第24講數列的文化類問題一、單選題（2021.內蒙古包頭?一模（文））在悠久燦爛的中國古代文化中，數學文化是其中的一朵絢麗的奇葩.《張丘建算經》是我國古代有標志性的內容豐富的眾多數學名著之一，大約創作于公元五世紀.書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？其大意為：“今有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多織相同數量的布，第一天織5尺，一個月共織了九匹三丈，問從第二天起，每天比前一天多織多少尺布？已知I匹=4丈，1丈=10尺，若這個月有30天，記該女子這一個月中的第〃天所織布的尺數為4,么=2%,對于數列｛an｝，他,｝,則=log?%（）193 八209 -209 -289A. B. C. D. 209 193 289 209【答案】C【分析】根據等差數列前〃項和公式可求得每天織布數所成等差數列的公差，由等差數列通項公式得到仁和log,%=log22U'?=al0，作比即可得到結果.【詳解】由題意知：一個月共織了390尺布，且每天的織布數成等差數列，設公差為”，.?.30x5+^^4=390,解得：d=—,TOC\o"1-5"\h\z2 29u16, 209 , , , uc16 289a.=5H x4= ,log,b,n=log7210=a,n=5+9x—= ,29 29 ~10 6 10 29 29.% —209一噫品=甌故選：C.（2021?全國?高三專題練習）十二平均律是我國明代音樂理論家和數學家朱載靖發明的.明萬歷十二年（公元1584年），他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論.十二平均律的數學意義是：在1和2之間插入11個正數，使包含1和2的這13個數依次成遞增的等比數列.依此規則，插入的第四個數應為（ ）A.2b B.2行 C.y D.24【答案】C【分析】先求出等比數列的公比，再由等比數列的通項公式即可求解.用我小這個數列，依題?M=l，〃=2,則組=/=2,4故選：C.（2021?河北?高三月考）高斯，德國著名數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家，近代數學奠基者之一.高斯被認為是歷史上最重要的數學家之一，并享有“數學王子”之稱,高斯在幼年時首先使用了倒序相加法，人們因此受到啟發，創造了等差數列前〃項和公式,已知等差數列｛端的前〃項和為S“，54=3,Si=12,5?=17,則〃的值為（）A.8 B.11 C.13 D.17【答案】D【分析】由題意可得q+%+q+q=3,aa+a“T+a“-2+a"-3=5,兩式相加可得4+4=2,然后代入5“=17中可得答案.【詳解】根據題意，S4=3,S-=12,S,,=17nS“-Si=5,即q+q+q+aLB,a”+ +an_2+an_3=5兩式相加得到4（q+a“）=8n4+a“=2-n（a.+a?）所以S=」_!_12=i7=〃=17,2故選：D.TOC\o"1-5"\h\z（2021?福建?寧德市第九中學高二月考）“楊輝三角''是中國古代重要的數學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，記耳為圖中虛線上的數1,3,6,10,…構成的數列｛%｝的第〃項，則%的值為（ ）1

11

1 2,113X11 46,4 11 5 14）105 1A.208 B.105 C.120 D.210【答案】C【分析】通過觀察法可得+ 再利用累加法求出通項公式即可計算4的值.依題意，?2~?1=2-a3-a2=3?%-%=4 于是有。“+]-。“=" +1(〃€?4*),則當心時，—％—…—）=1+2+3+,i=券，而4=1滿足上式，因此，為=普1,“― 15x16所以。is=---=120.故選：C（2021?寧夏?六盤山高級中學高二月考（理））《算法統宗》是我國中國古代數學名著，由明代數學家程大位編著，它對中國民間普及珠算和數學知識起到了很大的作用.在這部著作中，許多數學問題都是以歌訣形式呈現的，如''九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數要詳推.在這個問題中，記這位公公的第〃個兒子的年齡為。“，則4=（ ）A.14 B.18 C.29 D.32【答案】C【分析】由題意，數列｛%｝是以-3為公差的等差數列，然后結合等差數列的求和公式，求得6的值，進而求得的的值，得到答案.