4.1微分方程建模實例(一)4.1.1.一個簡單的例

4.1.2.萬有引力定律的發現4.1微分方程建模實例(一)4.1.1.1在許多實際問題中，當直接導出變量之間的函數關系較為困難，但導出包含未知函數的導數或微分的關系式較為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題.在連續變量問題的研究中，或可化為連續變量問題的研究中，微分方程是十分常用的數學工具之一.在許多實際問題中，當直接導出變量之間的函數關系較為困難，但導24.1.1一個簡單的例問題：某人的食量是10467(焦/天)，其中5038(焦/天)用于基本的新陳代謝(即自動消耗).在健身訓練中，他所消耗的熱量大約是69(焦/公斤?天)乘以他的體重(公斤).假設以脂肪形式貯藏的熱量100%地有效，而1公斤脂肪含熱量41868(焦).試研究此人的體重隨時間變化的規律.4.1.1一個簡單的例問題：某人的食量是10467(3模型準備

在問題中并未出現“導數”這樣的關鍵詞，但要尋找的是體重(記為W)關于時間t的函數.如果我們把體重W看作是時間t的連續可微函數，我們就能找到一個含有的的微分方程.模型準備在問題中并未出現“導數”這樣的關鍵詞，但要尋找的4微分方程建模實例一研究報告課件5模型構成

由于考慮的是體重隨時間的變化情況，因此，體重的變化/天=輸入/天-輸出/天.某人的食量是10467(焦/天)，其中5038(焦/天)用于基本的新陳代謝.輸入/天=10467-5038=5429(焦/天).在健身訓練中，他所消耗的熱量大約是69(焦/公斤?天)乘以他的體重(公斤).輸出/天=69×W(t)=69W(t)(焦/天).模型構成由于考慮的是體重隨時間的變化情況，因此，6輸入/天=10467-5038=5429(焦/天).輸出/天=69×W(t)=69W(t)(焦/天).假設以脂肪形式貯藏的熱量100%地有效，而1公斤脂肪含熱量41868(焦).解微分方程，有輸入/天=10467-5038=5429(74.1.2萬有引力定律的發現宇宙萬物之間都存在相互的引力，其作用方向在兩者的連線上，其大小與兩者質量的乘積成正比而和兩者距離的平方成反比,比例系數是絕對常數.艾薩克-牛頓(IsaacNewton)1643-17274.1.2萬有引力定律的發現艾薩克-牛頓(Isaa8十五世紀中期，波蘭天文學家哥白尼提出了震驚世界的日心說.丹麥著名的實驗天文學家第谷花了二十多年時間觀察紀錄下了當時已發現的五大行星的運動情況.第谷的學生和助手開普勒對這些資料進行了九年時間的分析計算后得出著名的開普勒三大定律.牛頓根據開普勒三大定律和牛頓第二定律，利用微積分方法推導出牛頓第三定律即萬有引力定律.十五世紀中期，波蘭天文學家哥白尼提出了震驚世界的日心說.9模型準備

1.行星軌道是一個橢圓，太陽位于此橢圓的一個焦點上.2.行星在單位時間內掃過的面積不變.3.行星運行周期的平方正比于橢圓長半軸的三次方，比例系數不隨行星而改變

(絕對常數).開普勒三大定律

模型準備1.行星軌道是一個橢圓，開普勒三大定律10模型構成開普勒第一定律：行星圍繞太陽運動的軌跡是一個橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上.以太陽為極點，橢圓的長軸為極軸建立極坐標，則行星的軌道方程為行星r太陽其中，a,b為橢圓的長、短半軸，模型構成開普勒第一定律：行星圍繞太陽運動的軌跡是一個橢圓，太11牛頓第二定律：行星運動時受到的力等于行星加速度和行星質量的乘積，即

用向徑表示行星的位置，則稱為徑向速度.稱為徑向加速度.于是，牛頓第二定律：行星運動時受到的力等于行星加速度和行星質量的乘12為計算行星的加速度，建立兩種不同的坐標架:第一個是以太陽為坐標原點，沿長軸方向的單位向量記為,沿短軸方向的單位向量記為

.第二個是以行星為坐標原點建立活動架標，其兩個正交的單位向量分別是于是，行星r太陽urul為計算行星的加速度，建立兩種不同的坐標架:于是，行星r太13于是，因此，為計算角速度和角加速度，需要用到開普勒第二定律.于是，因此，為計算角速度和角加速度，需要用到開普勒第二定律.14開普勒第二定律：行星在單位時間內掃過的面積不變，即單位時間向徑掃過的面積是常數A，

于是，=0開普勒第二定律：行星在單位時間內掃過的面積不變，即單位時間向15由由16下面需要證明A2/p是絕對常數，即它與哪一顆行星無關.這要用到開普勒第三定律:開普勒第三定律：行星運行周期的平方正比于橢圓長半軸的三次方，比例系數不隨行星而改變，即

下面需要證明A2/p是絕對常數，即它與哪一顆行星無關.17下面需要證明A2/p是絕對常數，即它與哪一顆行星無關.因為A是單位時間內向徑掃過的面積，行星運行一個周期T向徑掃過的面積恰是以a、b為長、短半軸的橢圓面積，所以

