高等代數(shù)課件78如：都是若當(dāng)塊；而下面的準(zhǔn)對角形則是一個若當(dāng)形矩陣.注：一級若當(dāng)塊就是一級矩陣，從而對角矩陣都是若當(dāng)形矩陣.1、設(shè)是復(fù)數(shù)域C上n維線性空間的一個線性變換，在V中必存在一組基，使在這組基下的矩陣是若當(dāng)形矩陣，并是除若當(dāng)塊的排列次序外，該若當(dāng)形由唯一決定，稱之為的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.二、若當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形2、任一n級復(fù)矩陣A總與某一若當(dāng)形矩陣相似，并且除若當(dāng)塊的排列次序外，該若當(dāng)形矩陣由矩陣A唯一決定，稱之為矩陣A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.3、在一個線性變換的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中，主對角線上的元素是的特征多項式的全部根（重根按多數(shù)（1、2、3的證明將在第八章給出）計算）.的矩陣為若當(dāng)(Jordan)塊.附：有時也規(guī)定形式為

§9最小多項式一、最小多項式的定義二、最小多項式的基本性質(zhì)由哈密爾頓―凱萊定理，

是A的特征多項式，則

因此，對任定一個矩陣，總可以找到一個多項式使

多項式以A為根.引入本節(jié)討論，以矩陣A為根的多項式的中次數(shù)最低的那個與A的對角化之間的關(guān)系.此時，也稱一、最小多項式的定義定義：設(shè)

在數(shù)域P上的以A為根的多項為A的最小多項式.式中，次數(shù)最低的首項系數(shù)為1的那個多項式，稱二、最小多項式的基本性質(zhì)1.（引理1）矩陣A的最小多項式是唯一的.證：設(shè)都是A的最小多項式.由帶余除法，可表成其中或于是有

由最小多項式的定義，

即，

同理可得，

又都是首1多項式,

故

2.（引理2）設(shè)是矩陣A的最小多項式，則以A為根

證：充分性顯然，只證必要性由帶余除法，可表成

其中或

于是有

由最小多項式的定義，

由此可知：若是A的最小多項式，則整

除任何一個以A為根的多項式，從而整除A的特征多項式.即3.

矩陣A的最小多項式是A的特征多項式的一個因子.例1、數(shù)量矩陣

kE的最小多項式是一次多項式特別地，單位矩陣的最小多項式是；

零矩陣的最小多項式是.

反之，若矩陣A的最小多項式是一次多項式，則A一定是數(shù)量矩陣.例2、求的最小多項式.解：A的特征多項式為又

∴A的最小多項式為

4.

相似矩陣具有相同的最小多項式.證：設(shè)矩陣A與B相似，分別為它們的最小多項式.由A相似于B，存在可逆矩陣T,使

從而

也以B為根，同理可得

從而

又都是首1多項式，

反之不然，即最小多項式相同的矩陣未必相似.如：的最小多項式皆為但A與B不相似.

注：即所以，A與B不相似.5.（引理3）設(shè)A是一個準(zhǔn)對角矩陣并設(shè)的最小多項式分別為.

則A的最小多項式為的最小公倍式.證：記首先，

即A為的根.

所以被A的最小多項式整除.則

從而

其次，如果從而

故為A的最小多項式.若A是一個準(zhǔn)對角矩陣且的最小多項式為則A的最小多項式是為推廣：特別地，若兩兩互素，即則A的最小多項式是為6.（引理4）級若當(dāng)塊的最小多項式為

證：J的特征多項式為

而

的最小多項式為

7.（定理13）與對角矩陣相似的最小多項式是P上互素的一次因式的積.

證：由引理3的推廣，必要性顯然.只證充分性.

根據(jù)矩陣與線性變換之間的對應(yīng)關(guān)系，

設(shè)V上線性變換在某一組基下的矩陣為A，則

則的最小多項式與A的最小多項式相同,設(shè)為若為P上互素的一次因式的乘積：則

其中

（此結(jié)論的證明步驟同定理12）把各自的基合起來就是V的一組基.從而A相似于對角矩陣.特征向量.所以,在這組基下的矩陣為對角矩陣.在這組基中，每個向量都屬于某個，即是的8.

與對角矩陣相似的最小多項式?jīng)]有重根.練習(xí)：求矩陣