【詳解】由題意，數列｛q｝是以-3為公差的等差數列，oxs因為$9=%+^x（-3）=207,解得4=35,所以%=4+（3-1）*（-3）=29.故選：C.（2021?全國?高三專題練習）我國古代數學名著《算法統宗》是明代數學家程大位（1533-1606年）所著.程少年時，讀書極為廣博，對書法和數學頗感興趣.20歲起便在長江中下游一帶經商，因商業計算的需要，他隨時留心數學，遍訪名師，搜集很多數學書籍，刻苦鉆研，時有心得，終于在他60歲時，完成了《算法統宗》這本著作.該書中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？"根據詩詞的意思，可得塔的最底層共有燈（）A.192盞 B.128盞 C.3盞 D.1盞【答案】A【分析】設這個塔頂層有x盞燈，則問題等價于一個首項為x,公比為2的等比數列的前7項和為381,再結合等比數列前〃項和公式計算即可.【詳解】設這個塔頂層有x盞燈，則問題等價于一個首項為X，公比為2的等比數列的前7項和為381,所以生二1=381，解得x=3,2-1所以這個塔的最底層有3x27t=192盞燈.故選：A.（2021?河南洛陽?高二月考（文））十九世紀下半葉集合論的創立，莫定了現代數學的基礎.著名的“康托三分集”是數學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區間均分為三段，去掉中間的區間段（；，：），記為第一次操作；再將剩下的兩個區'11「2一間0，§, 分別均分為三段，并各自去掉中間的區間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區間段操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區間集合即是“康托三分集若使去掉的各區間長度之和不小于8,則需要操作的次數”的最小值為（ ）參考數據：（1g2=0.30,1g3=0.48）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【分析】由題意，先求出前幾次操作去掉的區間長度，然后總結出第〃次操作去掉的區間的長度為小，把〃次操作去掉的區間的長度之和轉化為求等比數列的前〃項和3,再求解不等式Qs.W即可.【詳解】解：記4為第〃次去掉的長度，q=g，剩卜兩條氏度為;的線段，第二次去掉的線段長為%=2x（g）《……第次操作后有2"一條線段，每條線段長度為擊，因此第"次去掉的線段長度為quZRxJhxJuZ二，3不等式兩邊同取常用對數有：n（lg2-lg3）<-21g3,則533,Ig3-lg2所以”的最小值為6.故選：C.（2021?全國?高二課時練習）“手指推大廈”是科技館中常見的一個游戲，只需用很小的力就能推倒巨大的骨牌，體現了“多米諾骨牌效應''的科學原理.已知“手指推大廈”所用骨牌滿足的數學表達式是匕=i?/T（a>l）,其中匕為第八塊骨牌的體積（或質量），X為第1塊骨牌的體積（或質量），。為后一塊骨牌與其前一塊骨牌的體積（或質量）的比值.現在有A,B兩副質地不同的骨牌，它們第一塊骨牌的體積不相同，但。值相同，記4,B,分別是A,B兩副骨牌第i塊的體積，已知Ai=4向，A,e=2/2，6,—=64（，〃>〃>1）,則。的值是（ ）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】D【分析】由題意可得Aa"-2=BN①，Aa"2=2Bm""②，-牛?”-21=64③，解方程組，結合題設即可求解【詳解】由題可知，4和用組成的數列都是以。為公比的等比數列.由題意可列出如下的方程：A"=郎"?①，Aa"2=2Bd"②，4a2m-2，t=64③,A由②可得年=2廠3⑤,4 2/W-2/1-Ia由:7彳吟=嚴一小⑥，4a由④⑤⑥得°2吁2”1+6=*-2"+1,a2M2T+6=2/,所以a2m-2n+,=2/,即/吁2"T=2.因為用，"和。都是整數，所以符合條件的解只有a=2,2也-2”-1=1這一組.綜上所述，a=2,故選：D.（2021?江蘇?高二專題練習）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有女子善織，日益功，疾，初日織五尺，今一月織七匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），問日益幾何？”