第15講設點設線技巧之設點技巧歸納總結參考答案與試題解析一．解答題（共19小題）1．如圖，已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于、兩點，點在拋物線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點，且在點右側．記，的面積為，．（1）若直線的斜率為，求以線段為直徑的圓的面積；（2）求的最小值及此時點的坐標．【解答】解：（1）由題意可得，解得，所以拋物線的方程為，由已知設直線的方程為，與拋物線聯立可得，，所以，則線段，則以線段為直徑的圓的半徑為8，故圓的面積為；（2）設，，，，，，重心，，令，，則，由直線過點，故直線的方程為，代入，可得，所以，即，所以，又由于，，重心在軸上，故，所以，，所以直線的方程為，可得，，由于點在焦點的右側，故，故，令，則，所以，當且僅當，即時，取得最小值，此時．2．如圖，已知點為拋物線的焦點．過點的直線交拋物線于，兩點，點在拋物線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點，且在點的右側．記，的面積分別為，．（Ⅰ）求的值及拋物線的準線方程；（Ⅱ）求的最小值及此時點的坐標．【解答】解：（Ⅰ）由拋物線的性質可得：，，拋物線的準線方程為；（Ⅱ）設，，，，，，重心，，令，，則，由于直線過，故直線的方程為，代入，得：，，即，，，又，，重心在軸上，，，，，，直線的方程為，得，，在焦點的右側，，，令，則，，當時，取得最小值為，此時．3．已知橢圓的右焦點為，短軸長為．（1）求橢圓的方程；（2）設為橢圓的右頂點，過點的直線與交于、兩點（均異于，直線、分別交直線于、兩點，證明：、兩點的縱坐標之積為定值，并求出該定值；（3）記以坐標原點為頂點、為焦點的拋物線為，如圖，過點的直線與交于、兩點，點在上，并使得的重心在軸上，直線交軸于點，且在的右側，設、的面積分別為、，是否存在銳角，使得成立？請說明理由．【解答】解：（1）依題意，得，且，，，橢圓的方程為．（2）證法由橢圓的方程可知．若直線的斜率不存在，則直線，，，直線、的方程分別為、，易得，，、兩點的縱坐標之積為．若直線的斜率存在，則可設直線，聯立橢圓的方程，得．設，，，，則，，直線的方程為，點的縱坐標．同理，點的縱坐標．所以．綜上，、兩點的縱坐標之積為定值．證法2：設直線的方程為，聯立橢圓的方程，得．設，，，，則，，直線的方程為，點的縱坐標．同理，點的縱坐標．所以，故、兩點的縱坐標之積為定值．證法3：由橢圓的方程可知．設，，則直線的方程為，由聯立橢圓的方程，得，由韋達定理可得，即．，于是點的坐標為，同理，點的坐標為，，、、三點共線，，故，化簡得．即、兩點的縱坐標之積為定值．證法4：由橢圓的方程可知．若直線的斜率不存在，則直線，，，直線、的方程分別為、．可得，，、兩點的縱坐標之積為．若直線的斜率存在，則可設，，這里，，，，，、、三點共線，，故，化簡整理得，注意到直線的斜率存在，，于是便有，化簡得，又直線的方程為，可得點的縱坐標，同理，點的縱坐標，所以，．即、兩點的縱坐標之積為定值．（3）不存在．理由如下：顯然，拋物線的方程為．方法1：設，，則直線方程可為，由可得故（注：這里表示點的縱坐標，余類似），，．重心在軸上，，即，，進而，．進一步可得直線，，，又在焦點的右側，，即．因此．當（注意到，即時，取等號，即有（※）．若存在銳角，使得成立，則，即，這與（※）矛盾．因此，不存在銳角，使得成立．方法2：設，，，，，，，三點共線，，即，即，同理可得，為的重心，，，且．，．，設，則，不妨設，在焦點的右側，，而，即，，進而，即．因此，，當且僅當，即時，取等號，即有（※）．若存在銳角，使得成立，則，即與（※）矛盾，因此，不存在銳角，使得成立．4．已知雙曲線的焦距為，其中一條漸近線的方程為．以雙曲線的實軸為長軸，虛軸為短軸的橢圓記為，過原點的動直線與橢圓交于、兩點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若點為橢圓的左頂點，，求的取值范圍；（Ⅲ）若點滿足，求證為定值．【解答】（Ⅰ）解：雙曲線的焦距為，，，①一條漸近線的方程為，，②由①②解得，，橢圓的方程為．（Ⅱ）解：點為橢圓的左頂點，，，設，，由，得，，，，解得，，，設，，則，，，又，，，，，的取值范圍是．（Ⅲ）證明：由，知在線段垂直平分線上，由橢圓的對稱性知，關于原點對稱，①若、在橢圓的短軸頂點上，則點在橢圓的長軸頂點上，此時．