TA=πab.開普勒第三定律：(λ是絕對常數)由下面需要證明A2/p是絕對常數，即它與哪一顆行星無關.18與熟悉的萬有引力定律比較，只需再驗證其中，k

為萬有引力常數，M為太陽質量.與熟悉的萬有引力定律比較，只需再驗證其中，k為萬有引力常數194.1微分方程建模實例(一)4.1.1.一個簡單的例

4.1.2.萬有引力定律的發現4.1微分方程建模實例(一)4.1.1.20在許多實際問題中，當直接導出變量之間的函數關系較為困難，但導出包含未知函數的導數或微分的關系式較為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題.在連續變量問題的研究中，或可化為連續變量問題的研究中，微分方程是十分常用的數學工具之一.在許多實際問題中，當直接導出變量之間的函數關系較為困難，但導214.1.1一個簡單的例問題：某人的食量是10467(焦/天)，其中5038(焦/天)用于基本的新陳代謝(即自動消耗).在健身訓練中，他所消耗的熱量大約是69(焦/公斤?天)乘以他的體重(公斤).假設以脂肪形式貯藏的熱量100%地有效，而1公斤脂肪含熱量41868(焦).試研究此人的體重隨時間變化的規律.4.1.1一個簡單的例問題：某人的食量是10467(22模型準備

在問題中并未出現“導數”這樣的關鍵詞，但要尋找的是體重(記為W)關于時間t的函數.如果我們把體重W看作是時間t的連續可微函數，我們就能找到一個含有的的微分方程.模型準備在問題中并未出現“導數”這樣的關鍵詞，但要尋找的23微分方程建模實例一研究報告課件24模型構成

由于考慮的是體重隨時間的變化情況，因此，體重的變化/天=輸入/天-輸出/天.某人的食量是10467(焦/天)，其中5038(焦/天)用于基本的新陳代謝.輸入/天=10467-5038=5429(焦/天).在健身訓練中，他所消耗的熱量大約是69(焦/公斤?天)乘以他的體重(公斤).輸出/天=69×W(t)=69W(t)(焦/天).模型構成由于考慮的是體重隨時間的變化情況，因此，25輸入/天=10467-5038=5429(焦/天).輸出/天=69×W(t)=69W(t)(焦/天).假設以脂肪形式貯藏的熱量100%地有效，而1公斤脂肪含熱量41868(焦).解微分方程，有輸入/天=10467-5038=5429(264.1.2萬有引力定律的發現宇宙萬物之間都存在相互的引力，其作用方向在兩者的連線上，其大小與兩者質量的乘積成正比而和兩者距離的平方成反比,比例系數是絕對常數.艾薩克-牛頓(IsaacNewton)1643-17274.1.2萬有引力定律的發現艾薩克-牛頓(Isaa27十五世紀中期，波蘭天文學家哥白尼提出了震驚世界的日心說.丹麥著名的實驗天文學家第谷花了二十多年時間觀察紀錄下了當時已發現的五大行星的運動情況.第谷的學生和助手開普勒對這些資料進行了九年時間的分析計算后得出著名的開普勒三大定律.牛頓根據開普勒三大定律和牛頓第二定律，利用微積分方法推導出牛頓第三定律即萬有引力定律.十五世紀中期，波蘭天文學家哥白尼提出了震驚世界的日心說.28模型準備

1.行星軌道是一個橢圓，太陽位于此橢圓的一個焦點上.2.行星在單位時間內掃過的面積不變.3.行星運行周期的平方正比于橢圓長半軸的三次方，比例系數不隨行星而改變

(絕對常數).開普勒三大定律

模型準備1.行星軌道是一個橢圓，開普勒三大定律29模型構成開普勒第一定律：行星圍繞太陽運動的軌跡是一個橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上.以太陽為極點，橢圓的長軸為極軸建立極坐標，則行星的軌道方程為行星r太陽其中，a,b為橢圓的長、短半軸，模型構成開普勒第一定律：行星圍繞太陽運動的軌跡是一個橢圓，太30牛頓第二定律：行星運動時受到的力等于行星加速度和行星質量的乘積，即

用向徑表示行星的位置，則稱為徑向速度.稱為徑向加速度.于是，牛頓第二定律：行星運動時受到的力等于行星加速度和行星質量的乘31為計算行星的加速度，建立兩種不同的坐標架:第一個是以太陽為坐標原點，沿長軸方向的單位向量記為,沿短軸方向的單位向量記為

.第二個是以行星為坐標原點建立活動架標，其兩個正交的單位向量分別是于是，行星r太陽urul為計算行星的加速度，建立兩種不同的坐標架:于是，行星r太32于是，因此，為計算角速度和角加速度，需要用到開普勒第二定律.于是，因此，為計算角速度和角加速度，需要用到開普勒第二定律.33開普勒第二定律：行星在單位時間內掃過的面積不變，即單位時間向徑掃過的面積是常數A，

于是，=0開普勒第二定律：行星在單位時間內掃過的面積不變，即單位時間向34由由35下面需要證明A2/p是絕對常數，即它與哪一顆行星無關.這要用到開普勒第三定律:開普勒第三定律：行星運行周期的平方正比于橢圓長半軸的三次方，比例系數不隨行星而改變，即

下面需要證明A2/p是絕對常數，即它與哪一顆行星無關.36下面需要證明A2/p是絕對常