其意思為：“有一女子擅長織布，每天比前一天更加用功，織布的速度也越來越快，從第二天起，每天比前一天多織相同量的布，第一天織5尺，一月織了七匹三丈，問每天增加多少尺布？“若這一個月有31天，記該女子一個月中的第〃天所織布的尺【答案】A【分析】由題意可得：每天織布的量組成了等差數列他“},設公差為4（尺），運用等差數列的通項公式和的求和公式即可得出.【詳解】解：由題意可得：每天織布的量組成了等差數列{。,J,4=5（尺），S3I=7x40+30=310（尺），設公差為d（尺），%+4+~+&+/15a,+-xl5xl4x2J164+I5J_16al6_1615%+14d15/15.故選：A.二、多選題（2021?江蘇?高二專題練習）在悠久燦爛的中國古代文化中，數學文化是其中的一朵絢麗的奇葩.《張丘建算經》是我國古代有標志性的內容豐富的眾多數學名著之一，大約創作于公元五世紀.書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？其大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多織相同數量的布，第一天織5尺，一個月共織了九匹三丈，問從第二天起,每天比前一天多織多少尺布？”.已知1匹=4丈，1丈=10尺，若這一個月有30天，記該女子這一個月中的第"天所織布的尺數為4，b產,對于數列｛4｝、｛bn｝,下列選項中正確的為（ ）A.瓦=地 B?也｝是等比數列C.她。=105D.357=—C<->IC*?I"a1J【答案】BD【分析】由題意可知，數列｛。“｝為等差數列，通過分析條件得到qJ黑⑵,*.=2冊“口=2，可得到數列｛〃｝是等比數列故B正確；根據數列｛〃｝｛%｝的通項公式可推導出AC是錯誤的；根據等差數列性質以及數列通項公式得到D是正確的.【詳解】由題意可知，數列｛（｝為等差數列，設數列｛4｝的公差為d,4=5,由題意可得30《+亞產=390,解得d=2，/ 」16/1+129q=4+（〃T）d=———，Q4=2%,.?.尹=。-=2-口=2"（非零常數）,b.. 2"則數列｛2｝是等比數列，B選項正確;?9=喈嗡卬/的―,???乳）#84，A選項錯誤;/（）=4+29d=5+16=21,。自0=5x2">105,C選項錯誤;“q+”=5+3x幺蟠2929火=4+4公5+4，3=剪2929

a,+a,+a,3a,a、209所以- =「=4=7^7，D選項正確；a2+a4+ab3a4a4193故選：BD.（2021?江蘇?高二單元測試）我國天文學和數學著作《周髀算經》中記載：一年有二十四個節氣，每個節氣的苗長損益相同（皆是按照日影測定時刻的儀器，皆長即為所測量影子的長度）.二十四節氣及色長變化如圖所示，相鄰兩個節氣皆長減少或增加的量相同，周而復始.已知每年冬至的苗長為一丈三尺五寸，夏至的唇長為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則下列說法正確的是（ ）展長逐漸變小33060小滿芒種90夏至小暑立秋、寒春分

雨水驚蟄o展長逐漸變小33060小滿芒種90夏至小暑立秋、寒春分

雨水驚蟄o清明谷雨30冬至270大雪小雪240立冬210霜降寒露180秋分唇長逐漸變大白露處暑120大暑A.相鄰兩個節氣懇長減少或增加的量為一尺B.春分和秋分兩個節氣的唇長相同C.小雪的唇長為一丈五寸D.立春的苗長比立秋的愚長短【答案】AB【分析】根據題意得到由夏至到冬至的號長構成等差數列，由冬至到夏至的展長也構成等差數列，進而所處首項和公差，利用等差數列的基本量運算進而判斷每個答案.【詳解】現以寸為單位，由題意可知，由夏至到冬至的唇長構成等差數列{4“},其中q=15,a”=135,公差d二二：/二山同理可得，由冬至到夏至的唇長構成等差數列{4},

其中4=135,d=15,公差4'=二百上=一10,故相鄰兩個節氣愚長減少或增加的量為十寸，即一尺，故選項A正確;因為春分的替氏為%,所以3=。+6"'=135-60=75,因為秋分的唇長為內，所以為=q+61=15+60=75,故春分和秋分兩個節氣的屏長相同，故選項B正確；因為小雪的卷長為a”，所以即=4+10d=15+100=115,即一丈一尺五寸，故小雪的暮長為一丈一尺五寸，故選項C錯誤；因為立春的展長和立秋的號長分別為d，出,%=%+34=15+30=45,b、=b\+3^=135-30=105,所以4>%,故立春的辱長比立秋的唇長長，故選項D錯誤.故選：AB.