第17頁/共17頁2022-2023學年高二上數學期中考試卷考試時間：120分鐘注意事項：1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2.請將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題8小題，每小題5分，共40分）1.設直線：，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將直線方程化為斜截式，即可得到直線的斜率；【詳解】解：直線：，即，所以直線的斜率為；故選：A2.已知向量，，且，那么x等于（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】【分析】依題意可得，根據向量數量積的坐標表示計算可得；【詳解】解：因為向量，，且，所以，即，解得，故選：D3.已知是不共面三個向量，則能構成空間的一個基底的一組向量是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】C【解析】【分析】根據向量共面基本定理，判斷三個向量是否共面，不共面即可構成空間向量一組基底，得解.【詳解】對于選項A，由知，，共面，不能構成空間向量的一個基底，故A錯誤；對于選項B，，即，，共面，不能構成空間向量的一個基底，故B錯誤；對于選項C，設，又是不共面的三個向量，則無解，即，，不共面，能構成空間向量的一個基底，故C正確；對于選項D，由，則，，共面，不能構成空間向量的一個基底，故D錯誤.故選：C4.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）A. B. C.或 D.與斜交【答案】C【解析】【分析】利用直線的方向向量和平面的法向量垂直來判斷直線和平面的位置關系.【詳解】∵，，∴即，∴∥或.故選：C.5.如果，，那么直線不經過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】變換得到，根據題目條件得到，，得到答案.【詳解】，，，即，故，，直線不經過第二象限.故選：B.6.三條直線，，相交于一點，則的值是A.－2 B.－1 C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】聯立兩條已知直線求得交點坐標，待定系數即可求得參數值.【詳解】聯立與可得交點坐標為，又其滿足直線，故可得，解得.故選：7.若直線：，：垂直，則（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】根據一般式方程下兩條直線垂直的充要條件計算即可.【詳解】由已知，∵，∴，即，解得或.故選：C.8.設直線：，則的傾斜角的范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據直線表示出斜率，求出其范圍，再根據正切函數圖像求出傾斜角的范圍.【詳解】直線的斜率，設其傾斜角為，則，由正切函數圖像可知.故選：B.二、多選題（本題4小題，每小題5分，共20分）9.已知空間中三點，，，則（）A.與是共線向量B.直線的一個方向向量是C.與夾角的余弦值是D.平面的一個法向量是【答案】BCD【解析】【分析】根據給定的空間點的坐標，結合空間向量運算逐項分析、計算作答.【詳解】空間中三點，，，對于A，，顯然，即與不是共線向量，A不正確；對于B，因，則直線的一個方向向量是，B正確；對于C，，則，C正確；對于D，由選項A知，向量不共線，令，則，即，因此是平面的一個法向量，D正確.故選：BCD10.(多選)若點A(a，1)到直線3x－4y＝1距離為1，則a的值為（）A.0 B.C5 D.－【答案】AB【解析】【分析】利用點到直線距離公式求解即可.【詳解】點A(a，1)到直線3x－4y＝1的距離為故，解得或故選：AB11.下列說法正確的是（）A.直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2B.若直線過，且的橫截距是縱截距的2倍，則直線的方程為C.直線關于軸對稱直線方程為D.經過點，且與，兩點距離相等的直線的方程為【答案】AC【解析】【分析】根據直線的截距、直線對稱、點線距離等知識確定正確答案.【詳解】A選項，直線的橫截距為，縱截距為，所以直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是，A選項正確.B選項，直線過點，且的橫截距是縱截距的2倍，所以B選項錯誤.C選項，直線關于軸對稱直線方程為（橫坐標相同，縱坐標相反），C選項正確.D選項，直線經過點，且與，兩點距離相等（都為），所以D選項錯誤.故選：AC12.如圖，在菱形中，，，將沿對角線翻折到位置，則在翻折的過程中，下列說法正確的（）A.存在某個位置，使得B.存在某個位置，使得C.存在某個位置，使得，，，四點落在半徑為的球面上D.存在某個位置，使得點到平面的距離為【答案】ABC【解析】【分析】A，如圖，取得中點，連接，假設存在，求出，即可判斷選項的正誤；B，假設存在，取的中點，連接，根據，，得平面，，從而可判斷的形狀，即可判斷選項的正誤；C，求出底面三角形的外接圓的半徑，然后判斷外接球的半徑與外接球的半徑的關系，即可判斷C的正誤；D，若到平面的距離為，則有平面，即，與是等邊三角形矛盾．【詳解】解：對于A，假設存在，如圖，取得中點，連接，根據題意得：，故即為二面角得平面角，，，在中，，當時，，即，所以當二面角為時，，所以A正確；對于B，假設存在，如圖，取的中點，連接，在菱形中，，，則為等邊三角形，所以，又因，且，所以平面，因為平面，所以，在中，因為為的中點，所以，所以，又，故當點在使得為等邊三角形的位置時，，即選項B正確；對于C，假設存在，由對稱性可知四面體的外接球的球心，在過底面三角形的中心且垂直底面三角形的直線上，底面三角形的外接圓半徑為：，如圖，結合A、B，設交于點，過點作平面，為三棱錐外接球的球心，則，因為，所以存在某個位置，使得，，，四點落在半徑為的球面上，故C正確；對于D，點到的距離為，點到的距離為，若到平面的距離為，則平面平面．