第五章留數理論及其應用學習要點解析函數的孤立奇點的分類留數定理以及其在積分計算上的應用幅角原理、儒歇定理及其應用第五章留數理論及其應用學習要點解析函數的孤立奇點的分類留數第1節孤立奇點一.奇點的分類函數f(z)不解析的點為奇點.如果函數f(z)雖在z0不解析,但在z0的某一個去心鄰域0<|z-z0|<d內處處解析,則z0稱為f(z)的孤立奇點.第1節孤立奇點一.奇點的分類將函數f(z)在它的孤立奇點z0的去心鄰域0<|z-z0|<d內展開成洛朗級數.根據級數的不同情況對孤立奇點作分類.可去奇點

如果在洛朗級數中不含z-z0的負冪項,則孤立奇點z0稱為f(z)的可去奇點.這時,f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+....0<|z-z0|<d,則f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,|z-z0|<d

從而f(z)在z0就成為解析的了.所以z0稱為可去奇點.將函數f(z)在它的孤立奇點z0的去心鄰域0<|z-z0第五章-留數-復變函數課件2.極點

如果在洛朗級數中只有有限多個z-z0的負冪項,且其中關于(z-z0)-1的最高冪為(z-z0)-m,即

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),則孤立奇點z0稱為函數f(z)的m級極點.上式也可寫成

其中g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...,在|z-z0|<d內是解析的函數,且g(z0)0.2.極點如果在洛朗級數中只有有限多個z-z0的負冪項,定理2：z0是f(z)的m級極點的充要條件是定理3如果z0為f(z)的極點的充要條件是定理2：z0是f(z)的m級極點的充要條件是定理3如果例1對討論函數在處的性質。例1對討論函數3.本性奇點

如果在洛朗級數中含有無窮多z-z0的負冪項,則孤立奇點z0稱為f(z)的本性奇點.3.本性奇點如果在洛朗級數中含有無窮多z-z0的負冪項綜上所述：我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點的類型.練習：證明復函數情形下的羅比達法則。綜上所述：我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點的類型二.零點與極點的關系

定義2:z0稱為f(z)的m級零點.如f(z)在z0解析,且

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.例如：f(z)=z(z-1)3,z=0與z=1分別是是f(z)的一級與三級零點.定理3：

z0是為f(z)的m級零點的充要條件是f(z)=(z-z0)mj(z),其中j(z)在z0解析且

j(z0)0,

二.零點與極點的關系定義2:z0稱為f(z)的m級零點由于f(z)=(z-z0)mj(z)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的鄰域內不為零.這是因為j(z)在z0解析,必在z0連續,所以給定所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心鄰域內不為零,即不恒為零的解析函數的零點是孤立的.(零點孤立原則)由于f(z)=(z-z0)mj(z)中的j(z定理4

如果z0是f(z)的m級極點,則z0就是的m級零點.該定理為判斷函數的極點提供了一個較為簡單的方法.定理4如果z0是f(z)的m級極點,則z0就是例3

例3第2節留數定理一.留數的概念

定義1.設f(z)在區域0<|z-z0|<R內解析，稱積分為f(z)在孤立奇點z0處的留數,記作Res[f(z),z0],這里積分是反時針方向取的.當f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1

+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...0<|z-z0|<R兩端沿C逐項積分:第2節留數定理一.留數的概念定義1.2.留數的計算規則

規則1

如果z0為f(z)的一級極點,則規則2

如果z0為f(z)的m級極點,則2.留數的計算規則

規則1如果z0為f(z)假設

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,

(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,令兩端zz0,右端的極限是(m-1)!c-1,兩端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],即得規則2,當m=1時就是規則1.假設

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z第五章-留數-復變函數課件第五章-留數-復變函數課件定理一(留數定理)

設函數f(z)在區域D內除有限個孤立奇點z1,z2,...,zn外處處解析.C是D內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線,則Dz1z2z3znC1C2C3CnC定理一(留數定理)設函數f(z)在區域D內除有限個孤[證]把在C內的孤立奇點zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向簡單閉曲線Ck圍繞起來,則根據復合閉路定理有注.定理中的條件必須要認真驗證，例如不能應用留數定理。[證]把在C內的孤立奇點zk(k=1,2,...,n)用第五章-留數-復變函數課件例5解：所以原式=例4解：z=0為一級極點。例5解：所以原式=例4解：z=0為一級極點。