記該女子這個月中第〃天所織布的尺數為數列他,｝是等比數列〃3+ _209陰+4+。6 193進而求得.由此對選項逐一分析從而確（2021?全國?高二課時練習）《張丘建算經》是中國古代眾多數學名著之一.書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈，問日益幾何？”其大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多織相同數量的布,第一天織5尺,一個月共織了9匹3丈，問從第二天起,每天比前一天多織多少尺布？”記該女子這個月中第〃天所織布的尺數為數列他,｝是等比數列〃3+ _209陰+4+。6 193進而求得.由此對選項逐一分析從而確A.九=84 B.C.3M=105 D.【答案】BD【分析】利用等差數列前”項和公式列方程，由此求得d,定正確選項.【詳解】由題意可知，數列｛4｝為等差數列，設數列｛4｝的公差為d,首項4=5,則30a,+30x29-=9x4x10+30=390,解得d=工，. / ,16n+129??a“=?i+（〃T）d=———.'：bn=2a",導=茅==2d,數列｛〃｝是等比數列，8選項正確:

???5E導恭3,.?.卻琦=2—選項錯誤;%,=q+294=21, =5x221>105,C選項錯誤;4,+3葭4,+3葭5+3第=也2929處=4+4〃=5+44=型2929&++a-.3/a.209■ ■—=「=1-=赤，。選項正確.a2+a4+a63a4a4193故選：BD.（2021?江蘇?海安高級中學高二期中）根據中國古代重要的數學著作《孫子算經》記載,我國古代諸侯的等級自低到高分為：男、子、伯、侯、公五個等級，現有每個級別的諸侯各一人，君王要把50處領地全部分給5位諸侯，要求每位諸侯都分到領地且級別每高一級就多分機處（山為正整數），按這種分法，下列結論正確的是（ ）A.為“男''的諸侯分到的領地不大于6處的概率是:B.為“子''的諸侯分到的領地不小于6處的概率是!C.為“伯''的諸侯分到的領地恰好為10處的概率是1D.為“公”的諸侯恰好分到16處領地的概率是!【答案】ACD【分析】由題意可知，五位諸侯分得的領地成等差數列｛q｝,利用等差數列前”項和公式得到｛4｝的首項和公差，再分類討論分別求出每種情況中男、子、伯、侯、公五個等級分到的領地數,再利用概率對四個選項逐一分析，即可得正確選項.【詳解】由也意可知，五位諸侯分得的領地成等差數列｛4｝，設其前〃項和為S..5x4則54+寸利=50,f'./O,=10-2m.因為q,用均為正整數，所以有如下幾種情況：（4=8 [a,=6 14=4fa=2,,-1 '，共4種情況，每種情況各位諸侯分到領地的處數如下表\m=\\m=2\m=3 m=4所列:男f伯侯公4=8,tn=1891()11124=6,m=268101214

q=4,m=3471013164=2,m=4261()14183由表中數據可知：為“男''的諸侯分到的領地不大于6處的概率是3：故選項A正確；為“子''的諸侯分到的領地不小于6處的概率是：=1：故選項B不正確；為“伯”的諸侯分到的領地恰好為10處的概率是2=1；故選項C正確；為‘'公''的諸侯恰好分到16處領地的概率是L,故選項D正確；4故選：ACD.（2021?重慶?西南大學附中高三開學考試）“內卷”是指一類文化模式達到最終的形態以后，既沒有辦法穩定下來，也沒有辦法轉變為新的形態，而只能不斷地在內部變得更加復雜的現象，熱愛數學的小明由此想到了數學中的螺旋線.連接嵌套的各個正方形的頂點就得到了近似于螺旋線的美麗圖案，具體作法是：在邊長為1的正方形A8C。中，作它的內接正方形EFGH,且使得NBEF=15。；再作正方形EFGH的內接正方形MNPQ,且使得NFMN=15。；依次進行下去，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示.設第〃個正方形的邊長為（其中第1個正方形48co的邊長為卬=48,第2個正方形EFG”的邊長為生=后尸，…），第〃個直角三角形（陰影部分）的面積為5.（其中第1個直角三角形4EH的面積為第2個直角三角形的面積為S?,…），則（）CB7 1A.數列｛q｝是公比為三的等比數列 B.$=七C.數列｛4｝是公比為《的等比數列 D.數列⑸｝的前〃項和?；＜（【答案】BD【分析】應用勾股定理、三角函數tanl5o=2-石得到此過程中前后兩個正方形的邊長關系，即可知A、C正誤，并寫出｛凡｝的通項公式，進而求（SJ通項公式，即知B、D正誤.

