第七章向量代數與空間解析幾何

在平面解析幾何中我們通過引進坐標系把平面上的點和一對有序數對對應起來，把平面上的曲線圖形和方程對應起來，從而可以用代數方法來研究幾何問題．空間解析幾何也是按照同樣的方法建立起來的。本章首先建立空間直角坐標系，引進向量的概念及向量的運算，然后介紹空間的曲面和曲線，并以向量為工具來討論空間的平面和直線，最后介紹二次曲面．第七章向量代數與空間解析幾何在平面解析幾何1第一節空間直角坐標系引我們學過平面直角坐標系，平面上的點都對應平面直角坐標系上的一個二維坐標.那么，在空間中，如何建立坐標系，以表示空間點呢？第一節空間直角坐標系引我們學過平面直角坐標系，平面2為了溝通空間圖形與方程的關系，需要建立空間點與有序數組之間的聯系．為此，我們引進空間直角坐標系．一、空間直角坐標系及點的坐標在空間中取定一點O

作為原點,通過該點做三條相互垂直的數軸,分別稱為x

軸、y

軸和z

軸,統稱為坐標軸.為了溝通空間圖形與方程的關系，需要建立空間點3通常將x

軸和y

軸置于水平面上,z

軸取鉛直方向,見圖.三個坐標軸的次序和方向一般按右手法則來排列:用右手握住z

軸,四個手指從x

軸的正向旋轉90到軸的正向時,拇指的指向就是z

軸的正向.按右手法則確定的的坐標系稱為右手系.縱橫豎xzy通常將x軸和y軸置于水平面上,z軸取鉛直方4由任意兩條坐標軸所確定的平面稱為坐標面.三個坐標軸確定了三個坐標面.x

軸和y軸所在的平面稱為xOy

坐標面,另外兩個坐標面分別是yOz坐標面和

zOx坐標面.三個坐標面將整個空間分為8個部分,每一部分稱為一個卦限.含有x

軸、y軸和z軸的正半軸的那個卦限稱為第一卦限,第二、第三、第四卦限都在xOy

面的上方,按逆時針方向確定;第五卦限在第一卦限在下方,第六、第七、第八卦限都在xOy

面的下方,按逆時針方向確定.由任意兩條坐標軸所確定的平面稱為坐標面.5這8個卦限分別用羅馬數字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ來表示,見圖.上面建立的的坐標系中,坐標軸、坐標面都是兩兩垂直的,故稱為空間直角坐標系.xoy面yoz面zox面ⅦⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ這8個卦限分別用羅馬數字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ6有了空間直角坐標系,就可以建立空間中的點和有序數組之間的對應關系.設M

為空間中的一點,過該點做三個分別垂直于x

軸、y軸和z軸的平面,它們與x

軸、y軸和z軸分別交于P點、Q點和R

點.這三個點在x

軸、y

軸和z

軸上的坐標分別是x、

y和

z.從而,空間中的點M

就唯一確定了一個有序數組(x,y,z);有了空間直角坐標系,就可以建立空間中7反之,給定一個有序數組(x,y,z),則可分別在x

軸、y

軸和z

軸上取坐標為

x,y,z的三個點P,Q,R,過這三個點各做一個分別與x

軸、y

軸和z

軸垂直的平面,這三個平面有唯一的交點,這個交點就是有序數組(x,y,z)所確定的點M,見圖.xyzORPQxyzM(x,y,z)反之,給定一個有序數組(x,y,8這樣,利用空間直角坐標系,就在有序數組(x,y,z)與空間中的點M之間建立了一一對應關系.有序數組(x,y,z)稱為點M的坐標.其中

x,y

和z

分別稱為點M

的橫坐標、縱坐標和豎坐標.在以后的表述中,常把一個點和表示這個點的坐標不加區別,所說的給定一個點,就是給定這個點的坐標;所說的求一個點,就是求這個點的坐標.這樣,利用空間直角坐標系,就在有9坐標面和坐標軸上的點的坐標都有一定的特點.如xOy