平面平面，則有平面，即，與是等邊三角形矛盾．故D錯誤.故選：ABC．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題4小題，每小題5分，共20分）13.以向量，為鄰邊的平行四邊形對角線______（填坐標）.【答案】【解析】【分析】由向量加法法則坐標表示計算．【詳解】由題意．故答案為：．14.若，，三點共線，則______.【答案】【解析】【分析】根據共線列方程，化簡求得.【詳解】，由于三點共線，所以共線，所以.故答案為：15.直線過點，且原點到直線距離為2，則直線的方程為______.【答案】或【解析】【分析】當斜率不存在時，即，符合題意；當斜率存在時，設出直線，由點線距離公式列式解出k即可.【詳解】當斜率不存在時，即，符合題意；當斜率存在時，設為，即，則有，解得，故直線為.故答案為：或16.在空間直角坐標系中,已知,，點分別在軸,軸上.且,那么的最小值是______.【答案】##【解析】【分析】利用題意假設，得到，利用可得，然后利用向量的模可得到，利用二次函數的性質即可求得答案【詳解】解：因為點分別在軸,軸上，所以設,,由于,所以即，因為,所以當時，，故答案為：四、解答題17.求滿足下列條件的直線的方程.（1）經過點，且平行于過和兩點的直線；（2）經過點，且與直線垂直.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直線的斜率，然后利用點斜式方程可得答案；（2）與直線垂直的直線可設為，然后將點代入求出的值即可.【小問1詳解】因為、，所以，所以所求直線方程為，即；【小問2詳解】與直線垂直的直線可設為，因為經過點，所以，，所以所求方程為.18.如圖，正四面體（所有棱長均相等）的棱長為1，E，F，G，H分別是正四面體中各棱的中點，設，，.（1）用，，表示，并求的長；（2）求與的夾角.【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）根據給定條件，利用空間向量基底表示，再利用向量數量積的運算律求出的長作答.（2）用空間向量基底表示，再求出與的數量積即可作答.【小問1詳解】因分別為棱的中點，而，，，所以，因正四面體的棱長為1，則，所以.【小問2詳解】依題意，，因正四面體的棱長為1，有，因此，所以，即與的夾角為.19.在棱長為2的正方體中，點E是BC的中點，F是CD的中點，G為的中點.（1）求點到直線的距離；（2）求直線到平面的距離.【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）在等腰中由面積法求得到的距離；（2）可先證明平面，然后在三棱錐中由體積法求得到平面的距離即得結論．【小問1詳解】連接，平面，平面，則，正方體棱長為2，是中點，所以，在中，邊上的高為，設到直線的距離為，則，所以；【小問2詳解】如圖，取中點，連接，因為是中點，所以，正方體中易得，所以，即共面，連接，，因為是中點，所以與平行且相等，又與平行且相等，所以與平行且相等，從而是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離即為點到平面的距離，連接，同理可得，又，，在中，，所以，，又，到平面的距離為2，設點到平面的距離為，由得，．所以直線到平面的距離是．20.已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為.求：（1）頂點的坐標：（2）直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)設出頂點的坐標,利用中點坐標公式求出點的坐標，然后利用點在直線上，點在直線上，列出方程組，解方程組即可求解；(2)根據題意可知：直線與直線垂直，利用兩直線垂直的條件即可設出直線的方程，再將點的坐標代入方程即可求解.【小問1詳解】設頂點，由題意可知：，因為邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，所以，解得：，所以頂點的坐標為.【小問2詳解】由題意可知：直線與直線垂直，因為邊上的高所在直線方程為，所以設直線的方程為，又因為直線過點，所以，故直線的方程為.21.已知兩條直線，．（1）若，不重合，且垂直于同一條直線，將垂足分別記，，求；（2）若，直線與垂直，且______，求直線的方程．從以下三個條件中選擇一個補充在上面問題中，使滿足條件的直線有且僅有一條，并作答．條件①：直線過坐標原點；條件②：坐標原點到直線的距離為1；條件③：直線與交點的橫坐標為2．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由，不重合，且垂直于同一條直線，得到，列出方程組，求得，再利用兩平行線間的距離公式，即可求解.（2）當時，得到直線和的方程，根據題意設直線的方程為，分別選擇①②③，根題設條件，求得的值，即可求解.【小問1詳解】解：若，不重合，且垂直于同一條直線，所以，則，解得，即直線，，即為，，可得兩平行線間的距離為，即.【小問2詳解】解：當時，直線，因為直線與垂直，可設直線的方程為，若滿足條件①：由直線過坐標原點，可得，此時直線的方程為.若滿足條件②：由坐標原點到直線的距離為1，可得，解得，此時直線的方程為.若滿足條件③：由，聯立方程組，解得，因為直線與交點的橫坐標為2，即，解得，此時直線的方程為.22.在四棱錐中，底面ABCD是矩形，為BC的中點，.（1）證明：平面ABCD；（2）若PC與平面PAD所成的角為30°，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明來證得平面ABCD；（2）根據與平面所成角求得，建