第七章

點的一般運動、剛體的基本運動第七章

點的一般運動、剛體的基本運動1引言一、空間、時間與物質運動的關系1、物體的運動速度接近光速或超越光速時，空間、時間與物質的運動是相互關聯的。2、經典力學范圍內，認為空間、時間與物質的運動無關。引言一、空間、時間與物質運動的關系1、物體的運動速度接近光速2二、運動學的研究對象經典力學中的運動學在被認為在與運動無關的空間和時間中研究物體運動的幾何性質三、運動學的建立基礎由于經典力學中空間、時間與物體運動的無關性，因此整個運動學的理論體系可建立在歐幾里德幾何學公理的基礎上。二、運動學的研究對象經典力學中的運動學在被認為在與運3四、運動學中的兩種力學模形：點：不計尺寸大小的物體。剛體：形狀和大小都不變化的物體。五、運動學中與時間相關的兩個重要概念——瞬時和時間間隔瞬時：在整個時間流逝過程中的某一時刻。在抽象化后的時間軸上，瞬時是時間軸上的一個點。開始計算時間的瞬時稱為初瞬時時間間隔：兩個瞬時之間流逝的時間。四、運動學中的兩種力學模形：點：不計尺寸大小的物體。五、4六、運動學中與位置相關的重要概念——參考體參考體：描述物體的運動之前所選取的作為參照物的物體。參考系：將所選取的參考體經抽象化處理，以坐標系的形式出現。（坐標系，參考坐標系）六、運動學中與位置相關的參考體：描述物體的運動之前所選取的作51、點的運動的表示方法——三種：矢徑表示法，笛卡兒坐標表示法，弧坐標表示。2、剛體的基本運動——兩種：剛體的平行移動，剛體的定軸轉動。內容提要2、剛體的基本運動內容提要63、定軸輪系的傳動比——兩種：齒輪傳動，帶輪傳動。4、剛體角速度和角加速度的矢量表示——角速度矢、角加速度矢5、轉動剛體上點的速度和加速度的矢積表示6、泊松公式3、定軸輪系的傳動比4、剛體角速度和角加速度的矢量表示5、轉7第一節：點的運動的表示方法

一、矢徑表示法：P、P——動點v、v——動點的瞬時速度r、r——動點的瞬時矢徑r——t時間間隔內矢徑改變量S——動點運動軌跡，矢徑端圖

o——參考點一、矢徑表示法：P、P——動點8第一節：點的運動的表示方法

一、矢徑表示法：1、運動方程（運動規律）：由于矢徑r的大小與方向均隨時間t而變，是t的單值連續的矢量函數，故可表示如下：——運動方程一、矢徑表示法：1、運動方程（運動規律）：由92、運動速度：平均速度瞬時速度速度單位2、運動速度：平均速度瞬時速度速度單位10３、加速度：平均加速度瞬時加速度加速度單位３、加速度：平均加速度瞬時加速度加速度單位11討論：速度矢端圖點的加速度是矢量，如果將各瞬時動點的速度矢量的始端畫在同一點O′，按照時間順序，這些速度矢量的末端將描繪出一條連續的曲線，稱為速度矢端圖。如圖所示，速度為v時的加速度方向為M點的切線方向。指向速度矢變化的方向。速度矢端圖的作用：確定瞬時加速度方向。速度矢端圖討論：速度矢端圖點的加速度是矢量，如果將各瞬時12總結

動點的速度等于其矢徑對時間的一階導數，方向沿軌跡在該點的切線方向，指向與動點運動方向一致。變矢量A(t)

對時間t的導數dA(t)dt

為一新變矢。此新變矢為變矢量A(t)

端點的速度u。動點的加速度等于它的速度對時間的一階導數,等于位矢對時間的二階導數。其方向為v的極限方向總結動點的速度等于其矢徑對時間的一階導數，方向沿軌跡在13二、笛卡兒坐標表示法：1、運動方程（運動規律）：由于動點在空間的位置可用坐標唯一的確定，而坐標x、y、z又是t的單值連續的矢量函數，故可表示如下：——運動方程二、笛卡兒坐標表示法：1、運動方程（運動規律）：142、運動速度：速度的笛卡兒坐標表達式2、運動速度：速度的笛卡兒坐標表達式15速度的笛卡兒坐標軸上的投影式合速度大小)65(-???t???yü======

zdtdzvydtdyvxdtdxvzyx&&&)75(222-++=

zyxvvvv速度的笛卡兒坐標軸上的投影式合速度大小)65(-???t??16合速度方向合速度的方向由其方向余弦確定合速度方向合速度的方向由其方向余弦確定172、運動加速度：同理，將速度對時間求一次導數，即可求得加速度的笛卡兒坐標表達式及其在笛卡兒坐標軸上的投影式：加速度的笛卡兒坐標表達式2、運動加速度：同理，將速度對時間求一次導數18加速度在笛卡兒坐標軸上的投影式合加速度大小)105(222222-???t???yü======—

zdtzdaydtydaxdtxdazyx&&&&&&)115(222-++=

zyxaaaa加速度在笛卡兒坐標軸上的投影式合加速度大小)105(222219合加速度方向合加速度的方向由其方向余弦確定合加速度方向合加速度的方向由其方向余弦確定20總結

