第二十八章

銳角三角函數(shù)28.2解直角三角形及其應(yīng)用第2課時(shí)解直角三角形

的八種類型第二十八章銳角三角函數(shù)28.2解直角三角形及其應(yīng)用第1

名師點(diǎn)金解直角三角形時(shí)，首先要分析直角三角形中的已知元素，根據(jù)已知元素利用勾股定理、邊角關(guān)系、斜邊上的中線性質(zhì)，30°角所對(duì)直角邊的性質(zhì)進(jìn)行求解．求邊的長(zhǎng)度時(shí)，一般要選擇題目中的原始數(shù)據(jù)，盡量避免用中間所得的結(jié)果參與計(jì)算．名師點(diǎn)金解直角三角形時(shí)，首先要分析直角三角形中的已知元素，21類型已知兩邊解直角三角形1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形．(1)a＝

，b＝；(2)a＝

，b＝10.1類型已知兩邊解直角三角形1．在Rt△ABC中，∠C＝90°3解：(1)tanA＝

＝，∴∠A＝60°，∴∠B＝30°.c＝2b＝12.(2)tanA＝

＝

，∴∠A＝60°，∴∠B＝30°.c＝2b＝20.解：(1)tanA＝＝，42已知一邊和一個(gè)銳角解直角三角形類型2．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°.(1)若c＝10，求a，b的值；(2)若a＝4，求b及∠B的值．解：(1)a＝c?sinA＝10?sin60°＝5，b＝c?cosA＝10?cos60°＝5；2已知一邊和一個(gè)銳角解直角三角形類型2．在△ABC中，∠C＝5(2)∠B＝90°－∠A＝30°.(2)63已知一邊和一銳角的三角函數(shù)值解直角三角形類型3.(中考?上海)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)，BE⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.已知AC＝15，cosA＝.(1)求線段CD的長(zhǎng)；(2)求sin∠DBE的值．3已知一邊和一銳角的三角函數(shù)值解直角三角形類型3.(中考?7解：

(1)在Rt△ACB中，cosA＝，即(2)由(1)可得AD＝BD＝CD＝

，∴.設(shè)DE＝x，EB＝y(tǒng)，則

∴sin∠DBE＝解：(1)在Rt△ACB中，cosA＝84“化斜為直”法解三角形4．(2015?齊齊哈爾)已知BD為等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝

，求CD的長(zhǎng)．類型解：分兩種情況：①如圖①，∠BAC為鈍角，AB＝AC，在Rt△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝

，∴AD＝

，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2＋.4“化斜為直”法解三角形4．(2015?齊齊哈爾)已知BD為9②如圖②，∠BAC為銳角，AB＝AC，在Rt△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝3，∴AD＝

，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2－.綜上所述，CD的長(zhǎng)為2＋

或2－.②如圖②，∠BAC為銳角，AB＝AC，在Rt△ABD中，∵105“參數(shù)法”解直角三角形5．如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝10，D為△ABC外一點(diǎn)，連接AD，BD，過(guò)D作DH⊥AB，垂足為H，交AC于E.(1)若△ABD是等邊三角形，求DE的長(zhǎng)；(2)若BD＝AB，且tan∠HDB＝

，求DE的長(zhǎng)．類型5“參數(shù)法”解直角三角形5．如圖，已知△ABC是等腰直角三角11(1)∵△ABD是等邊三角形，AB＝10.∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝10.∵DH⊥AB，∴AH＝

AB＝5.∴

∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°.∴∠AEH＝45°，∴EH＝AH＝5.∴DE＝DH－EH＝解：(1)∵△ABD是等邊三角形，AB＝10.解：12(2)∵DH⊥AB且tan∠HDB＝.∴可設(shè)BH＝3k，則DH＝4k，DB＝5k(k>0)．∵BD＝AB＝10，∴5k＝10，解得k＝2.∴DH＝8，BH＝6，AH＝4.又∵EH＝AH＝4，∴DE＝DH－EH＝4.(2)∵DH⊥AB且tan∠HDB＝.136“等角代換法”解三角形6．如圖，在△ABC中，AD，CE是高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，求cos∠DEB.類型思路導(dǎo)引：因?yàn)橄鄬?duì)于∠DEB沒(méi)有已知條件，它又不在直角三角形中，所以可以選擇一個(gè)與∠DEB相等的角來(lái)轉(zhuǎn)換，又易證得△DBE∽△ABC，所以有∠ACB＝∠DEB.6“等角代換法”解三角形6．如圖，在△ABC中，AD，CE是14解：∵AD，CE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.∵∠B＝∠B，∴△ADB∽△CEB，∴

