2022年河北省張家口市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.

3.微分方程y"-y'=0的通解為()。A.

B.

C.

D.

4.

5.設函數f(x)在點x0處連續，則下列結論肯定正確的是()。A.

B.

C.

D.

6.

7.

8.

9.

10.設函數z=sin(xy2)，則等于()。A.cos(xy2)

B.xy2cos(xy2)

C.2xyeos(xy2)

D.y2cos(xy2)

11.過點(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)的平面方程為()．

A.x+y+z=1

B.2x+y+z=1

C.x+2y+z=1

D.x+y+2z=1

12.設y=lnx，則y″等于()．

A.1/x

B.1/x2

C.-1/x

D.-1/x2

13.

14.A.

B.

C.

D.

15.

16.設y=e-3x，則dy=A.e-3xdx

B.-e-3xdx

C.-3e-3xdx

D.3e-3xdx

17.A.

B.0

C.ln2

D.-ln2

18.設z=y2x，則等于()．A.2xy2x-11

B.2y2x

C.y2xlny

D.2y2xlny

19.設lnx是f(x)的一個原函數，則f'(x)=（）。A.

B.

C.

D.

20.設平面則平面π1與π2的關系為()．A.A.平行但不重合B.重合C.垂直D.既不平行，也不垂直二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.設區域D由曲線y=x2，y=x圍成，則二重積分

25.

26.設z=sin(y+x2)，則．

27.

28.微分方程y'+9y=0的通解為______．

29.

30.

31.設f(x)=esinx，則=________。

32.

33.設，且k為常數，則k=______．34.35.36.37.設函數x=3x+y2,則dz=___________38.39.設函數y=y(x)由方程x2y+y2x+2y=1確定，則y'=______．40.三、計算題(20題)41.

42.

43.44.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

45.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

46.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．47.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

48.

49.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．50.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．51.52.求微分方程的通解．53.求曲線在點(1，3)處的切線方程．54.

55.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則56.證明：

57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

58.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．59.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．60.四、解答題(10題)61.求xyy=1-x2的通解．

62.求fe-2xdx。

63.

64.

65.求由曲線y=2-x2，y=2x-1及x≥0圍成的平面圖形的面積S，以及此平面圖形繞x軸旋轉所成旋轉體的體積．66.67.68.求由曲線y=2x-x2，y=x所圍成的平面圖形的面積S．并求此平面圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積Vx．

69.

70.證明：當時，sinx+tanx≥2x．

五、高等數學(0題)71.討論y=xe-x的增減性，凹凸性，極值，拐點。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.C

2.D解析：

3.B本題考查的知識點為二階常系數齊次微分方程的求解。微分方程為y"-y'=0特征方程為r2-r=0特征根為r1=1，r2=0方程的通解為y=C1ex+c2可知應選B。

4.C

5.D本題考查的知識點為連續性的定義，連續性與極限、可導性的關系由函數連續性的定義：若在x0處f(x)連續，則可知選項D正確，C不正確。由于連續性并不能保證f(x)的可導性，可知A不正確。自于連續必定能保證極限等于f(x0)，而f(x0)不一定等于0，B不正確。故知應選D。

6.A

7.D

8.C解析：

9.C

10.D本題考查的知識點為偏導數的運算。由z=sin(xy2)，知可知應選D。

11.A設所求平面方程為．由于點(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)都在平面上，將它們的坐標分別代入所設平面方程，可得方程組

故選A．

12.D由于Y=lnx，可得知，因此選D．

13.B解析：

14.C

15.C

16.C

17.A為初等函數，定義區間為，點x=1在該定義區間內，因此

故選A．

18.D本題考查的知識點為偏導數的運算．

z=y2x，若求，則需將z認定為指數函數．從而有

可知應選D．

19.C

20.C本題考查的知識點為兩平面的位置關系．

由于平面π1，π2的法向量分別為

可知n1⊥n2，從而π1⊥π2．應選C．

21.22.由可變上限積分求導公式可知

23.-ln(3-x)+C-ln(3-x)+C解析：24.本題考查的知識點為計算二重積分．積分區域D可以表示為：0≤x≤1，x2≤y≤x，因此

25.26.2xcos(y+x2)本題考查的知識點為二元函數的偏導數計算．

可以令u=y+x2，得z=sinu，由復合函數偏導數的鏈式法則得

27.28.y=Ce-9x本題考查的知識點為求解可分離變量微分方程．

分離變量

兩端分別積分

lny=-9x+C1，y=Ce-9x．

29.-1

30.31.由f(x)=esinx，則f"(x)=cosxesinx。再根據導數定義有=cosπesinπ=-1。

32.

33.本題考查的知識點為廣義積分的計算．

34.0本題考查了利用極坐標求二重積分的知識點.

35.本題考查的知識點為定積分計算．

可以利用變量替換，令u=2x，則du=2dx，當x=0時，a=0；當x=1時，u=2．因此

或利用湊微分法

本題中考生常在最后由于粗心而出現錯誤．如

這里中丟掉第二項．

36.

37.

38.1/3本題考查了定積分的知識點。

39.

；本題考查的知識點為隱函數的求導．

將x2y+y2x+2y=1兩端關于x求導，(2xy+x2y')+(2yy'x+y2)+2y'=0，(x2+2xy+2)y'+(2xy+y2)=0，因此y'=40.1．

本題考查的知識點為二元函數的極值．

可知點(0，0)為z的極小值點，極小值為1．

41.

42.

則

43.

44.

45.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

46.

47.

48.49.由二重積分物理意義知

50.

列表：

說明

51.

52.53.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

54.由一階線性微分方程通解公式有

55.由等價無窮小量的定義可知

56.

57.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

58.

59.函數的定義域為

注意

60.

61.解先將方程分離變量，得

即為原方程的通解，其中c為不等于零的任意常數．

62.

63.

64.65.如圖10-2所示．本題考查的知識點為利用定積分求平面圖形的面積；利用定積分求旋轉體體積．

需注意的是所給平面圖形一部分位于x軸上方，而另一部分位于x軸下方．而位于x軸下方的圖形繞x軸旋轉一周所成的旋轉體包含于x軸上方的圖形繞x軸旋轉一周所成的旋轉體之中，因此只需求出x軸上方圖形繞x軸旋轉所成旋轉體的體積，即為所求旋轉體體積．

66.

67.68.所給平面圖形如圖4-1中陰影部分所示．

由，可解得因此

：本題考查的知識點為定積分的幾何應用：利用定積分表示平面圖形的面積；利用定積分求繞坐標軸旋轉而成旋轉體體積．這是常見的考試題型，考生應該熟練掌握．

69.

70.

71.∵y=xe-x

∴y"=e-x一xe-x=e-x(1一x)=0；x=1∴y""=一e-x(1一x)一e-x=e-x(x一2)=0；x=2①∵x<1時y">0；∴x>1時y"<0；∴y在(一∞1)內遞增；y在(1+∞)內遞減；極大值e-1；②∵x<2時y""<0；∴x>2時y"">0；∴y在(一∞2)內凸；y在(1+∞)內凹；