面上的點,豎坐標z=0;zOx

面上的點,其縱坐標y

=0;yOz

面上的點,其橫坐標x

=0;z軸上的點橫、縱坐標均為零,即x

=0,y=0.同樣,x

軸上的點有y

=0,z=0;y軸上的點有x

=0,z=0;原點的三個坐標均為零.坐標面和坐標軸上的點的坐標都有一定的特點.如xOy面上的10

從點M(x,y,z)引垂直于xOy

面的直線,直線與xOy

面的交點N

(x,y,0)稱為點M在xOy

面的投影.在MN的延長線上取一點P,使點P到xOy

面的距離等于點M到xOy

面的距離,稱點P是點M關于xOy

面的對稱點,點M的坐標為(x,y,–

z).類似地,點M關于x

軸的對稱點的坐標為(x,–

y,–

z),關于原點的對稱點的坐標為(–

x,–

y,–

z).點M關于其他坐標面、坐標軸的對稱點與此完全類似.從點M(x,y,z)11各卦限內,點的坐標符號為Ⅰ:

(+,+,+),Ⅷ:(+,–,–).Ⅶ:(–,–,–),Ⅵ:(–,+,–),Ⅴ:(+,+,–),Ⅳ:(+,–,+),Ⅲ:(–,–,+),Ⅱ:(–,+,+),各卦限內,點的坐標符號為Ⅰ:(+,+,12二、空間中兩點間的距離對空間中兩點M1(x

1

,y

1,z1)和M

2(x

2,y2,z2),可用其坐標表示它們之間的距離d.過M

1,M2

兩點各做三個分別垂直于三條坐標軸的平面.這6個平面圍成以M1,

M2

為頂點的長方體,見圖6–4.圖6–4

二、空間中兩點間的距離對空間中兩點M113由勾股定理得特殊地,點M(x,y,z)到原點O(0,0,0)的距離為由勾股定理得特殊地,點M(x14例1在z

軸上求一點M,使點M到點A(1,0,2)和點B(1,-3,1)的距離相等.解因為所求的點M在z

軸上,故點M的坐標應為(0,0,z).根據題意,有解得z=–3,即點M的坐標是(0,0,–3).例1在z軸上求一點M,使15例2已知一動點M(x,y,z)到兩點A(1,2,3)和B(–1,–3,0)的距離總是相等,求動點M的坐標所滿足的方程.解由已知條件,有兩端平方后整理,得2x+5y+3z–2=0,即動點M的坐標應滿足這個三元一次方程.例2已知一動點M(x,y16第七章向量代數與空間解析幾何

在平面解析幾何中我們通過引進坐標系把平面上的點和一對有序數對對應起來，把平面上的曲線圖形和方程對應起來，從而可以用代數方法來研究幾何問題．空間解析幾何也是按照同樣的方法建立起來的。本章首先建立空間直角坐標系，引進向量的概念及向量的運算，然后介紹空間的曲面和曲線，并以向量為工具來討論空間的平面和直線，最后介紹二次曲面．第七章向量代數與空間解析幾何在平面解析幾何17第一節空間直角坐標系引我們學過平面直角坐標系，平面上的點都對應平面直角坐標系上的一個二維坐標.那么，在空間中，如何建立坐標系，以表示空間點呢？第一節空間直角坐標系引我們學過平面直角坐標系，平面18為了溝通空間圖形與方程的關系，需要建立空間點與有序數組之間的聯系．為此，我們引進空間直角坐標系．一、空間直角坐標系及點的坐標在空間中取定一點O

作為原點,通過該點做三條相互垂直的數軸,分別稱為x

軸、y

軸和z

軸,統稱為坐標軸.為了溝通空間圖形與方程的關系，需要建立空間點19通常將x

軸和y

軸置于水平面上,z

軸取鉛直方向,見圖.三個坐標軸的次序和方向一般按右手法則來排列:用右手握住z

軸,四個手指從x

軸的正向旋轉90到軸的正向時,拇指的指向就是z

軸的正向.按右手法則確定的的坐標系稱為右手系.縱橫豎xzy通常將x軸和y軸置于水平面上,z軸取鉛直方20由任意兩條坐標軸所確定的平面稱為坐標面.三個坐標軸確定了三個坐標面.x

