第三章

控制系統的數學模型及其轉換1/6/20231第三章

控制系統的數學模型及其轉換1/6/20231本章內容利用MATLAB描述在控制系統中常見的幾種數學模型；利用MATLAB實現任意數學模型之間的相互轉換；利用MATLAB求解系統經過串聯、并聯和反饋連接后的系統模型；利用MATLAB獲取一些典型系統的模型；利用MATLAB實現連續系統的離散化和離散系統的連續化；利用MATLAB求取系統的特性函數。1/6/20232本章內容利用MATLAB描述在控制系統中常見的幾種數學模型控制系統計算機仿真是建立在控制系統數學模型基礎之上的一門技術。對系統進行仿真，首先應該知道系統的數學模型，然后才可以在此基礎上設計一個合適的控制器，使得原系統的響應達到預期的效果。在線性系統理論中，一般常用的數學模型形式有：傳遞函數模型（系統的外部模型）狀態方程模型（系統的內部模型）零極點增益模型（傳遞函數模型的一種）這些模型之間都有著內在的聯系，可以相互進行轉換。1/6/20233控制系統計算機仿真是建立在控制系統數學模型基礎之上的一門技術系統類型一.連續和離散系統根據系統自變量(時間)是連續變化還是離散變化，系統分為連續系統和離散系統。(1)連續系統——系統輸入、輸出信號都是連續時間信號。(2)離散系統——系統輸入、輸出信號都是離散時間信號。(3)混合系統——系統輸入、輸出信號包含連續信號和離散信號。連續時間的數學模型用微分方程描述。離散時間系統的數學模型用差分方程描述。例如：一般L、R、C電路都是連續時間系統。數字計算機是典型的離散時間系統。實際上離散時間系統經常與連續時間系統組合運用，此時稱為混合系統(或采樣系統)。如自動控制系統和數字通信系統。1/6/20234系統類型一.連續和離散系統根據系統自變量(時間)是連續變化還二.線性和非線性系統

根據輸入輸出關系是否同時滿足齊次性和疊加性，系統分為線性和非線性。假設系統在沒有外界信號作用之前處于靜止狀態，在輸入信號為任意實數，和或和作用下，有式中，為輸入輸出之間函數關系。那么，該系統稱為線性系統，否則是非線性系統。根據模型參數是否隨時間變化，線性系統又可細分為線性定常系統和線性時變系統。參數不隨時間變化的系統，稱為時不變系統或定常系統，否則稱為時變系統。例如，線性定常系統：1/6/20235二.線性和非線性系統根據輸入輸出關系是否同時滿足齊線性時變系統：非線性定常系統：式中，分別為系統輸入、輸出。1/6/20236線性時變系統：非線性定常系統：式中，分別為系統輸入、輸出。1三.確定和隨機系統

根據系統輸入、輸出和內部狀態呈現的規律，系統分為確定性系統與隨機性系統。輸入輸出之間函數關系能夠用確定性模型描述的系統，稱為確定性系統，否則稱為隨機系統(或不確定性系統)。在控制系統中，隨機因素可能作用在系統的入口，也可能作用在系統的出口，還可能影響系統模型本身。例如噪聲輸入的隨機控制系統，其微分方程具有如下形式。式中，分別為狀態變量和輸出變量，為輸入噪聲，通常是正態分布的白噪聲。1/6/20237三.確定和隨機系統根據系統輸入、輸出和內部狀態呈控制系統常用數學模型

根據系統輸入、輸出與內部狀態變量之間關系，控制系統模型可分為外部模型和內部模型。一般地，把建立系統輸入輸出關系的數學模型稱為外部模型，包括時域模型和頻域模型。把建立系統輸入、輸出與內部狀態變量之間關系的數學模型稱為內部模型，相應的數學模型稱為系統的狀態空間方程(連續狀態空間方程或離散狀態空間方程)。控制系統模型分類1/6/20238控制系統常用數學模型根據系統輸入、輸出與內部狀態變量一.連續系統

1．微分方程一個連續系統可以表示成高階微分方程，即式中，分別為系統輸入量、輸出量，n為系統的階次，為系統的結構參數，結構參數，為輸入函數的及各階導數的初始值為它們均為實常數。已知輸出變量控制系統常用數學模型

1/6/20239一.連續系統1．微分方程式中，分別為系統輸入量、輸出量 稍加整理，并記 2.傳遞函數若系統的初始條件為零，即系統在t=0時已處于一個穩定狀態，那么對式(3.1)兩邊取拉普拉斯變換后可得稱為系統的傳遞函數。1/6/202310 稍加整理，并記 2.傳遞函數稱為系統的傳遞函數。1/6/3.狀態空間描述

微分方程和傳遞函數都只描述了系統輸入與輸出之間的關系，而沒有考慮系統內部狀態的動態運動，僅僅實現系統輸入與輸出之間的關系是不夠的，還必須復現模型的內部變量即狀態變量的動態變化規律。狀態空間描述考慮了“輸入-狀態-輸出”這一過程，引進經典控制理論所忽略的中間內部狀態，因此狀態空間表達式能夠完全反映系統的全部獨立變量的變化，而且能夠方便處理初始條件。1/6/2023113.狀態空間描述1/6/202311在用狀態空間法分析系統時，系統的動態特性是用由狀態變量構成的一階微分方程組來描述。狀態空間表達式包括狀態方程和輸出方程。線性定常系統的狀態空間描述為=AX+BU狀態方程 (3.3)Y=CX+DU輸出方程 (3.4)——維系統矩陣式中——維輸入矩陣——維輸出矩陣——維直接傳遞矩陣1/6/202312在用狀態空間法分析系統時，系統的動態特性是用由狀態

——r維輸入向量，

——n維狀態向量，——m維輸出向量

1/6/202313——r維輸入向量，——n維狀態向量，——m維

對于線性時變系統，系數矩陣A，B，C，D，均與時間t有關，狀態空間描述為系統的狀態空間分析法是時域內的一種矩陣運算方法，不再只局限于輸入量、輸出量、誤差量，為提高系統性能提供了有力工具。狀態空間分析法特別適合于用計算機來計算，有利于把工程技術人員從煩瑣的計算中解脫出來。1/6/202314對于線性時變系統，系數矩陣A，B，C，