∵∠B＝∠B，∴△DBE∽△ABC.∴∠ACB＝∠DEB.設(shè)CD＝x，則DB＝6－x.在Rt△ABD中，AD2＝AB2－DB2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2，解：∵AD，CE是△ABC的高，15∴AB2－DB2＝AC2－CD2.∵AB＝4，AC＝5，∴42－(6－x)2＝52－x2，解得x＝.∴在Rt△ACD中，cos∠ACB＝∵∠ACB＝∠DEB，∴cos∠DEB＝.

∴AB2－DB2＝AC2－CD2.167“定義法”解直角三角形7.如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，AB⊥CD，⊙O的切線BF與弦AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.(1)求證：CD∥BF；(2)若⊙O的半徑為5，cos∠BAD＝

，求線段AD的長(zhǎng)．類型7“定義法”解直角三角形7.如圖，已知⊙O的直徑AB與弦17(1)證明：∵BF是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，∴BF⊥AB，∵CD⊥AB，∴CD∥BF.(2)解：如圖，連接BD，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半徑是5，∴AB＝10，∵cos∠BAD＝

，∴AD＝AB?cos∠BAD＝10×＝8.(1)證明：∵BF是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，188“等比代換法”解直角三角形8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB分別與x，y軸交于點(diǎn)B，A，與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)C，D，CE⊥x軸于點(diǎn)E，tan∠ABO＝

，OB＝4，OE＝2.(1)求該反比例函數(shù)的解析式；(2)求直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．類型8“等比代換法”解直角三角形8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy19解：(1)∵tan∠ABO＝∴CE＝3，AO＝2，∴A(0，2)，B(4，0)，C(－2，3)，可求得反比例函數(shù)的解析式為y＝.(2)設(shè)直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，將A(0，2)，B(4，0)的坐標(biāo)代入y＝kx＋b可得b＝2，k＝－，所以解析式為y＝－＋2.解：(1)∵tan∠ABO＝201、聰明的人有長(zhǎng)的耳朵和短的舌頭?！トR格2、重復(fù)是學(xué)習(xí)之母?！掖雀?、當(dāng)你還不能對(duì)自己說(shuō)今天學(xué)到了什么東西時(shí)，你就不要去睡覺(jué)?！ｎD堡4、人天天都學(xué)到一點(diǎn)東西，而往往所學(xué)到的是發(fā)現(xiàn)昨日學(xué)到的是錯(cuò)的。——B.V5、學(xué)到很多東西的訣竅，就是一下子不要學(xué)很多?！蹇?、學(xué)問(wèn)是異常珍貴的東西，從任何源泉吸收都不可恥?！⒉贰と铡しɡ?、學(xué)習(xí)是勞動(dòng)，是充滿思想的勞動(dòng)?！獮跎晁够?、聰明出于勤奮，天才在于積累－－華羅庚9、好學(xué)而不勤問(wèn)非真好學(xué)者。10、書(shū)山有路勤為徑，學(xué)海無(wú)涯苦作舟。11、人的大腦和肢體一樣，多用則靈，不用則廢－茅以升12、你想成為幸福的人嗎？但愿你首先學(xué)會(huì)吃得起苦－－屠格涅夫13、成功＝艱苦勞動(dòng)＋正確方法＋少說(shuō)空話－－愛(ài)因斯坦14、不經(jīng)歷風(fēng)雨，怎能見(jiàn)彩虹－《真心英雄》15、只有登上山頂，才能看到那邊的風(fēng)光。16只會(huì)幻想而不行動(dòng)的人，永遠(yuǎn)也體會(huì)不到收獲果實(shí)時(shí)的喜悅。17、勤奮是你生命的密碼，能譯出你一部壯麗的史詩(shī)。18．成功，往往住在失敗的隔壁！19生命不是要超越別人，而是要超越自己．20．命運(yùn)是那些懦弱和認(rèn)命的人發(fā)明的！２1．人生最大的喜悅是每個(gè)人都說(shuō)你做不到，你卻完成它了！２2．世界上大部分的事情，都是覺(jué)得不太舒服的人做出來(lái)的．２3．昨天是失效的支票，明天是未兌現(xiàn)的支票，今天才是現(xiàn)金．２4．一直割舍不下一件事，永遠(yuǎn)成不了!２5．掃地，要連心地一起掃！２6．不為模糊不清的未來(lái)?yè)?dān)憂，只為清清楚楚的現(xiàn)在努力．２7．當(dāng)你停止嘗試時(shí)，就是失敗的時(shí)候．２8．心靈激情不在，就可能被打?。?．凡事不要說(shuō)＂我不會(huì)＂或＂不可能＂，因?yàn)槟愀具€沒(méi)有去做！３0．成功不是靠夢(mèng)想和希望，而是靠努力和實(shí)踐．３1．只有在天空最暗的時(shí)候，才可以看到天上的星星．３2．上帝說(shuō)：你要什么便取什么，但是要付出相當(dāng)?shù)拇鷥r(jià)．３3．現(xiàn)在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移動(dòng)。３4．寧可辛苦一陣子，不要苦一輩子．３5．為成功找方法，不為失敗找借口．３6．不斷反思自己的弱點(diǎn)，是讓自己獲得更好成功的優(yōu)良習(xí)慣。３7．垃圾桶哲學(xué)：別人不要做的事，我揀來(lái)做?。?．不一定要做最大的，但要做最好的．３9．死的方式由上帝決定，活的方式由自己決定！４0．成功是動(dòng)詞，不是名詞！20、不要只會(huì)吃奶，要學(xué)會(huì)吃干糧，尤其是粗茶淡飯。1、聰明的人有長(zhǎng)的耳朵和短的舌頭?！トR格21第二十八章

