人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)軸對(duì)稱解答題單元測(cè)試與練習(xí)(word解析版)一、八年級(jí)數(shù)學(xué)軸對(duì)稱解答題壓軸題(難)1.如圖，在△ABC中，AB=AC,BD平分ZABC交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BD=DE.點(diǎn)G是線段BC的中點(diǎn)，連結(jié)AG,交BD于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)D作DH丄BC,垂足為H.求證：'DCE為等腰三角形；若ZCDE=22.5°,DC=邁，求GH的長(zhǎng)；探究線段CE,GH的數(shù)量關(guān)系并用等式表示，并說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)2；(3)CE=2GH,理由見(jiàn)解析.2【解析】【分析】11根據(jù)題意可得ZCBD=-ZABC=-ZACB,，由BD=DE，可得ZDBC=ZE=11-ZACB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得ZCDE=-ZACB=ZE,可證△DCE為等腰三角形；根據(jù)題意可得CH=DH=1,AABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性質(zhì)可得BG=GC,BH=HE=、：'2+1,即可求GH的值；CE=2GH，根據(jù)等腰三角形的性可得BG=GC,BH=HE，可得GH=GC-HC=GC-111(HE-CE)=：BC-BE+CE=CE,即CE=2GH---【詳解】證明：(1)VAB=AC,.\ZABC=ZACB,?:BD平分/ABC,11:.ZCBD=-/ABC=-ZACB,:BD=DE,1.\ZDBC=ZE=-/ACB,:/ACB=/E+/CDE,11???”2zac—e,：?CD=CE,???△DCE是等腰三角形（2）?.?ZCDE=22.5°,CD=CEf2,??ZDCH=45°,且DH丄BC,:.ZHDC=ZDCH=45°:.DH=CH,DH2+CH2=DC2=2,:.DH=CH=1,VZABC=ZDCH=45°^△abc是等腰直角三角形，又???點(diǎn)G是BC中點(diǎn):.ag±bc,ag=gc=bg,?:BD=DE,DH±BC:.BH=HE=曇+1：BH=BG+GH=CG+GH=CH+GH+GH=邁+1：?1+2GH=邁+1：GH=2(3)CE=2GH理由如下：：AB=CA，點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，:BG=GC,?:BD=DE,DH丄BC,:BH=HE,111：GH=GC-HC=GC-(HE-CE)=kBC-BE+CE=CE,222:CE=2GH【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題,考查了角平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵.2.(問(wèn)題情境)學(xué)習(xí)《探索全等三角形條件》后，老師提出了如下問(wèn)題：如圖①，AABC中，若AB=12，AC=8，求BC邊上的中線AD的取值范圍.同學(xué)通過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD，連接BE.根據(jù)SAS可證得到△ADC9AEDB，從而根據(jù)“三角形的三邊關(guān)系"可求得AD的取值范圍是.解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)"“中線"等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中.ALC圖§2圖ALC圖§2圖3(直接運(yùn)用)如圖②，AB丄AC，AD丄AE，AB=AC，AD=AE，AF是ACD的邊CD上中線.求證：BE=2AF.(靈活運(yùn)用)如圖③，在AABC中，ZC=90°,D為AB的中點(diǎn)，DE丄DF，DE交AC于點(diǎn)E，DF交AB于點(diǎn)F,連接EF,試判斷以線段AE、BF、EF為邊的三角形形狀，并證明你的結(jié)論.