二.離散系統1．差分方程設系統差分方程為(3.6)引進后移算子為

(3.7)控制系統常用數學模型

假設系統輸入、輸出及其內部狀態變量均是時間序列，其中T

為離散時間間隔，為書寫簡便，用數學模型有3種形式。表示。與連續時間系統類似，離散時間系統1/6/202315二.離散系統1．差分方程(3.6)引進后移式(3.6)可寫為(3.8)令則(3.9)1/6/202316式(3.6)可寫為(3.8)令則(3.9)1/6/20232．離散傳遞函數(Z傳函)假設系統的初始條件為零，即則得(3.10)系統傳遞函數為

(3.11)在初始條件為零時，與等價。1/6/2023172．離散傳遞函數(Z傳函)則得(3.10)系統傳遞函數為

3.離散狀態空間模型類似在連續系統中，從微分方程或傳遞函數建立狀態空間表達式，叫做系統的實現。在離散系統中，從差分方程或脈沖傳遞函數求取離散狀態空間表達式，也是一種實現。多變量離散狀態空間表達式(3.12)1/6/2023183.離散狀態空間模型(3.12)1/6/23.1控制系統的數學模型MATLAB的控制系統工具箱是提供自動控制系統建模、分析和設計方面函數的集合，提供傳遞函數模型、零極點增益模型、狀態空間模型三種形式線性時不變(LTI)模型。有關模型表示的函數如表3-1所示。函數功能sys=tf(num，den)生成傳遞函數模型sys=zpk(z，p，k)生成零極點增益模型sys=ss(a，b，c，d)生成狀態空間模型1/6/2023193.1控制系統的數學模型MATLAB的控制系統工3.1.1傳遞函數num=[b1,b2,…,bm,bm+1]den=[a1,a2,…,an,an+1]注意：它們都是按s的降冪進行排列的。1/6/2023203.1.1傳遞函數1/6/202320MATLAB輸入語句1/6/202321MATLAB輸入語句1/6/202321

MATLABControl工具箱中，用命令tf()可以建立一個傳遞函數模型，或將零極點增益模型和狀態空間模型變化為傳遞函數模型。tf()函數調用格式如下：sys=tf(num，den)；%用于生成連續傳遞函數(S傳遞函數)；sys=tf(num，den，Ts)；%用于生成離散傳遞函數(Z傳遞函數)；sys=tf(num，den，‘Property1’，Value1，...，‘PropertyN’，ValueN)；%用于生成具有LTI模型屬性的傳遞函數；sys=tf(num，den，Ts，‘Property1’，Value1，...，‘PropertyN’，ValueN)；%用于生成具有LTI模型屬性的傳遞函數；sys=tf('s')；%用于生成拉普拉斯變量s有理傳遞函數；sys=tf('z'，Ts)；%用于生成采樣周期為Ts的z有理傳遞函數；傳遞函數模型命令tf()調用格式1/6/202322MATLABControl工具箱中，傳遞函數輸入舉例【例3.1】

輸入傳遞函數模型MATLAB輸入語句>>num=[612610];den=[12311];>>sys1=tf(num,den)Transferfunction:6s^3+12s^2+6s+10---------------------------s^4+2s^3+3s^2+s+11/6/202323傳遞函數輸入舉例【例3.1】輸入傳遞函數模型MATLAB輸當傳遞函數的分子或分母由若干個多項式乘積表示時，它可由MATLAB提供的多項式乘法運算函數conv()來處理，以便獲得分子和分母多項式向量，此函數的調用格式為

c=conv(a,b)其中a和b分別為由兩個多項式系數構成的向量，而c為a和b多項式的乘積多項式系數向量。conv()函數的調用是允許多級嵌套的。1/6/202324當傳遞函數的分子或分母由若干個多項式乘積表示時，它可【例3-2】若給定系統的傳遞函數為【解】則可以將其用下列MATLAB語句表示

>>num=4*conv([12],[166])；>>den=conv([10],conv([11],conv([11],conv([11],[1325]))))；>>G=tf(num,den)

1/6/202325【例3-2】若給定系統的傳遞函數為1/6/202325【例3-2】更簡便的輸入法s=tf('s');%用于生成拉普拉斯變量s有理傳遞函數G=4*(s+2)*(s^2+6*s+6)/(s*(s+1)^3*(s^3+3*s^2+2*s+5))1/6/202326【例3-2】更簡便的輸入法s=tf('s');%用于生成拉【例3-3】對于單輸入多輸出系統

【解】

則可將其用下列MATLAB語句表示>>num={[32];[1025]};den=[3521];tf(num,den)Transferfunctionfrominputtooutput...3s+2#1:-----------------------3s^3+5s^2+2s+1

s^3+2s+5#2:-----------------------3s^3+5s^2+2s+11/6/202327【例3-3】對于單輸入多輸出系統Tr

【例3.4】給定SISO系統輸入為“flow”，輸出為“Temp”，傳遞函數為使用MATLAB表示該傳遞函數num=[1.322.5];den=[10.51.21];sys=tf(num,den,'inputdelay',2,'inputName','flow','OutputName','Temp')運行結果：Transferfunctionfrominput"flow"tooutput"Temp":1.3s^2+2s+2.5exp(-2*s)*------------------------------s^3+0.5s^2+1.2s+11/6/202328 【例3.4】給定SISO

【例3.5】給定一個多輸入-多輸出MIMO系統結果為：Transferfunctionfrominput1tooutput...1#1:-------s+1

#2:2

Transferfunctionfrominput2tooutput...1#1:-------s+2

s+1#2:-------s+2MATLAB命令：num={11;2[11]};den={[11],[12];1,[12]};sys3=tf(num,den)1/6/202329 【例3.5】給定一個多輸入-多輸出MIMO系統MA