【詳解】由題設，4=1,若AE=x,則AH=q-x,即tanl5o='^=2-6，a}-x3+V5at4r.3+V3 ..J3—y/3HACAUa；1Q-rrfo?x= a,?H|JAE= 4,AH= a.?6x5.=—AE?AH=—=—,Bi上確；6 1 6 1 6 1 2 1212/=ylAE2+AH2=痔\,以此類推可得an=乎%,??{4}是公比為好的等比數列且4=(坐],A、C錯誤；由圖知：5“=44?cosl5-sinl5=&4-sin30°=4見，而a,=—a,"2 4 8 "1 3故/=S[+...+S”=(?l+...+(g)=；, ＜；，D正確.故選：BD15.（2021?廣東珠海?二模）分形幾何學是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學，分形的外表結構極為復雜，但其內部卻是有規律可尋的，一個數學意義上的分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統.下面我們用分形的方法得到一系列圖形,如圖1,在長度為I的線段A8上取兩個點C、D,使得AC=38=：A8,以8為邊在線段AB的上方做一個正方形，然后擦掉CD,就得到圖形2；對圖形2中的最上方的線段E尸作同樣的操作，得到圖形3；依次類推，我們就得到以下的一系列圖形設圖1,圖2,圖3-..,圖〃，各圖中的線段長度和為凡，數列｛《,｝的前〃項和為S”，則（A.數列｛4｝是等比數列B.SiB.Si。6657256C./<3恒成立D.存在正數，"，使得S“<m恒成立【答案】BC【分析】2推導出。的-勺二三，利用累加法求出數列｛《,｝的通項公式，可判斷AC選項正誤，利用分組求和法可判斷B選項的正誤，利用數列｛SJ的單調性可判斷D選項的正誤.【詳解】由題意可得。[=1，=4+2X5,=%+2x~^2，TOC\o"1-5"\h\z2以此類推可得=4+2x，則ail+l-an=—,2 2所以，an=at+(a2-a1)+(a3-a2)+---+(aw-aw_l)=l+—+—=1+—嚀=3-與，所以，數列｛《,｝不是等比數列，A選項錯誤；- 2對于B選項，S.?=3xlO--_?^=26+-4=^^-B選項正確；,1 21t 256 對于C選項，。“=3-白<3恒成立，C選項正確：對于D選項，?.?a“=3-9>0恒成立，則數列｛S“｝單調遞增，所以，數列｛S.｝無最大值，因此，不存在正數m,使得5,,<5，D選項錯誤.故選：BC.【點睛】方法點睛：己知數列的遞推關系求通項公式的典型方法：(1)當出現q=。+加時，構造等差數列：(2)當出現a“=x%+y時，構造等比數列;(3)當出現q=4-+〃〃)時，用累加法求解：(4)當出現‘￡=/(〃)時，用累乘法求解.an-\(2021?全國?模擬預測)斐波那契數列，又稱黃金分割數列，它在很多方面與大自然神奇地契合，小到地球上的動植物，如向日葵、松果、海螺的成長過程，大到海浪、颶風、宇宙星系演變，都遵循著這個規律，人們親切地稱斐波那契數列為自然界的“數學之美”，在數學上斐波那契數列｛凡｝一般以遞推的方式被定義：?,=?2=1,a?+2=an+an+l,貝I]( )

c.az+J—4,是等比數列D.設則|〃一%|<|%-我+2|un【答案】ABC【分析】對A,根據遞推關系直接計算即可；對B,利用數學歸納法證明；對C,根據等比數列的定義直接化簡計算可得；對C,得出上-或/=」一,\bn+i-bn+2\=—，根據a->4可l?A+1| 4+4+2判斷.【詳解】對A,,**。〃+2=+。〃+1，q=%=1，/=2,4=3,%=5,4=8,%=13,“8=21,cig=34,4o=55,故A正確；對B,anan+2-a：+i=a“(a”+a?+l)~a^+l=a：-an+l2+anan+l,假設|的“+2-點|=1成立，當〃=1時，k%-d|=l成立，設〃=%時成立，即|4。