【答案】(1)2VADV10；(2)見(jiàn)解析(3)為直角三角形，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】根據(jù)△ADC9AEDB，得到BE=AC=8，再根據(jù)三角形的構(gòu)成三角形得到AE的取值，再根據(jù)D為AE中點(diǎn)得到AD的取值；延長(zhǎng)AF至I」H,使AF=日卩，故厶ADF9AHCF，AH=2AF,由AB丄AC，AD丄AE,得至I」ZBAE+ZCAD=180°，又ZACH+ZCAH+ZAHC=180°,根據(jù)ZD=ZFCH,ZDAF=ZCHF,得至OZACH+ZCAD=180°,故ZBAE=ACH，再根據(jù)AB=AC,AD=AE即可利用SAS證明△BAE9AACH,故BE=AH,故可證明BE=2AF.延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=FD，連結(jié)GA,GE,證明△DBF^^DAG,故得到FD=GD,BF=AG,由DE丄DF,得到EF=EG,再求出ZEAG=90°,利用勾股定理即可求解.【詳解】°.仏ADC9AEDB,.??BE=AC=8,VAB=12,???12-8VAEV12+8,即4VAEV20,YD為AE中點(diǎn)?2VADV10；延長(zhǎng)AF到H,使AF=HF,由題意得厶ADF9AHCF，故AH=2AF,TAB丄AC,AD丄AE,.??ZBAE+ZCAD=180°,又ZACH+ZCAH+ZAHC=180°,VZD=ZFCH,ZDAF=ZCHF,???ZACH+ZCAD=180°,故ZBAE=ACH,又AB=AC,AD=AE.?.△BAE9AACH(SAS),故BE=AH,又AH=2AF.BE=2AF.以線段AE、BF、EF為邊的三角形為直角三角形，理由如下:延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=FD，連結(jié)GA,GE,由題意得△DBF9AADG,.FD=GD,BF=AG,TDE±DF,.DE垂直平分GF,.EF=EG,VZC=90°,/.ZB+ZCAB=90°,又ZB=ZDAG,/.ZDAG+ZCAB=90°.??ZEAG=90°,故EG2=AE2+AG2,TEF=EG,BF=AG.EF2=AE2+BF2,則以線段AE、BF、EF為邊的三角形為直角三角形.

【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，根據(jù)垂直平分線與勾股定理進(jìn)行求解.3.如圖，在等腰直角△ABC中，AB=AC,ZBAC=90。，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD，AE丄AD且AE=AD，連接BD、CE交于點(diǎn)F.如圖1,求ZBFC的度數(shù)；如圖2,連接ED交BC于點(diǎn)G，連接AG，若AG平分ZBAD，求證：ZEAC=2ZEDF；(3)如圖3，在(2)的條件下，BF交AG、AC分別于點(diǎn)M、N，DH丄AM，連接HN，若AADN的面積與DHN的面積差為6，DF=6，求四邊形AMFE的面積.【答案】(1)ZBFC=90°；(2)見(jiàn)解析；(3)S四邊形amfe=20.【解析】【分析】根據(jù)SAS證明ABD9ACE，所以ZABD=ZACF，所以ZBFC=ZBAC=90。.根據(jù)題意先求出ZABG+ZADG=180。，在AB上截取AK=AD，連接KG，由△△AKG9ADG，ZBKG+ZAKG=180。，可證得ZBKG=ZKBG，GB=GK=DG，所以ZDBG=ZBDG=ZEDF=a，因?yàn)閆CAE=ZBAD=2，所以△△ZCAE=2ZEDF.(3)根據(jù)題意和(2)中結(jié)論先證明AD=AN=AE，過(guò)A作BF、CE垂線，垂足分DP=x，DR=y，所以SAADN-SADHN：別為R、T，連接AF，證明ANR9AET，所以AR=AT，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出DM=DP=x，DR=y，所以SAADN-SADHN：△△DF=2x+2y=6，求2.DN?AR-2DN?DF=2x+2y=6，求出x，y，不難得到S=S=S=4，然后可得S=20出,y，l難得土Jaaefaanfaadm，然后」得四邊形amfe■【詳解】(1)因?yàn)锳BC是等腰直角三角形，所以AB=AC，ZBAC=90o=ZDAE，所以ZBAD=ZCAE，因?yàn)锳D=AE，所以ABD9ACE，所以ZABD=ZACF，所以ZBFC=ZBAC=90。.△(2)因?yàn)锳D二AE,ZDAE=90。，所以ZAED=45O=ZACG，所以/CAE=上CGE,由(1)知：/BAD=/CAE，所以/BAD=ZCGD,設(shè)/BAD=2a=/CGD,所以/BGD=180?！?，所以/BAD+/BGD=180。,所以/ABG+/ADG=180。