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文檔簡介

第三章復變函數的積分§3-2Cauchy基本定理§3-3Cauchy積分公式§3-1復變函數的積分

1.有向曲線

2.積分的概念

3.復積分與實積分的聯系

4.積分性質

5.積分的基本計算公式計算法

§3-1復變函數的積分§3-1復變函數的積分1.有向曲線有向曲線C的方向規定C－CA(終點)B(起點)－CA(起點)B(終點)C2.積分的概念定義3.1.1

設復變函數

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在光滑或逐段光滑的有向簡單曲線L=AB上有定義，沿從A到B的方向在L上依次取分點：

DB(4)

若3.復積分與實積分的聯系定理3.1.1證明4.積分的性質5.積分的基本計算公式定理3.1.2證明例1(1)C1是從原點到的有向直線段；(2)C2是從原點到1再到的有向折線段；解

(1)曲線C1的參數表示：Oxy0C1(2)

設曲線C2=C21+C22,其中

曲線C21的參數表示：

曲線C22的參數表示：Oxy10C21C22

由積分曲線的可分性和基本計算公式：例2

證明Oxyz0Ca證明曲線C的參數表示：起點終點

1.Cauchy積分基本定理

2.復合閉路定理

3.原函數、不定積分、路徑無關§3-2Cauchy積分基本定理1.

Cauchy積分基本定理Cauchy積分基本定理(1825年)定理3.2.1設f在單連通區域D內解析,則對D內任一條有向閉曲線C,引理3.2.2設f在有向閉曲線C上及其內部解析,則Cauchy積分基本定理的推廣定理3.2.3設f在有向閉曲線C上連續，在C的內部解析,則2.復合閉路定理區域的正向邊界設區域D的邊界是由一條或幾條曲線圍成,區域D的正向邊界曲線Γ的方向規定如下：當觀察者沿邊界正向前行時區域D在其近處的部分總是在他的右側。復合閉路定義3.2.1設曲線Γ由m+1條逆時針方向的閉曲線C,C1,C2,…,Cm組成,其中C1,

C2,…,Cm互不相交,互不包含,且都含于C的內部,稱Γ=C+C1ˉ

+C2ˉ+…+Cmˉ是由曲線C,

C1,C2,…,Cm組成的復合閉路。CC1ˉC2ˉCmˉG復合閉路定理定理·3.2.4設以復合閉路Γ=C+C1+C2ˉ+…+Cmˉ為正向邊界的多連通區域為D。若函數f在Γ上連續,在D內解析,則證明將每個曲線Ck用有向直線段AkBk和

Bk

Ak與曲線C連接起來,則記CC1ˉC2ˉCmˉA2B2AmBmA1B1以復合閉路?！錇檎蜻吔绲膮^域G是單連通的。

f在?！渖线B續,在G內解析,根據Cauchy基本積分定理得：G例3

證明其中曲線C是逆時針方向且包圍點z0

的簡單閉曲線。

證明：因為曲線C是逆時針方向且包圍點z0的簡單閉曲線,故可作以z0為中心,充分小的ε>0為半徑的逆時針圓周Cε含于C的內部，Oxyz0Cε-Cε例4

計算積分解

函數的全部奇點為:z1=-1,z2=1,均在C的內部。Oxy2-1-1由復合閉路定理知：由C

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