*+2-4；+1|=1，貝!I當〃=%+1時，\aMak+3-al?|=,(4+i+ak+2)-(ak+at+1)2|=|%+：+%+科+2-4J-24a**|-a*+1石-1 V5-1 —+1。”+2+can+i4+|+%+ . 石-1 V5-1 —+1。”+2+can+i4+|+%+ . 4+i 2對C, 2 = =2 =/1>/5—1 >j5—1%+2% +2凡 "向J5-1???<an+l+ 。“是等比數列，故C正確：對D,v|^-^+l|=---= =—!—4J anan.l\］凡4+1同理1%%l= ,勺孫2因為斐波那契數列滿足4+2>??.A」一>」一，凡凡+11-175-11q+1+ , r~一2出.n/5-I 2+ -an2n即w—故d錯誤.假設成立，故B正確故選：ABC.【點睛】關鍵點睛：本題考查斐波那契數列，解題的關鍵是根據遞推關系。,,.2=4+。用正確化簡.（2021?全國?高三專題練習）數學中有各式各樣富含詩意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類.螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷''或''纏卷小明對螺旋線有著濃厚的興趣，用以下方法畫出了如圖所示的螺旋線.具體作法是：先作邊長為1的正三角形ABC,分別記射線4C,BA,CB為I、,12,1},以C為圓心、CB為半徑作劣弧8G交4于點C,；以4為圓心、AG為半徑作劣弧GA交4于點A；以B為圓心、為半徑作劣弧A片交4于點4,依此規律，就得到了一系列圓弧形成的螺旋線.記劣弧Bq的長，劣弧GA的長，劣弧A4的長，…依次為4,a2,a,,則4+%+…+%=.【答案】30兀【分析】根據給定條件，確定這些劣弧的半徑從小到大排成一列得等差數列，再利用前〃項和公式計算即得.【詳解】依題意，這些劣弧的半徑從小到大排成一列得等差數列，首項為1,公差為1,則第〃個劣弧的半徑長為〃，2兀 27r 2727r因每個劣弧的圓心角均為胃，F是得第〃個劣弧的弧長《=]?〃=等，所以q+生+L+%=g（l+2+L+9）=曰=307r.故答案為：30rt（202卜江蘇南通?模擬預測）《孫子算經》是我國南北朝時期（公元5世紀）的數學著作.在《孫子算經》中有“物不知數”問題：一個整數除以三余二，除以五余三，求這個整數.設這個整數為m當ae[l,500]時，則符合條件的所有。的和為.【答案】8184【分析】由題設。=3〃?+2=5〃+3,皿n￡N*,則3m=5n+\,對m分類分析，可知m二54十2,得至lja=15H8,kQZ,由〃￡[1,500]求得〃的取值，再由等差數列的前〃項和求得答案.【詳解】由題意知，t?=3/n+2=5n+3,m,neN*,貝iJm=5Z時，〃不存在；當m=5A+l時，〃不存在，

當m=5Z+2時，〃=3k+l,滿足題意；當m=5A+3時，〃不存在當帆=5#+4時，〃不存在，故〃=152+8或500],7,,492,:、 Wk<,kgZ,15 15則2=0,1,2,…,32,共33個數，且這些數構成以8為首項，15為公差的等差數列，這33個數的和為33x8+變必xl5=8184.2故答案為：8184(2021?貴州貴陽?高三開學考試(文))“康托爾塵埃”是數學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：在一個單位正方形中，首先，將正方形等分成9個邊長為g的小正方形，保留靠角的4個小正方形，記4個小正方形的面積和為B；然后，將剩余的4個小正方形分別繼續9等分，分別保留靠角的4個小正方形，記所得的16個小正方形的面積和為邑；……：操作過程不斷地進行下去，以至無窮，保留的圖形稱為康托爾塵埃.若【分析】需要操作的次數〃的最小值為【分析】需要操作的次數〃的最小值為分別求出與進而可得S.，得｛S,,｝是等比數列，再利用等邊數列求和公式求5.+邑+……+S",利用單調性解不等式即可得答案.【詳解】$是4個邊長為;的小正方形面積之和，所以，=《Jx4,昆是42個邊長為(gJ的小正方形面積之和，所以S2=(gJx(gJx如=x4邑是取個邊長為(g)的小正方形面積之和，所以S3=(g)x,Jx43