，因?yàn)锳G平分/BAD，所以/BAG=/DAG=a，在AB上截取AK=AD，連接KG，因?yàn)锳G=AG，所以AKG=ADG，所以/AKG=/ADG，DG=KG，因?yàn)?BKG+/AKG=180。，所以/BKG=/KBG，所以GB=GK=DG，△所以/DBG=/BDG=/EDF=a，因?yàn)?CAE=/BAD=2a，所以/CAE=2/EDF.(3)由(2)知：/BAG=/DBG=a，因?yàn)?BAC=90。，/ABC=45。，所以/ABN=45。—a，因?yàn)?BAD=2a，所以/ADN=45。+a，因?yàn)?DAN=90。—2a，所以/AND=45°+a=/ADN，所以AD=AN，因?yàn)锳D=AE，所以AE=AN，過(guò)A作BF、CE垂線，垂足分別為R、T，連接AF，因?yàn)?ACE=/ABD=45。—a，/CAE=2a，所以/AET=45°+a=/ANR，因?yàn)锳E=AN，所以ANR9AET，所以AR=AT,所以FA平分/BFT，所以/AFN=/AFE=45。，因?yàn)?AMN=45。，所以/AFM二/AMF，所以AF二AM，所以FR二MR，因?yàn)镈r=rN,所以DM=FN，過(guò)點(diǎn)h作HP丄FM，垂足為P，因?yàn)?AMN=45。,/DHM=90。，所以/MHP=/DHP=/HDP=45。，所以HP二PM二DP,設(shè)DP=x,所以DM=FN=2x,設(shè)DR=y,所以DN=2y，所以MR=2x+y，因?yàn)?MAR=45。,所以AR=MR=2x+y,所以S—S=1?DN-AR-1DN-HPAADNADHN=y(x+y)=6,因?yàn)镈F=2x+2y=6，所以x+y=3，所以y=2,x=1,因?yàn)锳F=AF,ZANF=ZAEF，所以AEF竺ANF，所以FN=EF，因?yàn)锳R=AT，所以S=S=S，因?yàn)镾=1-DMUR=4,AAEFAANFAADMAADM2所以S=S+S+S+S=20四邊形AMFEAADMAADNAANFAAEF【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的難點(diǎn)在于學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形全等解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.4.(1)如圖①，D是等邊△ABC的邊BA上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合)，連接DC,以DC為邊，在BC上方作等邊ADCF，連接AF，你能發(fā)現(xiàn)AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；如圖②，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊△ABC邊BA的延長(zhǎng)線時(shí)，其他作法與(1)相同，猜想AF與BD在(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；1.如圖③，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△ABC邊BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)D與B不重合)，連接DC，以DC為邊在BC上方和下方分別作等邊厶DCF和等邊△DCF',連接AF，BF'，探究AF，BF'與AB有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的探究的結(jié)論；II?如圖④，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△ABC的邊BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他作法與圖③相同，I中的結(jié)論是否成立？若不成立，是否有新的結(jié)論？并證明你得出的結(jié)論.圖①圖②圖③圏吐【答案】(1)AF=BD,理由見(jiàn)解析；(2)AF與BD在(1)中的結(jié)論成立，理由見(jiàn)解析;(3)1.AF+BF'=AB,理由見(jiàn)解析，11.1中的結(jié)論不成立，新的結(jié)論是AF=AB+BF‘，理由見(jiàn)解析．【解析】【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得BC=AC,ZBCA=60°,DC=CF,ZDCF=60°，從而得ZBCD=ZACF，根據(jù)SAS證明△BCD^^ACF,進(jìn)而即可得到結(jié)論；根據(jù)SAS證明△BCD^^ACF,進(jìn)而即可得到結(jié)論；I.