DE，∴CE⊥DA1．又∵DA1⊥A1E，A1E∩EC=E，∴DA1⊥平面A1CE，∴∠A1CE即為直線CD與平面A1CE所成的角．在Rt△A1CD中，sin∠A1CD，即直線CD與平面A1CE所成角的正弦值為．

……………14分【思路點撥】（1）取CD中點N，并連接MN，BN，容易證明平面BMN∥平面A1DE，所以便得到BM∥平面A1DE；（2）容易說明CE⊥平面A1DE，所以DA1⊥CE，又DA1⊥A1E，所以DA1⊥平面A1CE，所以∠A1CD便是直線CD與平面A1CE所成角，所以該角的正弦值為．20.設a、b、c∈R+，且a+b+c=1．（Ⅰ）求證：2ab+bc+ca+；（Ⅱ）求證：．參考答案：【考點】不等式的證明．【專題】證明題；整體思想；綜合法；作差法；不等式的解法及應用．【分析】（Ⅰ）作差法化簡1﹣2（2ab+bc+ca+）=（a+b+c）2﹣（4ab+2bc+2ca+c2），從而證明；（Ⅱ）易知+b≥2a，+b≥2c，+c≥2b，+c≥2a，+a≥2c，+a≥2b；從而證明．【解答】證明：（Ⅰ）∵1﹣2（2ab+bc+ca+）=（a+b+c）2﹣（4ab+2bc+2ca+c2）=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，∴2（2ab+bc+ca+）≤1，∴2ab+bc+ca+；（Ⅱ）∵+b≥2a，+b≥2c，+c≥2b，+c≥2a，+a≥2c，+a≥2b；∴+b++b++c++c++a++a≥4（a+b+c），即+++2（a+b+c）≥4（a+b+c），故++≥2．【點評】本題考查不等式的證明方法的應用，應用了作差法．21.設函數f(x)=x3－x2+ax，a∈R．（Ⅰ）若x=2是f（x）的極值點，求a的值，并討論f（x）的單調性；（Ⅱ）已知函數g(x)=f(x)－ax2+，若g（x）在區間（0，1）內有零點，求a的取值范圍；（Ⅲ）設f（x）有兩個極值點x1，x2，試討論過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線能否過點（1，1），若能，求a的值；若不能，說明理由．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（I）f′（x）=x2﹣x+a，由x=2是f（x）的極值點，可得f′（2）=0，解得a=﹣2．代入f′（x）進而得出單調性．（II）=﹣+ax+，g′（x）=x2﹣（1+a）x+a=（x﹣1）（x﹣a）．對a與1的大小關系分類討論可得a的取值范圍．（III）不能，原因如下：設f（x）有兩個極值點x1，x2，則f′（x）=x2﹣x+a有兩個不同的零點．△＞0，解得a＜，且x1，x2，為方程x2﹣x+a=0的兩根．則﹣x1+a=0，可得=x1﹣a，可得f（x1）=x1+a，同理可得：f（x2）=x2+a．由此可得：過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線方程為：y=x+a．進而判斷出結論．【解答】解：（I），a∈R．f′（x）=x2﹣x+a，∵x=2是f（x）的極值點，∴f′（2）=4﹣2+a=0，解得a=﹣2．代入f′（x）=x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2），令f′（x）=0，解得x=﹣1，或x=2．令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜﹣1，∴f（x）在x∈（﹣∞，﹣1），（2，+∞）時單調遞增；令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2，∴f（x）在x∈（﹣1，2）時單調遞減．（II）=﹣+ax+，g′（x）=x2﹣（1+a）x+a=（x﹣1）（x﹣a）．①當a≥1時，x∈（0，1）時，g′（x）＞0恒成立，g（x）單調遞增，又g（0）=＞0，因此此時函數g（x）在區間（0，1）內沒有零點．②當0＜a＜1時，x∈（0，a）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，x∈（a，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，又g（0）=＞0，因此要使函數g（x）在區間（0，1）內有零點．必有g（1）＜0，∴（1+a）+a+＜0，解得a＜﹣1．舍去．③當a≤0時，x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，又g（0）=＞0，因此要使函數g（x）在區間（0，1）內有零點．必有g（1）＜0，解得a＜﹣1．滿足條件．綜上可得：a的取值范圍是（﹣∞，﹣1）．（III）不能，原因如下：設f（x）有兩個極值點x1，x2，則f′（x）=x2﹣x+a有兩個不同的零點．∴△=1﹣4a＞0，解得a＜，且x1，x2，為方程x2﹣x+a=0的兩根．則﹣x1+a=0，可得=x1﹣a，∴f（x1）=﹣+ax1=﹣+ax1=+=﹣（x1﹣a）+=x1+a，同理可得：f（x2）=x2+a．由此可得：過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線方程為：y=x+a．若上述直線過點（1，1），則：1=+a．解得a=．上述已知得出：若f（x）有兩個極值點x