【例3.6】若一采樣周期為0.2s的離散MIMO傳遞函數為結果如下：Transferfunctionfrominput1tooutput...z+1#1:--------------------z^2+2z+11#2:---------2z+1

Transferfunctionfrominput2tooutput...Transferz#1:-----------z^2+22#2:----------z+1Samplingtime:0.2MATLAB命令如下：num={[11],[10];1,2};den={[121],[102];[21],[11]};sys4=tf(num,den,0.2)1/6/202330【例3.6】若一采樣周期為0.2s的離散MI3.1.2零極點增益形式零極點模型實際上是傳遞函數模型的另一種表現形式，其原理是分別對原系統傳遞函數的分子、分母進行分解因式處理，以獲得系統的零點和極點的表示形式。MATLAB輸入語句K為系統增益，zi為零點，pj為極點1/6/2023313.1.2零極點增益形式零極點模型實際上是傳遞

在MATLABControl工具箱中，用命令zpk()可以建立零極點增益模型，或將傳遞函數模型和狀態空間模型變化為零極點增益模型。sys=zpk(z，p，k)sys=zpk(z，p，k，Ts)sys=zpk(z，p，k，'Property1'，Value1，...，'PropertyN'，ValueN)sys=zpk(z，p，k，Ts，'Property1'，Value1，...，'PropertyN'，ValueN)sys=zpk('s')sys=zpk('z')zpk()函數調用方法與tf()一致。零極點增益模型zpk函數調用格式1/6/202332在MATLABControl工具

【例3.7】給定一零極點增益模型，使用MATLAB表示該傳遞函數。MATLAB命令如下：z={[];-0.5};p={0.3;[0.1-j,0.1+j]};k=[1;2];sys=zpk(z,p,k,[])結果如下：Zero/pole/gainfrominputtooutput...1#1:----------(z-0.3)2(z+0.5)#2:-----------------------(z^2-0.2z+1.01)Samplingtime:unspecified1/6/202333【例3.7】給定一零極點增益模型，使用MATMATLAB工具箱中的函數poly()和roots()可用來實現多項式和零極點間的轉換，例如在命令窗口中進行如下操作可實現互相轉換。>>P=[1352];>>R=roots(P)

R=-1.2267+1.4677i-1.2267-1.4677i-0.5466>>P1=poly(R)

P1=1.00003.00005.00002.00001/6/202334MATLAB工具箱中的函數poly()和roots(例：建立下述傳遞函數模型的matlab表示>>num=[12,24,0,20];den=[24622];sys=tf(num,den)借助多項式乘法函數conv來處理：>>num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6]));>>den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1],[1,3,2,5]))));>>sys=tf(num,den)2）1)1/6/202335例：建立下述傳遞函數模型的matlab表示>>num=[13）零極點增益模型：4）零極點增益模型：z=[];p=[-1,-2,-3-4j,-3+4j];k=5;sys=zpk(z,p,k)z=[-3,0];p=[-1,50,-10];k=1;sys=zpk(z,p,k)1/6/2023363）零極點增益模型：4）零極點增益模型：z=[];z=[-33.1.3部分分式形式傳遞函數表示成部分分式或留數形式為極點，為各極點對應的留數，為分子除以分母的余子式。1/6/2023373.1.3部分分式形式傳遞函數表示成部分分式或留數形式2.1.4狀態空間表達式

狀態空間模型(state-spacemodel:SS)線性定常狀態空間模型描述為式中，為狀態向量，為輸入向量，是輸出向量。1/6/2023382.1.4狀態空間表達式狀態空間模型(st在MATLABControl工具箱中，用命令ss()可以建立狀態空間模型，或將傳遞函數模型和零極點增益模型轉化為狀態空間模型。語法調用格式:sys=ss(a，b，c，d)sys=ss(a，b，c，d，Ts)sys=ss(a，b，c，d，'Property1'，Value1，...，'PropertyN'，ValueN)sys=ss(a，b，c，d，Ts，'Property1'，Value1，...，'PropertyN'，ValueN)a，b，c，d是狀態空間模型系數矩陣。sys為狀態空間模型對象。ss函數的調用方法與tf()、zpk()一致。1/6/202339在MATLABControl工具箱中，用命令ss【例3.8】設系統的狀態空間表達式為>>A=[001;-3/2-2-1/2;-30-4];>>B=[11;-1-1;-1-3];>>C=[100;010];>>D=zeros(2,2);>>sys=ss(A,B,C,D)1/6/202340【例3.8】設系統的狀態空間表達式為>>A=[001

【例3.9】狀態空間模型結果為：a=x1x2x3x1010x2001x3-5-20-1b=u1x10x20x31c=x1x2x3y1100d=u1y10Continuous-timemodel。用MATLAB表示為A=[010;001;-5-20-1];B=[0;0;1];C=[100];D=0;sys=ss(A,B,C,D)1/6/202341【例3.9】狀態空間模型用MATLAB表示為

傳遞函數模型、零極點增益模型和狀態空間模型之間模型轉換函數如圖所示。3.2系統數學模型間的相互轉換1/6/202342傳遞函數模型、零極點增益模型和狀態空間

在不同的場合需要不同的模型，因此系統的數學模型有多種表示方式，這些數學模型需要相互轉換。MATLABcontrol工具箱提供了一系列用于模型轉換的函數如表3-2所示。函數功能sys=tf(ss_sys);sys=tf(zpk_sys);ss或zpk模型轉換傳遞函數模型sys=zpk(ss_sys);sys=zpk(tf_sys)ss或tf模型生成零極點增益模型sys=ss(tf_sys);sys=ss(zpk_sys)tf或zpk模型生成狀態空間模型[A，B，C，D]=tf2ss(num，den)傳遞函數轉換成狀態空間模型[num，den]=ss2tf(A，B，C，D，iu)狀態空間模型轉換成傳遞函數[z，p，k]=tf2zp(num，den)傳遞函數轉換成零極點增益模型[num，den]=zp2tf(z，p，k)零極點增益模型轉換成傳遞函數[z，p，k]=ss2zp(A，B，C，D，iu)狀態空間模型轉換成零極點增益模型[A，B，C，D]=zp2ss(z，p，k)零極點增益模型轉換成狀態空間模型1/6/202343在不同的場合需要不同的模型，因此系統的