留數定理是復變函數的定理，若要在實變函數定積分中應用，必須將實變函數變為復變函數，將定積分變為回路積分中的一部分。§3利用留數定理計算實積分留數定理是復變函數的定理，若要在實變函數定積分1.形如的積分,其中R(cosq,sinq)為cosq與sinq的有理函數.令z=eiq,則1.形如其中f(z)是z的有理函數,且在單位圓周|z|=1上分母不為零,zk(k=1,2,...,n)為單位圓|z|=1內的f(z)的孤立奇點.例1計算的值.解：由于0<p<1,被積函數的分母在0q2p內不為零,因而積分是有意義的.由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此其中f(z)是z的有理函數,且在單位圓周|z|=1上分母第五章-留數-復變函數課件

f(z)的三個極點z=0,p,1/p中，有前兩個在圓周|z|=1內,其中z=0為二級極點,z=p為一級極點.f(z)的三個極點z=0,p,1/p中，有前兩個在圓例2計算積分解：令

.被積函數在

，于是所求積分例2計算積分解：.被積函數在z1z2z3yCR-RROx解釋：此等式不因CR的半徑R不斷增大而有所改變.z1z2z3yCR-RROx解釋：第五章-留數-復變函數課件例3計算積分

解：由于分母的次數比分子的次數高二次，且被積函數在實數軸上沒有0點，因此廣義積分存在。例3計算積分解：由于分母的次數比分子的次數高二次，且例4解：例4解：3.計算形如的積分

當R(x)是x的有理函數而分母的次數至少比分子的次數高一次,且R(x)在實數軸上沒有奇點時,積分是存在的.

象1中處理的一樣,由于m-n1,故對充分大的|z|有z1z2z3yCR-RROxyqOpy=sinq1可以證明,在半徑R充分大的CR上,有3.計算形如的積分當R也可寫為也可寫為例5計算.解：這里R(x)在實軸上連續，且分母次數比分子高一次,因而積分是存在的.R(z)在上半平面內有一級極點bi,例5計算例6計算積分.解：

因為是偶函數,所以在上半平面內解析，為了使積分路線不通過原點,取如上圖所示的路線.由柯西積分定理,有CrCRyxO-rrR-R例6計算積分.解：因令x=-t,則有因此,要算出所求積分的值,只需求出極限令x=-t,則有因此,要算出所求積分的值,只需求出極限下面將證明所以在z=0附近j(z)在z=0處解析,且j(0)=i,當|z|充分小時可使|j(z)|2,下面將證明所以在z=0附近j(z)在z=0處解析,且j而由于在r充分小時,而由于在r充分小時,例題

例題第五章-留數-復變函數課件第五章-留數-復變函數課件第五章-留數-復變函數課件第五章留數理論及其應用學習要點解析函數的孤立奇點的分類留數定理以及其在積分計算上的應用幅角原理、儒歇定理及其應用第五章留數理論及其應用學習要點解析函數的孤立奇點的分類留數第1節孤立奇點一.奇點的分類函數f(z)不解析的點為奇點.如果函數f(z)雖在z0不解析,但在z0的某一個去心鄰域0<|z-z0|<d內處處解析,則z0稱為f(z)的孤立奇點.第1節孤立奇點一.奇點的分類將函數f(z)在它的孤立奇點z0的去心鄰域0<|z-z0|<d內展開成洛朗級數.根據級數的不同情況對孤立奇點作分類.可去奇點

如果在洛朗級數中不含z-z0的負冪項,則孤立奇點z0稱為f(z)的可去奇點.這時,f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+....0<|z-z0|<d,則f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,|z-z0|<d

從而f(z)在z0就成為解析的了.所以z0稱為可去奇點.將函數f(z)在它的孤立奇點z0的去心鄰域0<|z-z0第五章-留數-復變函數課件2.極點

如果在洛朗級數中只有有限多個z-z0的負冪項,且其中關于(z-z0)-1的最高冪為(z-z0)-m,即

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),則孤立奇點z0稱為函數f(z)的m級極點.上式也可寫成