笛卡兒坐標法是矢徑法的代數運算。動點的速度在笛卡兒坐標軸上的投影等于其對應坐標對時間的一階導數。動點的加速度在笛卡兒坐標軸上的投影等于其對應的速度對時間的一階導數，亦等于其對應坐標對時間的二階導數。總結笛卡兒坐標法是矢徑法的代數運算。21三、弧坐標表示法：三、弧坐標表示法：22O點——參考點、弧坐標原點。S——弧坐標、O點至動點M的弧長。是時間ｔ的單值函數。正負號——規定參考點的一側方向為正向，相應部位的弧長為正值；另一側方向為負向，相應部位的弧長為負值。概念O點——參考點、弧坐標原點。概念23自然軸系由于M點附近的微小弧段可以可以近似的看成為一條在密切面內的平面曲線，因此對平面曲線而言，密切面就是該曲線所在的平面。自然軸系由于M點附近的微小弧段可以可以近似的24剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件25自然軸系方向規定

的正向指向弧坐標正向，n

的正向指向曲線在M點的曲率中心，b

的正向則由右手規則決定，即

b=

×n自然軸系特征及與笛卡兒坐標系的區別

自然軸系、n、b的方向隨動點位置的變動而變動，單位矢量、n、b的方向不斷變化。笛卡兒坐標系為固定坐標系，單位矢量i、j、k為定矢。自然軸系方向規定的正向指向弧坐標正向，n26——運動方程由于動點在空間的位置可用坐標唯一的確定，而坐標s又是t的單值連續的矢量函數，故可表示如下：——運動方程由于動點在空間的位置可用坐標唯一272、運動速度：公式推導2、運動速度：公式推導28結論動點的速度沿其運動的軌跡方向，大小等于弧坐標對時間的一階導數。3、運動加速度：結論動點的速度沿其運動的軌跡方向，大小等于弧29切向加速度法向加速度——反映速度大小的加速度——反映速度方向變化的加速度切向加速度法向加速度——反映速度大小的加速度——反映速度方向30討論：法向加速度的計算計算法向加速度需首先清楚曲線曲率的概念，為此，下面對曲率進行分析。討論：法向加速度的計算計算法向加速度需首先清楚31剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件32全加速度全加速度33勻速曲線運動勻速曲線運動34勻變速曲線運動勻變速曲線運動35剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件36剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件37剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件38剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件39剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件40剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件41剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件42剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件43

例4.曲柄連桿機構是由曲柄、連桿及滑塊組成的機構(下圖）當曲柄OA繞0軸轉動時，由于連桿AB帶動，滑塊B沿直線作往復運動。曲柄連桿機構在工程上有廣泛的應用。在蒸汽機、內燃機中，用它將往復直線運動轉換為回轉運動；在往復式水泵、曲柄沖壓機中，應用它將回轉運動轉換為往復直線運動。設曲柄OA長為r，以勻角速繞0軸轉動，即=t，連桿AB長為L。試求滑塊B的運動方程、速度和加速度。

44剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件45剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件46剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件47剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件48剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件49剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件50剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件51剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件52剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件53本節完本節完54第二節剛體的基本運動第二節剛體的基本運動55剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件56剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件57剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件58剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件59剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件60剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件61剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件62剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件63剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件64剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件65剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件66剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件67剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件68剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件69剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件70剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件71剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件72剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件73本節完本節完74剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件75剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件76剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件77剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件78剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件79剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件80剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件81剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件82第四節：剛體的角速度與角加速度的矢量表示

點的速度與加速度的矢積表示——表示轉軸位置、角速度大小及方向的矢量。方向按右手法則確定一、剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢設OZ的正向單位矢為k，則：第四節：剛體的角速度與角加速度的矢量表示——表示轉軸位置、角83角加速度矢總結因角速度矢、角加速度矢可以從轉軸上的任意點畫起，故其為滑動矢量。剛體轉動時，與同向則加速，反向則減速。角加速度矢總結因角速度矢、角加速度矢可以從轉軸上的任84二、點的速度與加速度的矢積表示速度