MATLAB實現模型轉換有兩種不同的方式。方式1：簡單的模型轉換首先生成任一指定的模型對象(tf，ss，zpk)，然后將該模型對象類作為輸入，調用欲轉換的模型函數即可。例如：欲將傳遞函數轉換為狀態空間模型sys=tf(num，den)； %生成傳遞函數模型。[a，b，c，d]=ss(sys)； %將傳遞函數模型作為狀態空間模型的輸入。1/6/202344MATLAB實現模型轉換有兩種不同的方式。1/方式2：直接調用模型轉換函數連續模型之間三種形式的數學模型相互轉換函數類型包括tf2ss、ss2tf、zp2tf、tf2zp、ss2zp、zp2ss，共六個函數，如圖3.2所示。函數的調用格式和功能見表3-2。傳遞函數模型、零極點增益模型和狀態空間模型之間模型轉換函數如圖3.2所示。1/6/202345方式2：直接調用模型轉換函數1/6/202345

3.2.1狀態空間表達式到傳遞函數的轉換

在MATLAB控制系統工具箱中，給出一個根據狀態空間表達式求取系統傳遞函數的函數ss2tf()，其調用格式為[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)對多輸入的系統，必須具體化iu。例如，如果系統有三個輸入(u1，u2，u3)，則iu必須為1、2或3中的一個，其中1表示u1，2表示u2，3表示u3。如果系統只有一個輸入，則可采用[num，den]=ss2tf(A，B，C，D)或[num，den]=ss2tf(A，B，C，D，1)1/6/2023463.2.1狀態空間表達式到傳遞函數的轉換*【例3-10】對于例3-8中給出的多變量系統，可以由下面的命令分別對各個輸入信號求取傳遞函數向量，然后求出這個傳遞函數陣。

【解】利用下列MATLAB語句>>[num1,den1]=ss2tf(A,B,C,D,1)num1=01.00005.00006.00000-1.0000-5.0000-6.0000den1=161161/6/202347*【例3-10】對于例3-8中給出的多變量系統，可以由下面的>>[num2,den2]=ss2tf(A,B,C,D,2)num2=01.00003.00002.00000-1.0000-4.0000-3.0000den2=16116則可得系統的傳遞函數陣1/6/202348>>[num2,den2]=ss2tf(A,B,C,D,2)3.2.2狀態空間形式到零極點形式的轉換MATLAB函數ss2zp()的調用格式為

[Z,P,K]=ss2zp(A,B,C,D,iu)iu值的設置與ss2tf()用法相同。1/6/2023493.2.2狀態空間形式到零極點形式的轉換MATLAB函數

【例3-11】將狀態空間模型轉換為傳遞函數和零極點增益模型。MATLAB命令：A=[010;001;-5-20-1];B=[0;0;1];C=[100];D=0;[num,den]=ss2tf(A,B,C,D); %狀態空間模型轉換成傳遞函數模型printsys(num,den) %輸出傳遞函數模型[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D); %狀態空間模型轉換成零極點增益模型zpk(z,p,k) %生成零極點增益模型對象類1/6/202350【例3-11】將狀態空間模型轉換為傳遞函數和

【例3-13】多入單出系統狀態空間表達式包括兩個傳遞函數：Y1(s)/U1(s)、Y1(s)/U2(s)(當考慮輸入u1時，可設u2為零。反之亦然)，試將其化成傳遞函數形式。MATLAB命令：A=[010;011;-5.00825.1026-5.032471];B=[01;25.042;121.0053];C=[100];D=[00];[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1);sys1=tf(num,den)[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2);sys2=tf(num,den)1/6/202351【例3-13】多入單出系統狀態空間表達式包括

傳遞函數Y1(s)/U1(s)為Transferfunction:-3.553e-015s^2+25.04s+247----------------------------------------s^3+4.032s^2–30.14s+5.008傳遞函數Y1(s)/U2(s)為Transferfunction:s^2+6.032s–17.07----------------------------------------s^3+4.032s^2–30.14s+5.008以上就是下列兩個傳遞函數的MATLAB表達式：1/6/202352傳遞函數Y1(s)/U1(s)為1/6/202

2.2.3傳遞函數到狀態空間表達式的轉換如果已知系統的傳遞函數模型，求取系統狀態空間表達式的過程又稱為系統的實現。由于狀態變量可以任意地選取，所以實現的方法并不是唯一的，這里只介紹一種比較常用的實現方法。在MATLAB控制系統工具箱中稱這種方法為能控標準型實現方法，并給出了直接實現函數，該函數的調用格式為

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)1/6/2023532.2.3傳遞函數到狀態空間表達式的轉換

【例3-14】將傳遞函數化成狀態空間表達式num=[023;121];den=[10.41];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)結果為：A=-0.4000-1.00001.00000B=10C=2.00003.00001.60000D=011/6/202354【例3-14】將傳遞函數化成狀態空間表達式13.2.4傳遞函數形式到零極點形式的轉換MATLAB函數tf2zp()的調用格式為

[Z,P,K]=tf2zp(num,den)3.2.5零極點形式到狀態空間表達式的轉換MATLAB函數zp2ss()的調用格式為

[A,B,C,D]=zp2ss(Z,P,K)3.2.6零極點形式到傳遞函數形式的轉換MATLAB函數zp2tf()的調用格式為

[num,den]=zp2tf(Z,P,K)1/6/2023553.2.4傳遞函數形式到零極點形式的轉換3.2.5零極

【例3-15】將傳遞函數化為零極點增益模型MATLAB代碼命令如下。num=[21];den=[341];[z,p,k]=tf2zp(num,den)結果：z=-0.5000p=-1.0000-0.3333k=0.6667因此，零點為-1/2，極點為-1/3和-1，增益為2/3，因此零極點增益模型為1/6/202356【例3-15】將傳遞函數化為零極點增益模型M

