2022-2023學年內蒙古自治區烏蘭察布市成考專升本高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(50題)1.設f(x)在點x0處取得極值，則()

A.f"(x0)不存在或f"(x0)=0

B.f"(x0)必定不存在

C.f"(x0)必定存在且f"(x0)=0

D.f"(x0)必定存在，不一定為零

2.下列各式中正確的是（）。

A.

B.

C.

D.

3.若函數f(x)=5x，則f'(x)=

A.5x-1

B.x5x-1

C.5xln5

D.5x

4.下列級數中發散的是（）

A.

B.

C.

D.

5.設函數f(x)在區間(0，1)內可導，f'(x)＞0，則在(0，1)內f(x)()．A.單調增加B.單調減少C.為常量D.既非單調，也非常量

6.

7.設函數f(x)在[a，b]上連續，且f(a)·f(b)<0，則必定存在一點ξ∈(a，b)使得（）A.f(ξ)>0B.f(ξ)<0C.f(ξ)=0D.f(ξ)=0

8.

A.2B.1C.1/2D.09.A.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與口有關10.設f(x)為區間[a，b]上的連續函數，則曲線y=f(x)與直線x=a，x=b，y=0所圍成的封閉圖形的面積為（）．A.A.

B.

C.

D.不能確定

11.級數(k為非零正常數)()．A.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與k有關

12.

13.

14.

15.

16.設()．A.A.必定收斂B.必定發散C.收斂性與a有關D.上述三個結論都不正確

17.微分方程y′-y=0的通解為()．

A.y=ex+C

B.y=e-x+C

C.y=Cex

D.y=Ce-x

18.設y=exsinx,則y'''=

A.cosx·ex

B.sinx·ex

C.2ex(cosx-sinx)

D.2ex(sinx-cosx)

19.

20.二次積分等于()A.A.

B.

C.

D.

21.

22.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是()。A.橢球面B.圓錐面C.旋轉拋物面D.柱面

23.

24.A.3B.2C.1D.1/2

25.設y=2x3，則dy=()

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

26.f(x)在[a，b]上連續是f(x)在[a，b]上有界的()條件。A.充分B.必要C.充要D.非充分也非必要27.（）。A.e-2

B.e-2/3

C.e2/3

D.e2

28.

29.

30.

31.設f'(x)為連續函數，則等于()A.A.

B.

C.

D.

32.函數y=ex+arctanx在區間[-1，1]上（）

A.單調減少B.單調增加C.無最大值D.無最小值

33.

34.A.1

B.0

C.2

D.

35.=（）。A.

B.

C.

D.

36.平面的位置關系為()。A.垂直B.斜交C.平行D.重合

37.某技術專家，原來從事專業工作，業務精湛，績效顯著，近來被提拔到所在科室負責人的崗位。隨著工作性質的轉變，他今后應當注意把自己的工作重點調整到（）

A.放棄技術工作，全力以赴，抓好管理和領導工作

B.重點仍以技術工作為主，以自身為榜樣帶動下級

C.以抓管理工作為主，同時參與部分技術工作，以增強與下級的溝通和了解

D.在抓好技術工作的同時，做好管理工作

38.

39.設y＝sin2x，則y等于（）．A.A.－cos2xB.cos2xC.－2cos2xD.2cos2x

40.

41.

42.

43.

44.下列命題中正確的有()．

45.設D={(x，y){|x2+y2≤a2，a＞0,y≥0)，在極坐標下二重積分(x2+y2)dxdy可以表示為()A.∫0πdθ∫0ar2dr

B.∫0πdθ∫0ar3drC.D.46.。A.2B.1C.-1/2D.0

47.當x→0時，x是ln(1+x2)的

A.高階無窮小B.同階但不等價無窮小C.等價無窮小D.低階無窮小

48.

49.微分方程y'=1的通解為A.y=xB.y=CxC.y=C-xD.y=C+x

50.

二、填空題(20題)51.函數的間斷點為______．52.

53.設f(x)=xex，則f'(x)__________。

54.

55.

56.

57.

58.

59.60.61.y=ln(1+x2)的單調增加區間為______．62.冪級數的收斂半徑為______．

63.

64.過點M0(1，2，-1)且與平面x-y+3z+1=0垂直的直線方程為_________。

65.66.函數y=x3-2x+1在區間[1，2]上的最小值為______．67.68.

69.

70.微分方程y＋9y＝0的通解為________．三、計算題(20題)71.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

72.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

73.

74.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．75.

76.77.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

78.

79.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

80.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

81.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．82.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．83.84.85.證明：86.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則87.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

88.

89.求曲線在點(1，3)處的切線方程．90.求微分方程的通解．四、解答題(10題)91.

92.

93.

94.

95.

96.

97.設z=ysup>2</sup>esup>3x</sup>，求dz。

98.(本題滿分8分)

99.

100.

五、高等數學(0題)101.

_________當a=__________時f(x)在(一∞，+∞)內連續。

六、解答題(0題)102.求微分方程y'-(1/x)y=-1的通解。

參考答案

1.A若點x0為f(x)的極值點，可能為兩種情形之一：(1)若f(x)在點x0處可導，由極值的必要條件可知f"(x0)=0；(2)如f(x)=|x|在點x=0處取得極小值，但f(x)=|x|在點x=0處不可導，這表明在極值點處，函數可能不可導。故選A。

2.B

3.C本題考查了導數的基本公式的知識點。f'(x)=(5x)'=5xln5.