上式之所以成立，原因有兩個：按照右手螺旋法則，等號兩邊矢量的方向一致。等號兩邊矢量的模相等。二、點的速度與加速度的矢積表示速度上式之所以成85加速度

上式之所以成立，原因同樣有兩個：按照右手螺旋法則，等號兩邊矢量的方向一致。等號兩邊矢量的模相等。（證明略）其中加速度上式之所以成立，原因同樣有兩個：按照右86三、泊松公式設一動坐標系O1x'y'z’繞定軸oz以角速度轉動，其上單位矢（i，j，k）求：由變矢量對時間導數的的幾何解釋可知其分別為單位矢i，j，k的端點P1、P2、P3沿其端（三個同軸圓）的速度。三、泊松公式設一動坐標系O1x'y'z’87——泊松公式——泊松公式88證明同理，另外兩式可以得到論證。證明同理，另外兩式可以得到論證。89第七章

點的一般運動、剛體的基本運動第七章

點的一般運動、剛體的基本運動90引言一、空間、時間與物質運動的關系1、物體的運動速度接近光速或超越光速時，空間、時間與物質的運動是相互關聯的。2、經典力學范圍內，認為空間、時間與物質的運動無關。引言一、空間、時間與物質運動的關系1、物體的運動速度接近光速91二、運動學的研究對象經典力學中的運動學在被認為在與運動無關的空間和時間中研究物體運動的幾何性質三、運動學的建立基礎由于經典力學中空間、時間與物體運動的無關性，因此整個運動學的理論體系可建立在歐幾里德幾何學公理的基礎上。二、運動學的研究對象經典力學中的運動學在被認為在與運92四、運動學中的兩種力學模形：點：不計尺寸大小的物體。剛體：形狀和大小都不變化的物體。五、運動學中與時間相關的兩個重要概念——瞬時和時間間隔瞬時：在整個時間流逝過程中的某一時刻。在抽象化后的時間軸上，瞬時是時間軸上的一個點。開始計算時間的瞬時稱為初瞬時時間間隔：兩個瞬時之間流逝的時間。四、運動學中的兩種力學模形：點：不計尺寸大小的物體。五、93六、運動學中與位置相關的重要概念——參考體參考體：描述物體的運動之前所選取的作為參照物的物體。參考系：將所選取的參考體經抽象化處理，以坐標系的形式出現。（坐標系，參考坐標系）六、運動學中與位置相關的參考體：描述物體的運動之前所選取的作941、點的運動的表示方法——三種：矢徑表示法，笛卡兒坐標表示法，弧坐標表示。2、剛體的基本運動——兩種：剛體的平行移動，剛體的定軸轉動。內容提要2、剛體的基本運動內容提要953、定軸輪系的傳動比——兩種：齒輪傳動，帶輪傳動。4、剛體角速度和角加速度的矢量表示——角速度矢、角加速度矢5、轉動剛體上點的速度和加速度的矢積表示6、泊松公式3、定軸輪系的傳動比4、剛體角速度和角加速度的矢量表示5、轉96第一節：點的運動的表示方法

一、矢徑表示法：P、P——動點v、v——動點的瞬時速度r、r——動點的瞬時矢徑r——t時間間隔內矢徑改變量S——動點運動軌跡，矢徑端圖

o——參考點一、矢徑表示法：P、P——動點97第一節：點的運動的表示方法

一、矢徑表示法：1、運動方程（運動規律）：由于矢徑r的大小與方向均隨時間t而變，是t的單值連續的矢量函數，故可表示如下：——運動方程一、矢徑表示法：1、運動方程（運動規律）：由982、運動速度：平均速度瞬時速度速度單位2、運動速度：平均速度瞬時速度速度單位99３、加速度：平均加速度瞬時加速度加速度單位３、加速度：平均加速度瞬時加速度加速度單位100討論：速度矢端圖點的加速度是矢量，如果將各瞬時動點的速度矢量的始端畫在同一點O′，按照時間順序，這些速度矢量的末端將描繪出一條連續的曲線，稱為速度矢端圖。如圖所示，速度為v時的加速度方向為M點的切線方向。指向速度矢變化的方向。速度矢端圖的作用：確定瞬時加速度方向。速度矢端圖討論：速度矢端圖點的加速度是矢量，如果將各瞬時101總結

動點的速度等于其矢徑對時間的一階導數，方向沿軌跡在該點的切線方向，指向與動點運動方向一致。變矢量A(t)

對時間t的導數dA(t)dt

為一新變矢。此新變矢為變矢量A(t)