所以5.=眇4咽,所以｛S“｝是首項為公比為［的等比數列,+2S+號以所-+2S+號以所-nS+4919>一"2519 4所以￡+§2+……+S.N不即g1所以因為f（x）=信）在R上單調遞減,而"3）=4而"3）=4I=里笈0.088>，不成立,I729 20所以需要操作的次數〃的最小值為4次,故答案為：4.（2021?全國?高二專題練習）任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2.反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圖1-4-2-1,這就是數學史上著名的“冰雹:猜想例如：正整數，〃=6,根據上述運算法則得出6-3—10—5-16->8t4-2t1,共經過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.“冰雹猜想”%0=2k（keN*\可表示為數列｛a“｝：q=，〃（m為正整數），。向=2'" .若%=2,則加3a〃+l,a,,=2k+10teN）的所有可能取值之和為.【答案】83【分析】利用“冰雹猜想”可表示為數列的遞推公式，結合%=2,逆推%、4、%、的、4的可能值,最后加總所有可能情況4值即可.【詳解】由題意，qf勺->4f%-%可能情況有:1、1-4->2—1―4f2,貝ljq=m=l；2、8f4-2fIf4f2,則q=m=8：3、10f5f16T8f4f2,則4=zw=10：4、64f32->16—8—4-2,則q=/n=64：的所有可能取值之和1+8+10+64=83.故答案為：83.【點睛】關鍵點點睛：根據%=2,結合遞推公式逆推各步驟的可能值，確定各情況下的《?（2021?湖北靳春?高三月考）《孫子算經》是我國南北朝時期（公元5世紀）的數學著作.在《孫子算經》中有“物不知數”問題，原文如下：有物不知數，三三數之剩二，五五數之剩三，問物幾何？即一個整數除以三余二，除以五余三，求這個整數.設這個整數為。，當a41,500]時，則符合條件的所有a的和為.【答案】8184【分析】分析可知整數。的取值形成以8為首項，以15為公差的等差數列，求出這個數列的項數，利用等差數列的求和公式可求得結果.【詳解】由題設。=36+2=5〃+3,加、nsN、則3m=5〃+1.當m=5Z,〃不存在；當帆=5A+1,〃不存在；當m=5A+2,〃=32+1,滿足題意；當〃z=5A+3,〃不存在；當m=5A+4,〃不存在.rI 7 492 z 、故a=154+8w[L500],所以_廣外<皆,%eZ,.?.%€｛（）,L2…,32｝,共33個數.且這些數組成以8為首項，15為公差的等差數列，所以這33個數的和為33x8+生至xl5=8184.2故答案為：8184.【點睛】方法點睛：數列求和的常用方法：（1）對于等差等比數列，利用公式法直接求和；（2）對于｛。也｝型數列，其中｛4“｝是等差數列，｛〃｝是等比數列，利用錯位相減法求和；（3）對于｛q+或｝型數列，利用分組求和法：