銳角三角函數(shù)28.2解直角三角形及其應(yīng)用第2課時(shí)解直角三角形

的八種類型第二十八章銳角三角函數(shù)28.2解直角三角形及其應(yīng)用第22

名師點(diǎn)金解直角三角形時(shí)，首先要分析直角三角形中的已知元素，根據(jù)已知元素利用勾股定理、邊角關(guān)系、斜邊上的中線性質(zhì)，30°角所對(duì)直角邊的性質(zhì)進(jìn)行求解．求邊的長(zhǎng)度時(shí)，一般要選擇題目中的原始數(shù)據(jù)，盡量避免用中間所得的結(jié)果參與計(jì)算．名師點(diǎn)金解直角三角形時(shí)，首先要分析直角三角形中的已知元素，231類型已知兩邊解直角三角形1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形．(1)a＝

，b＝；(2)a＝

，b＝10.1類型已知兩邊解直角三角形1．在Rt△ABC中，∠C＝90°24解：(1)tanA＝

＝，∴∠A＝60°，∴∠B＝30°.c＝2b＝12.(2)tanA＝

＝

，∴∠A＝60°，∴∠B＝30°.c＝2b＝20.解：(1)tanA＝＝，252已知一邊和一個(gè)銳角解直角三角形類型2．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°.(1)若c＝10，求a，b的值；(2)若a＝4，求b及∠B的值．解：(1)a＝c?sinA＝10?sin60°＝5，b＝c?cosA＝10?cos60°＝5；2已知一邊和一個(gè)銳角解直角三角形類型2．在△ABC中，∠C＝26(2)∠B＝90°－∠A＝30°.(2)273已知一邊和一銳角的三角函數(shù)值解直角三角形類型3.(中考?上海)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)，BE⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.已知AC＝15，cosA＝.(1)求線段CD的長(zhǎng)；(2)求sin∠DBE的值．3已知一邊和一銳角的三角函數(shù)值解直角三角形類型3.(中考?28解：

(1)在Rt△ACB中，cosA＝，即(2)由(1)可得AD＝BD＝CD＝

，∴.設(shè)DE＝x，EB＝y(tǒng)，則

∴sin∠DBE＝解：(1)在Rt△ACB中，cosA＝294“化斜為直”法解三角形4．(2015?齊齊哈爾)已知BD為等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝

，求CD的長(zhǎng)．類型解：分兩種情況：①如圖①，∠BAC為鈍角，AB＝AC，在Rt△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝

，∴AD＝

，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2＋.4“化斜為直”法解三角形4．(2015?齊齊哈爾)已知BD為30②如圖②，∠BAC為銳角，AB＝AC，在Rt△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝3，∴AD＝