易證△BCD^AACF(SAS),^BCFZ^^ACD(SAS)，進(jìn)而即可得到結(jié)論；II.證明△BCF'^AACD,結(jié)合AF=BD,即可得到結(jié)論.【詳解】結(jié)論：AF=BD，理由如下：如圖1中，???△ABC是等邊三角形，.\BC=AC,ZBCA=60°,同理知，DC=CF,ZDCF=60°,???ZBCA-ZDCA=ZDCF-ZDCA，即：ZBCD=ZACF,在ABCD和AACF中，'BC=AC/BCD=ZACF,、DC=FC.?.△BCD^AACF(SAS),BD=AF；AF與BD在(1)中的結(jié)論成立，理由如下：如圖2中‘?△ABC是等邊三角形，BC=AC，ZBCA=60°，同理知，DC=CF，ZDCF=60°，???ZBCA+ZDCA=ZDCF+ZDCA,即ZBCD=ZACF,在ABCD和AACF中，'BC=AC/BCD=ZACF,、DC=FC.?.△BCD9AACF(SAS),BD=AF；I.AF+BF'=AB，理由如下：由(1)知，△BCD^AACF(SAS)，則BD=AF；同理：△BCF'^AACD(SAS)，則BF'=AD,.??AF+BF'=BD+AD=AB；II.I中的結(jié)論不成立，新的結(jié)論是AF=AB+BFZ,理由如下：同理可得：ZBCF=ZACD,FC=DC,在和厶ACD中，'BC=AC<ZBCF=AACD,、FC=DC.?.△BCF'^AACD(SAS),.??BF'=AD,又由(2)知，AF=BD，.??AF=BD=AB+AD=AB+BF‘，即卩AF=AB+BF‘.【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)定理,三角形全等的判定和性質(zhì)定理,熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)定理,是解題的關(guān)鍵.5.在等邊AABC中，點(diǎn)O在BC邊上，點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上且OA=OD.如圖1,若點(diǎn)O為BC中點(diǎn)，求ZCOD的度數(shù)；如圖2,若點(diǎn)O為BC上任意一點(diǎn)，求證AD=AB+BO.如圖3,若點(diǎn)O為BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)p，連接AP，OP，請(qǐng)判斷AAOP的形狀，并說(shuō)明理由.【答案】(1)30。；(2)見(jiàn)解析；(3)AAOP是等邊三角形，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】1根據(jù)三角形的等邊三角形的性質(zhì)可求ACAO=2ABAC=30。且AO丄BC，AAOC=90。，根據(jù)OA=OD，等腰三角形的性質(zhì)得到AD的度數(shù)，再通過(guò)內(nèi)角和定理求AAOD，即可求出ACOD的度數(shù).過(guò)O作OE//AB,OE交AD于E先證明ACOE為等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求AAEO=120。,ADCO=120。，再證明AAOE仝ADOC(AAS)，得到CD=EA，再通過(guò)證明得到EA=BO、AB=AC通過(guò)，又因?yàn)锳D=AC+CD，通過(guò)等量代換即可得到答案.通過(guò)作輔助線先證明AODFzAOPF(SAS)，得到OP=OD，又因?yàn)镺A=OD,得到AO=OP,證得AAOP為等腰三角形，如解析輔助線，由(2)可知得AAOE仝ADOC得到ZAOE=ZDOC,通過(guò)角的關(guān)系得到ZAOP=ZCOE=60°，即可證得AAOP是等邊三角形.【詳解】?.?AABC為等邊三角形???ZBAC=60°?O為BC中點(diǎn)1.??ZCAO=-ZBAC=30°2且AO丄BC,ZAOC=90°?OA=OD???AAOD中，ZD=ZCAO=30°???ZAOD=180°—ZD-ZCAO=120°.??ZCOD=ZAOD—ZAOC=30°過(guò)O作OE//AB，OE交AD于EOE//ABZEOC=ZABC=60°ZCEO=ZCAB=60°???ACOE為等邊三角形OE=OC=CEZAEO=180°—ZCEO=120°ZDCO=180°—ZACB=120°又?OA=ODZEAO=ZCDO在AAOE和ACOD中ZAOE=ZDOC<ZEAO=ZCDOOA=OD.?.AAOE=ADOC(AAS).??CD=EA???EA=AC-CEBO=BC—CO.??EA=BO.??BO=CD,???AB=AC,AD=AC+CDAD=AB+BO(3)AAOP為等邊三角形證明過(guò)程如下：連接PC,PD，延長(zhǎng)OC交PD于FP、D關(guān)于OC對(duì)稱.?.PF=DF,ZPFO=ZDFO=90。