【例3-16】零極點增益模型化成狀態空間表達式MATLAB代碼命令如下。z=[-2];p=[-1-3-3];k=2;[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k)1/6/202357【例3-16】零極點增益模型化成狀態空間表達3.2.7部分分式與傳遞函數形式之間的轉換[num,den]＝residue(P,R,H):部分分式模型轉換為傳遞函數模型[P,R,H]=residue(num,den):傳遞函數模型轉換為部分分式模型1/6/2023583.2.7部分分式與傳遞函數形式之間的轉換[num,

sys=append(sys1，sys2，...，sysN)子系統合成對角形式sys=

parallel(sys1，sys2，inp1，inp2，out1，out2)并聯連接sys=series(sys1，sys2，outputs1，inputs2)串聯連接sys=feedback(sys1，sys2)反饋連接sys=lft(sys1，sys2，nu，ny)模型連接sysc=connect(sys，Q，inputs，outputs)框圖建模3.3系統模型的連接在一般情況下，控制系統常常由若干個環節通過串聯、并聯和反饋連接的方式而組成，對在各種連接模式下的系統能夠進行分析就需要對系統的模型進行適當的處理,在MATLAB的控制系統工具箱中提供了大量的對控制系統的簡單模型進行連接的函數。1/6/202359sys=append(sys1，sys2，

，3.3.1串聯連接在MATLAB的控制系統工具箱中提供了系統的串聯連接處理函數series()，它既可處理由狀態方程表示的系統，也可處理由傳遞函數陣表示的單輸入多輸出系統。SISO系統模型的串連MIMO系統模型的串連1/6/202360，3.3.1串聯連接在MATLAB函數調用格式：sys=series(sys1,sys2)：求SISO系統sys1和sys2的串連模型sys=series(sys1,sys2,outputs1,inputs2):求MIMO系統的串連，其中outputs1為sys1的輸出端口數，inputs2為sys2的輸入端口數。若MIMO系統有多個連接，在outputs1和inputs2為同維數向量。[a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)[a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,output1,input2)[num,den]=series(num1,den1,num2,den2)[num,den]=series(num1,den1,num2,den2,output1,input2)1/6/202361函數調用格式：[a,b,c,d]=series(a1,b1,

【例3-17】求下列兩系統串聯后的系統模型>>A1=[23;-14];B1=[1;0];C1=[24];D1=1;>>A2=[03;-3-1];B2=[0;1];C2=[13];D2=2;>>[A,B,C,D]=series(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)1/6/202362【例3-17】求下列兩系統串聯后的系統模型>>對于單入單出SISO系統，并聯連接是指各子系統輸入相同，輸出是各子系統輸出之代數和。如圖所示。3.3.2并聯連接在MATLAB的控制系統工具箱中提供了系統的并聯連接處理函數parallel()。SISO系統模型的并連MIMO系統模型的并連1/6/202363對于單入單出SISO系統，并聯連接是指各子系統輸入相[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,in1,in2,out1,out2)[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)

其調用格式如下：sys=parallel(sys1,sys2)：兩個SISO系統模型的并聯sys=parallel(sys1,sys2,in1,in2,out1,out2)：生成兩個MIMO系統的并聯模型，并聯輸入端口由向量in1和in2定義，并聯的輸出端口由向量out1和out2定義。in1和out1對應sys1用于并聯的輸入、輸出端口向量，in2和out2對應sys2用于并聯的輸入、輸出端口向量。1/6/202364[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1【例3-18】在上圖所示的SISO系統并聯模型結構中，已知sys1、sys2的傳遞函數分別為：s=tf('s');%定義拉普拉斯變量ssys1=(s+1)/(s*(s^2+s+2));%定義SISO系統sys1的傳遞函數模型sys2=5/(5*s+1);%定義SISO系統的sys2的傳遞函數模型disp('并聯系統模型為')sys=parallel(sys1,sys2)%生成sys1與sys2的并聯模型執行上述命令后在CommandWindows得如下結果：并聯系統模型為Transferfunction:5s^3+10s^2+16s+1----------------------------5s^4+6s^3+11s^2+2s1/6/202365【例3-18】在上圖所示的SISO系統并聯模型結構中，已知s

【例3-19】求下列兩系統并聯后的系統模型>>num1=3;den1=[14];num2=[24];den2=[123];>>[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2);>>G=tf(num,den)Transferfunction:5s^2+18s+25-----------------------s^3+6s^2+11s+121/6/202366【例3-19】求下列兩系統并聯后的系統模型>>系統模型的反饋連接分SISO系統模型反饋連接和MIMO系統模型反饋連接。3.3.3反饋連接SISO系統模型的反饋MIMO系統模型的反饋1/6/202367系統模型的反饋連接分SISO系統模型反饋連接和MIMsys=feedback(sys1,sys2,sign)：生SISO系統sys1與sys2構成的反饋系統傳遞函數模型，sys2為反饋通道傳遞函數模型，反饋類型由sign指定，當sign=1為正反饋，當sign=-1為負反饋，此時sign可省略。sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign)：生成MIMO系統的部分反饋模型，feedin指定sys1中連入反饋回路的輸入端口向量。feedout指定sys1中連入反饋回路中的輸出端口向量。feedback（）調用格式[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign)[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,out1)[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)1/6/202368sys=feedback(sys1,sys2,sign)：生【例】給定一個5輸入4輸出的狀態空間子系統sys1和一個3輸入2輸出的狀態空間反饋控制器sys2。sys1的輸出1、3和4連接到控制器sys2的輸入端，控制器sys2的輸出端連接到子系統sys1的輸入端4和2。則采用命令如下：feedin=[42];feedout=[134];cloop=feedback(sys1，sys2，feedin，feedout);1/6/202369【例】給定一個5輸入4輸出的狀態空間子系統sys1和一個3

【例3-20】求下列兩系統反饋連接后的系統模型numg=[251];deng=[123];numh=[510];denh=[110];[num,den]=feedback(numg,deng,numh,denh);printsys(num,den)1/6/202370【例3-20】求下列兩系統反饋連接后的系統模型3.3.4系統的組合MATLAB的組合函數append()的調用格式為