②當點，，不是橢圓的頂點時，設直線的方程為，則直線的方程為，設，，由，解得，，，用代換，得，，綜上所述：．5．已知橢圓的左右焦點分別為、，且經過點，為橢圓上的動點，以為圓心，為半徑作圓．（1）求橢圓的方程；（2）若圓與軸有兩個交點，求點橫坐標的取值范圍．【解答】解：（1）由橢圓定義得，（1分）即，（3分）．又，．（5分）故橢圓方程為．（6分）（2）設，，則圓的半徑，（7分）圓心到軸距離，（8分）若圓與軸有兩個交點則有即，（9分）化簡得．（10分）為橢圓上的點，（11分）代入以上不等式得，解得．（12分），（13分）．（14分）6．已知橢圓的左、右焦點分別為，，且橢圓上的點滿足，．（1）求橢圓的標準方程；（2）作直線垂直于軸，交橢圓于點，，點是橢圓上異于，兩點的任意一點，直線，分別與軸交于，兩點，判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【解答】解：（1）依題意得：，．由橢圓定義知，又，則，在△中，，由余弦定理得：，即，解得，又，故所求橢圓方程為．（2）依題意得知：，兩點關于軸對稱，設，，，，則，，則，，，同理，又直線的方程為，由得點的橫坐標，同理直線的方程為，由得點的橫坐標，，為定值．7．已知橢圓的左右焦點坐標為，且橢圓經過點．（1）求橢圓的標準方程；（2）設點是橢圓上位于第一象限內的動點，，分別為橢圓的左頂點和下頂點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求四邊形的面積．【解答】解：（1）因為橢圓焦點坐標為，且過點，所以，所以，（3分）從而，故橢圓的方程為．（6分）（2）設點，，，，，因為，且，，三點共線，所以，解得，所以，（8分）同理得，（10分）因此，，（12分）因為點，在橢圓上，所以，即，代入上式得：．四邊形的面積為2．（14分）8．在平面直角坐標系中，橢圓過點，．（1）求橢圓的方程；（2）點，是單位圓上的任意一點，設，，是橢圓上異于頂點的三點且滿足，求證：直線與的斜率乘積為定值．【解答】解：（1）由題意得，，解得，．故橢圓方程為；證明：（2）令，，，，則由，可知，，故，整理得．又，，，故，故．9．在平面直角坐標系中，橢圓過點，．（1）求橢圓的方程；（2）點，是單位圓上的任意一點，設，，是橢圓上異于頂點的三點且滿足，探討是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．【解答】解：（1）由題意得，解得，．橢圓的方程為；（2）是定值，等于9．證明如下：令，，，，由，得，，故，整理得：，又，，，故，得．．故，則．故是定值，等于9．10．定義：在平面內，點到曲線上的點的距離的最小值稱為點到曲線的距離．在平面直角坐標系中，已知圓及點，動點到圓的距離與到點的距離相等，記點的軌跡為曲線．（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）過原點的直線不與坐標軸重合）與曲線交于不同的兩點，，點在曲線上，且，直線與軸交于點，設直線，的斜率分別為，，求．【解答】解：（Ⅰ）由題意知：點在圓內且不為圓心，圓及點，動點到圓的距離與到點的距離相等，故，所以點的軌跡為以、為焦點的橢圓，（2分）設橢圓方程為，則，所以，故曲線的方程為．（5分）（Ⅱ）設，，，，則，，則直線的斜率為，又，所以直線的斜率是，記，設直線的方程為，由題意知，，由得：．，，由題意知，，所以，（9分）所以直線的方程為，令，得，即，．可得．（11分）所以，即．（12分）（其他方法相應給分）11．已知橢圓的離心率為，且過點，動直線交橢圓于不同的兩點，，且為坐標原點）（1）求橢圓的方程．（2）討論是否為定值．若為定值，求出該定值，若不是，請說明理由．【解答】解：（1）由題意可知，所以，整理，得，①又點在橢圓上，所以有，②由①②聯立，解得，，故所求的橢圓方程為．（2）為定值，理由如下：設，，，，由，可知．聯立方程組，消去，化簡得，由△，得，由根與系數的關系，得，，③由，，得，整理，得．將③代入上式，得．化簡整理，得，即．12．已知，分別是橢圓的左、右焦點，，分別為橢圓的上、下頂點，到直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過的直線交橢圓于，兩點，求的取值范圍；（Ⅲ）過橢圓的右頂點的直線與橢圓交于點（點異于點，與軸交于點（點異于坐標原點，直線與交于點．證明：為定值．【解答】解：（Ⅰ），分別是橢圓的左、右焦點，，分別為橢圓的上、下頂點，到直線的距離為．