端點的速度u。動點的加速度等于它的速度對時間的一階導數,等于位矢對時間的二階導數。其方向為v的極限方向總結動點的速度等于其矢徑對時間的一階導數，方向沿軌跡在102二、笛卡兒坐標表示法：1、運動方程（運動規律）：由于動點在空間的位置可用坐標唯一的確定，而坐標x、y、z又是t的單值連續的矢量函數，故可表示如下：——運動方程二、笛卡兒坐標表示法：1、運動方程（運動規律）：1032、運動速度：速度的笛卡兒坐標表達式2、運動速度：速度的笛卡兒坐標表達式104速度的笛卡兒坐標軸上的投影式合速度大小)65(-???t???yü======

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zyxvvvv速度的笛卡兒坐標軸上的投影式合速度大小)65(-???t??105合速度方向合速度的方向由其方向余弦確定合速度方向合速度的方向由其方向余弦確定1062、運動加速度：同理，將速度對時間求一次導數，即可求得加速度的笛卡兒坐標表達式及其在笛卡兒坐標軸上的投影式：加速度的笛卡兒坐標表達式2、運動加速度：同理，將速度對時間求一次導數107加速度在笛卡兒坐標軸上的投影式合加速度大小)105(222222-???t???yü======—

zdtzdaydtydaxdtxdazyx&&&&&&)115(222-++=

zyxaaaa加速度在笛卡兒坐標軸上的投影式合加速度大小)105(2222108合加速度方向合加速度的方向由其方向余弦確定合加速度方向合加速度的方向由其方向余弦確定109總結

笛卡兒坐標法是矢徑法的代數運算。動點的速度在笛卡兒坐標軸上的投影等于其對應坐標對時間的一階導數。動點的加速度在笛卡兒坐標軸上的投影等于其對應的速度對時間的一階導數，亦等于其對應坐標對時間的二階導數。總結笛卡兒坐標法是矢徑法的代數運算。110三、弧坐標表示法：三、弧坐標表示法：111O點——參考點、弧坐標原點。S——弧坐標、O點至動點M的弧長。是時間ｔ的單值函數。正負號——規定參考點的一側方向為正向，相應部位的弧長為正值；另一側方向為負向，相應部位的弧長為負值。概念O點——參考點、弧坐標原點。概念112自然軸系由于M點附近的微小弧段可以可以近似的看成為一條在密切面內的平面曲線，因此對平面曲線而言，密切面就是該曲線所在的平面。自然軸系由于M點附近的微小弧段可以可以近似的113剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件114自然軸系方向規定

的正向指向弧坐標正向，n

的正向指向曲線在M點的曲率中心，b

的正向則由右手規則決定，即

b=

×n自然軸系特征及與笛卡兒坐標系的區別

自然軸系、n、b的方向隨動點位置的變動而變動，單位矢量、n、b的方向不斷變化。笛卡兒坐標系為固定坐標系，單位矢量i、j、k為定矢。自然軸系方向規定的正向指向弧坐標正向，n115——運動方程由于動點在空間的位置可用坐標唯一的確定，而坐標s又是t的單值連續的矢量函數，故可表示如下：——運動方程由于動點在空間的位置可用坐標唯一1162、運動速度：公式推導2、運動速度：公式推導117結論動點的速度沿其運動的軌跡方向，大小等于弧坐標對時間的一階導數。3、運動加速度：結論動點的速度沿其運動的軌跡方向，大小等于弧118切向加速度法向加速度——反映速度大小的加速度——反映速度方向變化的加速度切向加速度法向加速度——反映速度大小的加速度——反映速度方向119討論：法向加速度的計算計算法向加速度需首先清楚曲線曲率的概念，為此，下面對曲率進行分析。討論：法向加速度的計算計算法向加速度需首先清楚120剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件121全加速度全加速度122勻速曲線運動勻速曲線運動123勻變速曲線運動勻變速曲線運動124剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件125剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件126剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件127剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件128剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件129剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件130剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件131剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件132

例4.曲柄連桿機構是由曲柄、連桿及滑塊組成的機構(下圖）當曲柄OA繞0軸轉動時，由于連桿AB帶動，滑塊B沿直線作往復運動。曲柄連桿機構在工程上有廣泛的應用。在蒸汽機、內燃機中，用它將往復直線運動轉換為回轉運動；在往復式水泵、曲柄沖壓機中，應用它將回轉運動轉換為往復直線運動。設曲柄OA長為r，以勻角速繞0軸轉動，即=t，連桿AB長為L。試求滑塊B的運動方程、速度和加速度。

133剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件134剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件135剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件136剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件137剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件138剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件139剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件140剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件141剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件142本節完本節完143第二節剛體的基本運動第二節剛體的基本運動144剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件145剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件146剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件147剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件148剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件149剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件150剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件151剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件152剛體的角速度與角加速度的矢量表示角速度矢課件153剛體的