[A,B,C,D]=append(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)1/6/2023713.3.4系統的組合MATLAB的組合函數appen

3.3.5根據框圖建模利用connect()函數，可以根據系統的方框圖按指定方式求取系統模型，其函數調用格式為：[A1,B1,C1,D1]=connect(A,B,C,D,Q,inputs,outputs)其中（A,B,C,D）為由函數append()生成的無連接對角方塊系統的狀態空間模型系數矩陣；Q矩陣用于指定系統（A,B,C,D）的內部連接關系，Ｑ矩陣的每一行對應于一個有連接關系的輸入，其第一個元素為輸入編號，其后為連接該輸入的輸出編號，如采用負連接，則以負值表示；inputs和outputs用于指定系統（A1,B1,C1,D1）的輸入和輸出的編號；（A1,B1,C1,D1）為在指定輸入和輸出并按要求的內部連接關系下所生成的系統。1/6/2023723.3.5根據框圖建模利用connec

【例3-21】用框圖建模法重做【例3-17】1/6/202373【例3-21】用框圖建模法重做【例3-17】1

【例3-21】用框圖建模法求系統的傳遞函數。1/6/202374【例3-21】用框圖建模法求系統的傳遞函數。1

【例3-22】用框圖建模法求系統的傳遞函數。1/6/202375【例3-22】用框圖建模法求系統的傳遞函數。1

【例3-23】如圖3-9所示的系統連接關系，建立該框圖的狀態空間表達式和傳遞函數模型。圖3-9用方框圖表示系統的連接關系1/6/202376【例3-23】如圖3-9所示的系統連接關系，Step1:定義子系統數學模型(傳遞函數tf、狀態空間模型ss或零極點增益模型zpk)。1/6/202377Step1:定義子系統數學模型(傳遞函數tf、狀態空間模Step2：建立無連接的狀態空間模型，形成一個無連接關系的對角塊(a，b，c，d)。1/6/202378Step2：建立無連接的狀態空間模型，形成一個無連接關系的Step3：指定框圖間的連接關系。1/6/202379Step3：指定框圖間的連接關系。1/6/202379Step4：選擇輸入/輸出。1/6/202380Step4：選擇輸入/輸出。1/6/202380Step5：調用connect函數，完成框圖模型的狀態空間模型。sysc=connect(sys,Q,inputs,outputs);1/6/202381Step5：調用connect函數，完成框圖模型的狀態空間Step6：將狀態空間模型轉換成傳遞函數模型。1/6/202382Step6：將狀態空間模型轉換成傳遞函數模型。1/6/20

1/6/2023831/6/2023833.4典型系統的生成1.建立二階系統模型可利用MATLAB所提供的函數ord2()來建立其調用格式為

[num,den]=ord2(ωn,ζ)或

[A,B,C,D]=ord2(ωn,ζ)1/6/2023843.4典型系統的生成1.建立二階系統模型1/6/2023

【例3-24】已知ζ=0.4，ωn=2.4rad/s,求二階系統的傳遞函數。>>[num,den]=ord2(2.4,0.4);>>printsys(num,den)num/den=

1-------------------s^2+1.92s+5.761/6/202385【例3-24】已知ζ=0.4，ωn=2.4ra2.純時延系統的Padè近似可利用MATLAB所提供的函數pade()來建立其調用格式為

[num,den]=pade(tau，n)1/6/2023862.純時延系統的Padè近似1/6/2023863.5系統的特性值在分析控制系統的時候，經常用到系統的一些特性函數，如系統的增益、阻尼系數和自然頻率等等，MATLAB的控制系統工具箱中提供了相應的函數用來計算系統的特性函數，如下表所示。函數名功能damp()求系統的阻尼系數和自然頻率ddamp()求離散系統的阻尼系數和自然頻率dcgain()求連續控制系統的增益ddcgain()求離散控制系統的增益printsys()顯示或打印系統1/6/2023873.5系統的特性值在分析控制系統的時候，經常用到系求系統的阻尼系數和自然頻率MATLAB函數damp()的調用格式為[wn,zeta]=damp(A)

【例3-25】連續系統的傳遞函數求系統特征值、自然頻率和阻尼系數。>>num=[251];den=[123];>>[wn,zeta]=damp(den)>>roots(den)1/6/202388求系統的阻尼系數和自然頻率【例3-25】連續系統的傳遞函數>2.系統的增益MATLAB的函數dcgain()的調用格式為

K=dcgain(num,den)或K=dcgain(A,B,C,D)1/6/2023892.系統的增益1/6/2023893.顯示∕打印線性系統MATLAB的printsys()函數可按特殊格式打印出狀態空間和傳遞函數表示的系統。其調用格式分別為printsys(num,den,'s')

%顯示∕打印連續系統的傳遞函數，默認方式；printsys(num,den,'z')

%顯示∕打印離散系統的脈沖傳遞函數；printsys(A,B,C,D)

%顯示∕打印狀態空間形式的系數矩陣。1/6/2023903.顯示∕打印線性系統1/6/202390本章小結在進行控制系統的仿真之前，建立系統的模型表達式是關鍵的一步。對于控制系統，有不同的分類，在本課程中主要討論的是線性定常連續系統系統的描述有不同的方法：微分方程；傳遞函數；零極點增益模式；部分分式展開；狀態空間模型等。系統的模型之間可以相互轉換，要求熟練掌握各種模型之間轉換的命令。模型之間可以進行連接，要求掌握常用的模型連接命令：串聯、并聯、反饋及閉環。1/6/202391本章小結在進行控制系統的仿真之前，建立系統的模型表達式是關鍵習題