（4）對于]（4）對于]a?a?+l，型數列，其中｛4｝是公差為d（dwO）的等差數列，利用裂項相消法求和.（2021?全國?高三專題練習（文））分形幾何學是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學，分形的外表結構極為復雜，但其內部卻是有規律可尋的.一個數學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統.下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1,線段AB的長度為在線段A8上取兩個點C、。,使得4c = ,4以CD為一邊在線段AB的上方做一個正六邊形，然后去掉線段CD,得到圖2中的圖形；對圖二中的最上方的線段EF作相同的操作，得到圖3中的圖形；依次類推，我們就得到了以下一系列圖形；記第〃個圖形（圖1為第1個圖形）中的所有線段長的和為S.，若對任意的正整數〃，都有5?<9,則正數。的最大值為.【答案】|【分析】由題意歸納可得利用累加法可得S,,=a+4a（l-擊），進而可得S?<5a,即5。49,即可得解.【詳解】由題意，得圖I中的線段為。，，=a,圖2中的正六邊形邊長為：，52=S,+^x4=51+2a=51+^ri2 2 2圖3中的最小正六邊形的邊長為（，S3=52+^x4=S2+a=S,+^:圖4中的最小正六邊形的邊長為?，54=53+^x4=53+^；8 8 2由此類推,可知，S,-S.t=/(〃22),故當〃22時，5b=S1+(S2-S1)+(S3-S2)+L(S?-Sn.t)=a+2a+a+^+L+^=。+=。+當k=1當k=1時，號=。+4〃=〃，滿足上式,所以S.=a+4a(l-擊)從而S“<5a,即5a49,9所以存在最大的正數。滿足題意.9故答案為：—.【點睛】本題考查了歸納推理的應用，考查了利用累加法求數列的通項公式，屬于中檔題.(2021?全國?高二課時練習(理))兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家曾經在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，按照點或小石子能排列的形狀對數進行分類，如圖實心點個數1,5,12,22,…，被稱為五角形數，其中第1個五角形數記作4=1,第2個五角形數記作出=5,第3個五角形數記作。3=%,第4個五角形數記作包=22,…，第〃個五角形數記作a“，已知4-。小=3〃-2(n..2),則前"個五角形數中，實心點的總數為.[參考公式：l2+22+32+-+n2=jn(n+l)(2n+l)]【答案】g/(〃+l)【分析】由題意得-4」=3〃-2再累加求得a.即可得出第〃個五角形數.再進行求和即可.【詳解】由題得—an~an-\ 一。/?-2+…+。2-4+6=3〃-2+3〃一5+…+4+1=叫也出=襯1=紀-2故前〃個五角形數中,實心點的總數2 2 2 25“=3(產+22+...+舟-如也=3xL(〃+l)(2〃+l)-迎起=如短"332 2x2 26 4 4_n2(n+l)-—2—故答案為：:/("+1)2【點睛】本題主要考查了累加法求數列的通項公式方法以及數列求和的內容，屬于中等題型.(2021?全國?高二專題練習)1967年，法國數學家蒙德爾布羅的文章《英國的海岸線有多長？》標志著幾何概念從整數維到分數維的飛躍.1977年他正式將具有分數維的圖形成為“分形”，并建立了以這類圖形為對象的數學分支——分形幾何.分形幾何不只是扮演著計算機藝術家的角色，事實表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規則現象的工具.下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1,線段A8的長度為a,在線段AB上取兩個點C,D,使得== 以C。為一邊在線段AB的上方做一個正三角形，然后去掉線段CD,得到圖2中的圖形；對圖2中的線段EC、作相同的操作，得到圖3中的圖形：依此類推，我們就得到了以下一系列圖形： _A__y\_ACDBACDB圖1 圖2 圖3 圖4記第〃個圖形(圖1為第一個圖形)中的所有線