其中g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...,在|z-z0|<d內是解析的函數,且g(z0)0.2.極點如果在洛朗級數中只有有限多個z-z0的負冪項,定理2：z0是f(z)的m級極點的充要條件是定理3如果z0為f(z)的極點的充要條件是定理2：z0是f(z)的m級極點的充要條件是定理3如果例1對討論函數在處的性質。例1對討論函數3.本性奇點

如果在洛朗級數中含有無窮多z-z0的負冪項,則孤立奇點z0稱為f(z)的本性奇點.3.本性奇點如果在洛朗級數中含有無窮多z-z0的負冪項綜上所述：我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點的類型.練習：證明復函數情形下的羅比達法則。綜上所述：我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點的類型二.零點與極點的關系

定義2:z0稱為f(z)的m級零點.如f(z)在z0解析,且

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.例如：f(z)=z(z-1)3,z=0與z=1分別是是f(z)的一級與三級零點.定理3：

z0是為f(z)的m級零點的充要條件是f(z)=(z-z0)mj(z),其中j(z)在z0解析且

j(z0)0,

二.零點與極點的關系定義2:z0稱為f(z)的m級零點由于f(z)=(z-z0)mj(z)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的鄰域內不為零.這是因為j(z)在z0解析,必在z0連續,所以給定所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心鄰域內不為零,即不恒為零的解析函數的零點是孤立的.(零點孤立原則)由于f(z)=(z-z0)mj(z)中的j(z定理4

如果z0是f(z)的m級極點,則z0就是的m級零點.該定理為判斷函數的極點提供了一個較為簡單的方法.定理4如果z0是f(z)的m級極點,則z0就是例3

例3第2節留數定理一.留數的概念

定義1.設f(z)在區域0<|z-z0|<R內解析，稱積分為f(z)在孤立奇點z0處的留數,記作Res[f(z),z0],這里積分是反時針方向取的.當f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1

+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...0<|z-z0|<R兩端沿C逐項積分:第2節留數定理一.留數的概念定義1.2.留數的計算規則

規則1

如果z0為f(z)的一級極點,則規則2

如果z0為f(z)的m級極點,則2.留數的計算規則

規則1如果z0為f(z)假設

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,

(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,令兩端zz0,右端的極限是(m-1)!c-1,兩端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],即得規則2,當m=1時就是規則1.假設

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z第五章-留數-復變函數課件第五章-留數-復變函數課件定理一(留數定理)

設函數f(z)在區域D內除有限個孤立奇點z1,z2,...,zn外處處解析.C是D內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線,則Dz1z2z3znC1C2C3CnC定理一(留數定理)設函數f(z)在區域D內除有限個孤[證]把在C內的孤立奇點zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向簡單閉曲線Ck圍繞起來,則根據復合閉路定理有注.定理中的條件必須要認真驗證，例如不能應用留數定理。[證]把在C內的孤立奇點zk(k=1,2,...,n)用第五章-留數-復變函數課件例5解：所以原式=例4解：z=0為一級極點。例5解：所以原式=例4解：z=0為一級極點。

留數定理是復變函數的定理，若要在實變函數定積分中應用，必須將實變函數變為復變函數，將定積分變為回路積分中的一部分。§3利用留數定理計算實積分留數定理是復變函數的定理，若要在實變函數定積分1.形如的積分,其中R(cosq,sinq)為cosq與sinq的有理函數.令z=eiq,則1.形如其中f(z)是z的有理函數,且在單位圓周|z|=1上分母不為零,zk(k=1,2,...,n)為單位圓|z|=1內的f(z)的孤立奇點.例1計算的值.解：由于0<p<1,被積函數的分母在0q2p內不為零,因而積分是有意義的.由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此其中f(z)是z的有理函數,且在單位圓周|z|=1上分母第五章-留數-復變函數課件

f(z)的三個極點z=0,p,1/p中，有前兩個在圓周|z|=1內,其中z=0為二級極點,z=p為一級極點.f(z)的三個極點z=0,p,1/p中，有前兩個在圓例2計算積分解：令

.被積函數在