3-1根據SISO系統狀態空間表達式，求其對應的傳遞函數。1/6/202392習題3-1根據SISO系統狀態空間表達式，

3-2由MIMO系統狀態空間表達式求系統的傳遞函數 1/6/2023933-2由MIMO系統狀態空間表達式求系統的傳

3-3給定系統為使用MATLAB求出狀態空間表達式和零極點模型1/6/2023943-3給定系統為使用MATLAB求出狀態空間

3-4考慮由下式定義的系統：式中，試求其傳遞函數Y(s)/U(s)。1/6/2023953-4考慮由下式定義的系統：式中，試求其傳3-5已知系統外部模型，其輸入是u，輸出是y，試分別寫出下列系統狀態方程和輸出方程：(1)(2)1/6/2023963-5已知系統外部模型，其輸入是u，輸出是y，試分別寫出下

3-6考慮一個MIMO系統求出對應的傳遞函數。1/6/2023973-6考慮一個MIMO系統求出對應的傳遞函數第三章

控制系統的數學模型及其轉換1/6/202398第三章

控制系統的數學模型及其轉換1/6/20231本章內容利用MATLAB描述在控制系統中常見的幾種數學模型；利用MATLAB實現任意數學模型之間的相互轉換；利用MATLAB求解系統經過串聯、并聯和反饋連接后的系統模型；利用MATLAB獲取一些典型系統的模型；利用MATLAB實現連續系統的離散化和離散系統的連續化；利用MATLAB求取系統的特性函數。1/6/202399本章內容利用MATLAB描述在控制系統中常見的幾種數學模型控制系統計算機仿真是建立在控制系統數學模型基礎之上的一門技術。對系統進行仿真，首先應該知道系統的數學模型，然后才可以在此基礎上設計一個合適的控制器，使得原系統的響應達到預期的效果。在線性系統理論中，一般常用的數學模型形式有：傳遞函數模型（系統的外部模型）狀態方程模型（系統的內部模型）零極點增益模型（傳遞函數模型的一種）這些模型之間都有著內在的聯系，可以相互進行轉換。1/6/2023100控制系統計算機仿真是建立在控制系統數學模型基礎之上的一門技術系統類型一.連續和離散系統根據系統自變量(時間)是連續變化還是離散變化，系統分為連續系統和離散系統。(1)連續系統——系統輸入、輸出信號都是連續時間信號。(2)離散系統——系統輸入、輸出信號都是離散時間信號。(3)混合系統——系統輸入、輸出信號包含連續信號和離散信號。連續時間的數學模型用微分方程描述。離散時間系統的數學模型用差分方程描述。例如：一般L、R、C電路都是連續時間系統。數字計算機是典型的離散時間系統。實際上離散時間系統經常與連續時間系統組合運用，此時稱為混合系統(或采樣系統)。如自動控制系統和數字通信系統。1/6/2023101系統類型一.連續和離散系統根據系統自變量(時間)是連續變化還二.線性和非線性系統

根據輸入輸出關系是否同時滿足齊次性和疊加性，系統分為線性和非線性。假設系統在沒有外界信號作用之前處于靜止狀態，在輸入信號為任意實數，和或和作用下，有式中，為輸入輸出之間函數關系。那么，該系統稱為線性系統，否則是非線性系統。根據模型參數是否隨時間變化，線性系統又可細分為線性定常系統和線性時變系統。參數不隨時間變化的系統，稱為時不變系統或定常系統，否則稱為時變系統。例如，線性定常系統：1/6/2023102二.線性和非線性系統根據輸入輸出關系是否同時滿足齊線性時變系統：非線性定常系統：式中，分別為系統輸入、輸出。1/6/2023103線性時變系統：非線性定常系統：式中，分別為系統輸入、輸出。1三.確定和隨機系統

根據系統輸入、輸出和內部狀態呈現的規律，系統分為確定性系統與隨機性系統。輸入輸出之間函數關系能夠用確定性模型描述的系統，稱為確定性系統，否則稱為隨機系統(或不確定性系統)。在控制系統中，隨機因素可能作用在系統的入口，也可能作用在系統的出口，還可能影響系統模型本身。例如噪聲輸入的隨機控制系統，其微分方程具有如下形式。式中，分別為狀態變量和輸出變量，為輸入噪聲，通常是正態分布的白噪聲。1/6/2023104三.確定和隨機系統根據系統輸入、輸出和內部狀態呈控制系統常用數學模型

根據系統輸入、輸出與內部狀態變量之間關系，控制系統模型可分為外部模型和內部模型。一般地，把建立系統輸入輸出關系的數學模型稱為外部模型，包括時域模型和頻域模型。把建立系統輸入、輸出與內部狀態變量之間關系的數學模型稱為內部模型，相應的數學模型稱為系統的狀態空間方程(連續狀態空間方程或離散狀態空間方程)?？刂葡到y模型分類1/6/2023105控制系統常用數學模型根據系統輸入、輸出與內部狀態變量一.連續系統

1．微分方程一個連續系統可以表示成高階微分方程，即式中，分別為系統輸入量、輸出量，n為系統的階次，為系統的結構參數，結構參數，為輸入函數的及各階導數的初始值為它們均為實常數。已知輸出變量控制系統常用數學模型

1/6/2023106一.連續系統1．微分方程式中，分別為系統輸入量、輸出量 稍加整理，并記 2.傳遞函數若系統的初始條件為零，即系統在t=0時已處于一個穩定狀態，那么對式(3.1)兩邊取拉普拉斯變換后可得稱為系統的傳遞函數。1/6/2023107 稍加整理，并記 2.傳遞函數稱為系統的傳遞函數。1/6/3.狀態空間描述

微分方程和傳遞函數都只描述了系統輸入與輸出之間的關系，而沒有考慮系統內部狀態的動態運動，僅僅實現系統輸入與輸出之間的關系是不夠的，還必須復現模型的內部變量即狀態變量的動態變化規律。狀態空間描述考慮了“輸入-狀態-輸出”這一過程，引進經典控制理論所忽略的中間內部狀態，因此狀態空間表達式能夠完全反映系統的全部獨立變量的變化，而且能夠方便處理初始條件。1/6/20231083.狀態空間描述1/6/202311在用狀態空間法分析系統時，系統的動態特性是用由狀態變量構成的一階微分方程組來描述。狀態空間表達式包括狀態方程和輸出方程。線性定常系統的狀態空間描述為=AX+BU狀態方程 (3.3)Y=CX+DU輸出方程 (3.4)——維系統矩陣式中——維輸入矩陣——維輸出矩陣——維直接傳遞矩陣1/6/2023109在用狀態空間法分析系統時，系統的動態特性是用由狀態