軸和y軸所在的平面稱為xOy

坐標面,另外兩個坐標面分別是yOz坐標面和

zOx坐標面.三個坐標面將整個空間分為8個部分,每一部分稱為一個卦限.含有x

軸、y軸和z軸的正半軸的那個卦限稱為第一卦限,第二、第三、第四卦限都在xOy

面的上方,按逆時針方向確定;第五卦限在第一卦限在下方,第六、第七、第八卦限都在xOy

面的下方,按逆時針方向確定.由任意兩條坐標軸所確定的平面稱為坐標面.21這8個卦限分別用羅馬數字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ來表示,見圖.上面建立的的坐標系中,坐標軸、坐標面都是兩兩垂直的,故稱為空間直角坐標系.xoy面yoz面zox面ⅦⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ這8個卦限分別用羅馬數字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ22有了空間直角坐標系,就可以建立空間中的點和有序數組之間的對應關系.設M

為空間中的一點,過該點做三個分別垂直于x

軸、y軸和z軸的平面,它們與x

軸、y軸和z軸分別交于P點、Q點和R

點.這三個點在x

軸、y

軸和z

軸上的坐標分別是x、

y和

z.從而,空間中的點M

就唯一確定了一個有序數組(x,y,z);有了空間直角坐標系,就可以建立空間中23反之,給定一個有序數組(x,y,z),則可分別在x

軸、y

軸和z

軸上取坐標為

x,y,z的三個點P,Q,R,過這三個點各做一個分別與x

軸、y

軸和z

軸垂直的平面,這三個平面有唯一的交點,這個交點就是有序數組(x,y,z)所確定的點M,見圖.xyzORPQxyzM(x,y,z)反之,給定一個有序數組(x,y,24這樣,利用空間直角坐標系,就在有序數組(x,y,z)與空間中的點M之間建立了一一對應關系.有序數組(x,y,z)稱為點M的坐標.其中

x,y

和z

分別稱為點M

的橫坐標、縱坐標和豎坐標.在以后的表述中,常把一個點和表示這個點的坐標不加區別,所說的給定一個點,就是給定這個點的坐標;所說的求一個點,就是求這個點的坐標.這樣,利用空間直角坐標系,就在有25坐標面和坐標軸上的點的坐標都有一定的特點.如xOy

面上的點,豎坐標z=0;zOx

面上的點,其縱坐標y

=0;yOz

面上的點,其橫坐標x

=0;z軸上的點橫、縱坐標均為零,即x

=0,y=0.同樣,x

軸上的點有y

=0,z=0;y軸上的點有x

=0,z=0;原點的三個坐標均為零.坐標面和坐標軸上的點的坐標都有一定的特點.如xOy面上的26

從點M(x,y,z)引垂直于xOy

面的直線,直線與xOy

面的交點N

(x,y,0)稱為點M在xOy

面的投影.在MN的延長線上取一點P,使點P到xOy

面的距離等于點M到xOy

面的距離,稱點P是點M關于xOy

面的對稱點,點M的坐標為(x,y,–

z).類似地,點M關于x

軸的對稱點的坐標為(x,–

y,–

z),關于原點的對稱點的坐標為(–

x,–

y,–

z).點M關于其他坐標面、坐標軸的對稱點與此完全類似.從點M(x,y,z)27各卦限內,點的坐標符號為Ⅰ:

(+,+,+),Ⅷ:(+,–,–).Ⅶ:(–,–,–),Ⅵ:(–,+,–),Ⅴ:(+,+,–),Ⅳ:(+,–,+),Ⅲ:(–,–,+),Ⅱ:(–,+,+),各卦限內,點的坐標符號為Ⅰ:(+,+,28二、空間中兩點間的距離對空間中兩點M1(x

1

,y

1,z1)和M

2(x

2,