，，，解得，橢圓的方程為．（Ⅱ）的斜率不存在時，，解得，，；的斜率存在時，設直線，代入橢圓方程可得，設，，，，則，，，，，．綜上可得的取值范圍是，；（Ⅲ）證明：橢圓的右頂點，，設直線，，則，聯立，得，，，設點，直線的方程為，、、三點共線，則有，，，，又，，將代入，得：，，，，．即為定值1．13．已知橢圓經過點，且離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若直線與曲線相交于異于點的兩點、，且直線與直線的斜率之和為，則直線是否過定點？若是，求出該定點；若不是，說明理由．【解答】解：（Ⅰ）因為橢圓經過，所以，①因為離心率為，所以，②又，③由①②③，解得，，所以橢圓的方程為．（Ⅱ）設，，，，聯立，得，，，則，，因為直線與直線的斜率之和為，所以，所以，①所以，把①代入，得，所以，化簡得，因為直線不過點，所以，即，所以，所以直線方程為，所以直線過定點．14．如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，直線上的點和橢圓上點的最小距離為1．（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓的上頂點為，點，是上的不同于的兩點，且點，關于原點對稱，直線，分別交直線于點，．記直線與的斜率分別為，．①求證：為定值；②求的面積的最小值．【解答】解：（1）由題知，又，，．故橢圓的方程為；（2）①設，，則，點，關于原點對稱，則，，；②直線的方程為，令，得，直線的方程為，令，得，，由，，，即的最小值為，的面積的最小值為．15．在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為、，右焦點為．設過點的直線、與橢圓分別交于點，、，，其中，，．（1）設動點滿足，求點的軌跡；（2）設，，求點的坐標；（3）設，求證：直線必過軸上的一定點（其坐標與無關）．【解答】解：（1）設點，則：、、．由，得，化簡得．故所求點的軌跡為直線．（2）將分別代入橢圓方程，以及，，得、，直線方程為：，即，直線方程為：，即．聯立方程組，解得：，所以點的坐標為．（3）點的坐標為直線方程為：，即，直線方程為：，即．分別與橢圓聯立方程組，同時考慮到，，解得：、．（方法一）當時，直線方程為：，令，可得，即為，令，解得：．此時必過點；當時，直線方程為：，與軸交點為．所以直線必過軸上的一定點．（方法二）若，則由及，得，此時直線的方程為，過點．若，則，直線的斜率，直線的斜率，得，所以直線過點．因此，直線必過軸上的點．16．已知是橢圓的左頂點，斜率為的直線交于、兩點，點在上，且．（1）當時，求的面積；（2）當時，求的值．【解答】解：（1）設，，由題可知，，因為，可得，故直線的方程為，聯立，得，解得或，所以，所以．（2）由題意可得，設直線的方程為，聯立，得，所以，即，所以，同理可設直線的方程為，解得，由，得，即，即，因為，所以，所以．17．已知橢圓的離心率為，右焦點．過點作斜率為的直線，交橢圓于、兩點，是一個定點．如圖所示，連、，分別交橢圓于、兩點（不同于、，記直線的斜率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）在直線的斜率變化的過程中，是否存在一個常數，使得恒成立？若存在，求出這個常數；若不存在，請說明理由．【解答】解：（Ⅰ）設，由題意，．解得，．橢圓的方程為．（5分）（Ⅱ）存在常數．設，，，，，，，．聯立，可得于是，．直線的斜率，聯立，可得則，進一步可得．將代入，則同理可得．則，由，兩式相減可得，綜上可知，存在常數．（15分）18．已知橢圓的離心率為，半焦距為，且，經過橢圓的左焦點斜率為的直線與橢圓交于、兩點，為坐標原點．（1）求橢圓的標準方程；（2）設，延長，分別與橢圓交于、兩點，直線的斜率為，求的值及直線所經過的定點坐標．【解答】解：（1）依題意，得，解得，在橢圓中，．橢圓的標準方程為：（4分）（2）設，，，，，，，，顯然，，故直線的方程為，代入橢圓方程，消去得：，由韋達定理得：，代入直線的方程得，，，，則，即，，同理得，顯然，兩點坐標均滿足直線的方程，所以直線的方程為，，且直線過定點，（12分）19．已知橢圓的離心率為，以的四個頂點為頂點的四邊形的面積為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設，分別為橢圓的左、右頂點，是直線上不同于點的任意一點，若直線，分別與