——r維輸入向量，

——n維狀態向量，——m維輸出向量

1/6/2023110——r維輸入向量，——n維狀態向量，——m維

對于線性時變系統，系數矩陣A，B，C，D，均與時間t有關，狀態空間描述為系統的狀態空間分析法是時域內的一種矩陣運算方法，不再只局限于輸入量、輸出量、誤差量，為提高系統性能提供了有力工具。狀態空間分析法特別適合于用計算機來計算，有利于把工程技術人員從煩瑣的計算中解脫出來。1/6/2023111對于線性時變系統，系數矩陣A，B，C，

二.離散系統1．差分方程設系統差分方程為(3.6)引進后移算子為

(3.7)控制系統常用數學模型

假設系統輸入、輸出及其內部狀態變量均是時間序列，其中T

為離散時間間隔，為書寫簡便，用數學模型有3種形式。表示。與連續時間系統類似，離散時間系統1/6/2023112二.離散系統1．差分方程(3.6)引進后移式(3.6)可寫為(3.8)令則(3.9)1/6/2023113式(3.6)可寫為(3.8)令則(3.9)1/6/20232．離散傳遞函數(Z傳函)假設系統的初始條件為零，即則得(3.10)系統傳遞函數為

(3.11)在初始條件為零時，與等價。1/6/20231142．離散傳遞函數(Z傳函)則得(3.10)系統傳遞函數為

3.離散狀態空間模型類似在連續系統中，從微分方程或傳遞函數建立狀態空間表達式，叫做系統的實現。在離散系統中，從差分方程或脈沖傳遞函數求取離散狀態空間表達式，也是一種實現。多變量離散狀態空間表達式(3.12)1/6/20231153.離散狀態空間模型(3.12)1/6/23.1控制系統的數學模型MATLAB的控制系統工具箱是提供自動控制系統建模、分析和設計方面函數的集合，提供傳遞函數模型、零極點增益模型、狀態空間模型三種形式線性時不變(LTI)模型。有關模型表示的函數如表3-1所示。函數功能sys=tf(num，den)生成傳遞函數模型sys=zpk(z，p，k)生成零極點增益模型sys=ss(a，b，c，d)生成狀態空間模型1/6/20231163.1控制系統的數學模型MATLAB的控制系統工3.1.1傳遞函數num=[b1,b2,…,bm,bm+1]den=[a1,a2,…,an,an+1]注意：它們都是按s的降冪進行排列的。1/6/20231173.1.1傳遞函數1/6/202320MATLAB輸入語句1/6/2023118MATLAB輸入語句1/6/202321

MATLABControl工具箱中，用命令tf()可以建立一個傳遞函數模型，或將零極點增益模型和狀態空間模型變化為傳遞函數模型。tf()函數調用格式如下：sys=tf(num，den)；%用于生成連續傳遞函數(S傳遞函數)；sys=tf(num，den，Ts)；%用于生成離散傳遞函數(Z傳遞函數)；sys=tf(num，den，‘Property1’，Value1，...，‘PropertyN’，ValueN)；%用于生成具有LTI模型屬性的傳遞函數；sys=tf(num，den，Ts，‘Property1’，Value1，...，‘PropertyN’，ValueN)；%用于生成具有LTI模型屬性的傳遞函數；sys=tf('s')；%用于生成拉普拉斯變量s有理傳遞函數；sys=tf('z'，Ts)；%用于生成采樣周期為Ts的z有理傳遞函數；傳遞函數模型命令tf()調用格式1/6/2023119MATLABControl工具箱中，傳遞函數輸入舉例【例3.1】

輸入傳遞函數模型MATLAB輸入語句>>num=[612610];den=[12311];>>sys1=tf(num,den)Transferfunction:6s^3+12s^2+6s+10---------------------------s^4+2s^3+3s^2+s+11/6/2023120傳遞函數輸入舉例【例3.1】輸入傳遞函數模型MATLAB輸當傳遞函數的分子或分母由若干個多項式乘積表示時，它可由MATLAB提供的多項式乘法運算函數conv()來處理，以便獲得分子和分母多項式向量，此函數的調用格式為

c=conv(a,b)其中a和b分別為由兩個多項式系數構成的向量，而c為a和b多項式的乘積多項式系數向量。conv()函數的調用是允許多級嵌套的。1/6/2023121當傳遞函數的分子或分母由若干個多項式乘積表示時，它可【例3-2】若給定系統的傳遞函數為【解】則可以將其用下列MATLAB語句表示

>>num=4*conv([12],[166])；>>den=conv([10],conv([11],conv([11],conv([11],[1325]))))；>>G=tf(num,den)

1/6/2023122【例3-2】若給定系統的傳遞函數為1/6/202325【例3-2】更簡便的輸入法s=tf('s');%用于生成拉普拉斯變量s有理傳遞函數G=4*(s+2)*(s^2+6*s+6)/(s*(s+1)^3*(s^3+3*s^2+2*s+5))1/6/2023123【例3-2】更簡便的輸入法s=tf('s');%用于生成拉【例3-3】對于單輸入多輸出系統

【解】

則可將其用下列MATLAB語句表示>>num={[32];[1025]};den=[3521];tf(num,den)Transferfunctionfrominputtooutput...3s+2#1:-----------------------3s^3+5s^2+2s+1

s^3+2s+5#2:-----------------------3s^3+5s^2+2s+11/6/2023124【例3-3】對于單輸入多輸出系統Tr

【例3.4】給定SISO系統輸入為“flow”，輸出為“Temp”，傳遞函數為使用MATLAB表示該傳遞函數num=[1.322.5];den=[10.51.21];sys=tf(num,den,'inputdelay',2,'inputName','flow','OutputName','Temp')運行結果：Transferfunctionfrominput"flow"tooutput"Temp":1.3s^2+2s+2.5exp(-2*s)