4/4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求相關(guān)弦長、定點(diǎn)、定值、最值、范圍等，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】1．通過類比直線與圓的位置關(guān)系，學(xué)會判斷直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系．（重點(diǎn)）2．會求直線與圓錐曲線相交所得弦的長，以及直線與圓錐曲線的綜合問題．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）【學(xué)習(xí)過程】一、新知初探1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線聯(lián)立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0．方程特征交點(diǎn)個數(shù)位置關(guān)系直線與橢圓a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相離直線與雙曲線a＝01直線與雙曲線的漸近線平行且兩者相交a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相離直線與拋物線a＝01直線與拋物線的對稱軸重合或平行且兩者相交a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相離2．弦長公式當(dāng)直線與圓錐曲線相交時，往往涉及弦的長度，可利用弦長公式表示弦長，從而研究相關(guān)的問題，弦長公式為：若直線l的斜率為k，與圓錐曲線C交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])．二、初試身手1．思考辨析（正確的打“√”，錯誤的打“×”）（1）平面上到定點(diǎn)A（1,0）和到定直線l：x＋2y＋3＝0的距離相等的點(diǎn)的軌跡為拋物線．（）（2）一條直線與雙曲線的兩支交點(diǎn)個數(shù)最多為2條．（）（3）拋物線與直線只有一個公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的充要條件．（）2．拋物線y2＝12x截直線y＝2x＋1所得弦長等于（）A．eq\r(15) B．eq\r(13)C．2eq\r(15) D．2eq\r(13)3．直線y＝x＋1與橢圓x2＋eq\f(y2,2)＝1的位置關(guān)系為_________．4．直線y＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(7,2)))與雙曲線eq\f(x2,9)－y2＝1交點(diǎn)個數(shù)為_________個．5．過橢圓eq\f(x2,13)＋eq\f(y2,12)＝1的右焦點(diǎn)與x軸垂直的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝_________．三、合作探究類型1：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【例1】對不同的實(shí)數(shù)值m，討論直線y＝x＋m與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的位置關(guān)系．類型2：弦長問題及中點(diǎn)弦問題【例2】橢圓ax2＋by2＝1與直線x＋y－1＝0相交于A，B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(2)，OC的斜率為eq\f(\r(2),2)，求橢圓的方程．類型3：圓錐曲線中的最值及范圍問題【例3】已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0）的焦距為3eq\r(2)，其中一條漸近線的方程為x－eq\r(2)y＝0．以雙曲線C的實(shí)軸為長軸，虛軸為短軸的橢圓記為E，過原點(diǎn)O的動直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)．（1）求橢圓E的方程；（2）若點(diǎn)P為橢圓E的左頂點(diǎn)，eq\o(PG,\s\up14(→))＝2eq\o(GO,\s\up14(→))，求|eq\o(GA,\s\up14(→))|2＋|eq\o(GB,\s\up14(→))|2的取值范圍．【學(xué)習(xí)小結(jié)】1．解決直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題時，主要方法是構(gòu)建一元二次方程，判斷其解的個數(shù)．確定斜率與直線的傾斜角時，應(yīng)特別注意斜率為0和斜率不存在的兩種情形，以及在雙曲線和拋物線中，直線和曲線有一個公共點(diǎn)并不一定相切．2．與弦中點(diǎn)有關(guān)的問題，求解的方法有兩種：（1）一般方法：利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來求解；（2）點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系．3．在探求最值時，常結(jié)合幾何圖形的直觀性，充分利用平面幾何結(jié)論，借助于函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等使問題獲解．同時，要注意未知數(shù)的取值范圍、最值存在的條件．【精煉反饋】1．橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．若|AB|＝8，則|AF1|＋|BF1|的值為（）A．10 B．12C．16 D．182．在拋物線y2＝8x中，以（1，－1）為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是（）A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝03．已知雙曲線C：x2－eq\f(y2,4)＝1，過點(diǎn)P（1,2）的直線l，使l與C有且只有一個公共點(diǎn)，則滿足上述條件的直線l共有（）A．1條 B．2條C．3條 D．4條4．若直線x－y