，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2－.綜上所述，CD的長(zhǎng)為2＋

或2－.②如圖②，∠BAC為銳角，AB＝AC，在Rt△ABD中，∵315“參數(shù)法”解直角三角形5．如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝10，D為△ABC外一點(diǎn)，連接AD，BD，過(guò)D作DH⊥AB，垂足為H，交AC于E.(1)若△ABD是等邊三角形，求DE的長(zhǎng)；(2)若BD＝AB，且tan∠HDB＝

，求DE的長(zhǎng)．類型5“參數(shù)法”解直角三角形5．如圖，已知△ABC是等腰直角三角32(1)∵△ABD是等邊三角形，AB＝10.∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝10.∵DH⊥AB，∴AH＝

AB＝5.∴

∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°.∴∠AEH＝45°，∴EH＝AH＝5.∴DE＝DH－EH＝解：(1)∵△ABD是等邊三角形，AB＝10.解：33(2)∵DH⊥AB且tan∠HDB＝.∴可設(shè)BH＝3k，則DH＝4k，DB＝5k(k>0)．∵BD＝AB＝10，∴5k＝10，解得k＝2.∴DH＝8，BH＝6，AH＝4.又∵EH＝AH＝4，∴DE＝DH－EH＝4.(2)∵DH⊥AB且tan∠HDB＝.346“等角代換法”解三角形6．如圖，在△ABC中，AD，CE是高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，求cos∠DEB.類型思路導(dǎo)引：因?yàn)橄鄬?duì)于∠DEB沒(méi)有已知條件，它又不在直角三角形中，所以可以選擇一個(gè)與∠DEB相等的角來(lái)轉(zhuǎn)換，又易證得△DBE∽△ABC，所以有∠ACB＝∠DEB.6“等角代換法”解三角形6．如圖，在△ABC中，AD，CE是35解：∵AD，CE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.∵∠B＝∠B，∴△ADB∽△CEB，∴

∵∠B＝∠B，∴△DBE∽△ABC.∴∠ACB＝∠DEB.設(shè)CD＝x，則DB＝6－x.在Rt△ABD中，AD2＝AB2－DB2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2，解：∵AD，CE是△ABC的高，36∴AB2－DB2＝AC2－CD2.∵AB＝4，AC＝5，∴42－(6－x)2＝52－x2，解得x＝.∴在Rt△ACD中，cos∠ACB＝∵∠ACB＝∠DEB，∴cos∠DEB＝.

∴AB2－DB2＝AC2－CD2.377“定義法”解直角三角形7.如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，AB⊥CD，⊙O的切線BF與弦AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.(1)求證：CD∥BF；(2)若⊙O的半徑為5，cos∠BAD＝

，求線段AD的長(zhǎng)．類型7“定義法”解直角三角形7.如圖，已知⊙O的直徑AB與弦38(1)證明：∵BF是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，∴BF⊥AB，∵CD⊥AB，∴CD∥BF.(2)解：如圖，連接BD，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半徑是5，∴AB＝10，∵cos∠BAD＝

，∴AD＝AB?cos∠BAD＝10×＝8.(1)證明：∵BF是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，398“等比代換法”解直角三角形8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB分別與x，y軸交于點(diǎn)B，A，與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)C，D，CE⊥x軸于點(diǎn)E，tan∠ABO＝

，OB＝4，OE＝2.(1)求該反比例函數(shù)的解析式；(2)求直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．類型8“等比代換法”解直角三角形8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy40解：(1)∵tan∠ABO＝∴CE＝3，AO＝2，∴A(0，2)，B(4，0)，C(－2，3)，可求得反比例函數(shù)的解析式為y＝.(2)設(shè)直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，將A(0，2)，B(4，0)的坐標(biāo)代入y＝kx＋b可得b＝2，k＝－，所以解析式為y＝－＋2.解：(1)∵tan∠ABO＝411、聰明的人有長(zhǎng)的耳朵和短的舌頭?！トR格2、重復(fù)是學(xué)習(xí)之母?！掖雀?、當(dāng)你還不能對(duì)自己說(shuō)今天學(xué)到了什么東西時(shí)，你就不要去睡覺(jué)?！ｎD堡4、人天天都學(xué)到一點(diǎn)東西，而往往所學(xué)到的是發(fā)現(xiàn)昨日學(xué)到的是錯(cuò)的。——B.V5、學(xué)到很多東西