4.D

5.A由于f(x)在(0，1)內有f'(x)＞0，可知f(x)在(0，1)內單調增加，故應選A．

6.A

7.D

8.D本題考查的知識點為重要極限公式與無窮小量的性質．

9.A

10.B本題考查的知識點為定積分的幾何意義．

由定積分的幾何意義可知應選B．

常見的錯誤是選C．如果畫個草圖，則可以避免這類錯誤．

11.A本題考查的知識點為無窮級數的收斂性．

由于收斂，可知所給級數絕對收斂．

12.D

13.C

14.A

15.B

16.D

17.C所給方程為可分離變量方程．

18.C本題考查了萊布尼茨公式的知識點.

由萊布尼茨公式，得(exsinx)'''=(ex)'''sinx+3(ex)''(sinx)'+3(ex)'(sinx)''+ex(sinx)'''=exsinx+3excosx+3ex(-sinx)+ex(-cosx)=2ex(cosx-sinx).

19.A

20.A本題考查的知識點為交換二次積分的積分次序．

由所給二次積分限可知積分區域D的不等式表達式為：

0≤x≤1，0≤y≤1-x，

其圖形如圖1-1所示．

交換積分次序，D可以表示為

0≤y≤1，0≤x≤1-y，

因此

可知應選A．

21.B

22.C本題考查的知識點為二次曲面的方程。

將x2+y2-z=0與二次曲面標準方程對照，可知其為旋轉拋面，故應選C。

23.A

24.B，可知應選B。

25.B

26.A定理：閉區間上的連續函數必有界；反之不一定。

27.B

28.C

29.D解析：

30.D

31.C本題考查的知識點為牛-萊公式和不定積分的性質．

可知應選C．

32.B因處處成立，于是函數在（-∞，+∞)內都是單調增加的，故在[-1，1]上單調增加.

33.C

34.C

35.D

36.A本題考查的知識點為兩平面的關系。兩平面的關系可由兩平面的法向量，n1，n2間的關系確定。若n1⊥n2，則兩平面必定垂直．若時，兩平面平行；

當時，兩平面重合。若n1與n2既不垂直，也不平行，則兩平面斜交。由于n1=(1，-2，3)，n2=(2，1，0)，n1·n2=0，可知n1⊥n2，因此π1⊥π2，應選A。

37.C

38.B

39.D本題考查的知識點為復合函數求導數的鏈式法則．

40.B

41.D

42.C解析：

43.A

44.B解析：

45.B因為D：x2+y2≤a2，a＞0，y≥0，令則有r2≤a2，0≤r≤a，0≤θ≤π，所以(x2+y2)dxdy=∫0πdθ∫0ar2.rdr=∫0πdθ∫0ar3.rdr故選B。

46.A

47.D解析：

48.D解析：

49.D

50.A51.本題考查的知識點為判定函數的間斷點．

僅當，即x=±1時，函數沒有定義，因此x=±1為函數的間斷點。

52.

53.(1+x)ex

54.55.本題考查的知識點為二重積分的直角坐標與極坐標轉化問題。

56.-2y

57.33解析：

58.59.12dx+4dy．

本題考查的知識點為求函數在一點處的全微分．

60.k=1/261.(0，+∞)本題考查的知識點為利用導數符號判定函數的單調性．

由于y=ln(1+x2)，其定義域為(-∞，+∞)．

又由于，令y'=0得唯一駐點x=0．

當x＞0時，總有y'＞0，從而y單調增加．

可知y=ln(1+x2)的單調增加區間為(0，+∞)．62.0本題考查的知識點為冪級數的收斂半徑．

所給冪級數為不缺項情形

因此收斂半徑為0．

63.＞1

64.65.2本題考查的知識點為二重積分的幾何意義．

由二重積分的幾何意義可知，所給二重積分的值等于長為1，寬為2的矩形的面積值，故為2．或由二重積分計算可知

66.0本題考查的知識點為連續函數在閉區間上的最小值問題．

通常求解的思路為：

先求出連續函數f(x)在(a，b)內的所有駐點x1,…，xk．

比較f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)，其中最大(小)值即為f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相應的x即為，(x)在[a，b]上的最大(小)值點．

由y=x3-2x+1，可得

Y'=3x2-2．

令y'=0得y的駐點為，所給駐點皆不在區間(1，2)內，且當x∈(1，2)時有

Y'=3x2-2＞0．

可知y=x3-2x+1在[1，2]上為單調增加函數，最小值點為x=1，最小值為f(1)=0．

注：也可以比較f(1)，f(2)直接得出其中最小者，即為f(x)在[1，2]上的最小值．

本題中常見的錯誤是，得到駐點和之后，不討論它們是否在區間(1，2)內．而是錯誤地比較

從中確定f(x)在[1，2]上的最小值．則會得到錯誤結論．67.本題考查的知識點為重要極限公式。68.2x＋3y．

本題考查的知識點為偏導數的運算．

69.e2

70.

本題考查的知識點為求解可分離變量微分方程．

71.

列表：

說明

72.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

73.

則

74.75.由一階線性微分方程通解公式有

76.

77.由二重積分物理意義知

78.

79.

80.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％81.函數的定義域為

注意

82.

83.

84.

85.

86.由等價無窮小量的定義可知

87.

88.89.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

90.91.