在AODF與AOPF中，'PF=DF<ZPFO=ZDFO、OF=OF???AODF=AOPF(SAS).OP=OD,ZPOC=ZDOCOA=OD.AO=OP.AAOP為等腰三角形過(guò)O作OE//AB,OE交AD于E由(2)得AAOE=ADOC.ZAOE=ZDOC又???ZPOC=ZDOC.ZAOE=ZPOF.??ZAOE+ZPOE=ZPOF+ZPOE即ZAOP=ZCOE?.?AB〃OE,ZB=60°???上COE=ZB=60。???ZAOP=ZCOE=60°???AAOP是等邊三角形.【點(diǎn)睛】本題是考查了全等三角形和等邊三角形的綜合性問(wèn)題,靈活應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)得到邊與角的關(guān)系,以及等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.6.已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)P,Q分別是直線AB,BC上的動(dòng)點(diǎn).如圖1,當(dāng)點(diǎn)P從頂點(diǎn)A沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從頂點(diǎn)B沿BC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，它們的速度都為lcm/s，到達(dá)終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接AQ,PQ.當(dāng)t=2時(shí)，求ZAQP的度數(shù).當(dāng)t為何值時(shí)'PBQ是直角三角形？如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，Q在BC上，若PQ=PC,請(qǐng)判斷AP,CQ和AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.48【答案】(1)①ZAQP=30°；②當(dāng)t=3秒或t=3秒時(shí)，APBQ為直角三角形；(2)AC=AP+CQ，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】①由△ABC是等邊三角形知AQ丄BC,ZB=60。，從而得ZAQB=90°,^BPQ是等邊三角形，據(jù)此知ZBQP=60。，繼而得出答案；②由題意知AP=BQ=t,PB=4-t,再分ZPQB=90。和ZBPQ=90。兩種情況分別求解可得.過(guò)點(diǎn)Q作QF〃AC,交AB于F,知ABOF是等邊三角形，證ZQFP=ZPAC=120°.ZBPQ=ZACP，從而利用AAS可證△PQF9ACPA，得AP=QF,據(jù)此知AP=BQ，根據(jù)BQ+CQ=BC=AC可得答案.【詳解】解：(1)①根據(jù)題意得AP=PB=BQ=CQ=2,???△ABC是等邊三角形，AQ±BC,ZB=60°,??/AQB=90°,△BPQ是等邊三角形，ZBQP=60°,ZAQP=ZAQB-ZBQP=90°-60°=30°；②由題意知AP=BQ=t,PB=4-t,當(dāng)ZPQB=90。時(shí)，TZB=60°,4??PB=2BQ，得:4-t=2t，解得t=3，當(dāng)ZBPQ=90。時(shí)，TZB=60°,??BQ=2BP,得t=2(4-t)，解得t=8；3，48?當(dāng)t=3秒或t=3秒時(shí)，△PBQ為直角三角形;AC=AP+CQ，理由如下：如圖所示，過(guò)點(diǎn)Q作QFIIAC,交AB于F,則厶BQF是等邊三角形，BQ=QF，ZBQF=ZBFQ=60°，T△ABC為等邊三角形，BC=AC，ZBAC=ZBFQ=60°，ZQFP=ZPAC=120°，TPQ=PC，ZQCP=ZPQC，TZQCP=ZB+ZBPQ，ZPQC=ZACB+ZACP，ZB=ZACBZBPQ=ZACP，在厶PQF和厶CPA中，'ZBPQ=ZACPt<ZQFP=ZPACPQ=PC△PQF里△CPA(AAS),AP=QF,AP=BQ,.BQ+CQ^BC^AC,.AP+CQ=AC?【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn):等邊三角形的判定和性質(zhì).利用全等三角形判定和性質(zhì)分析問(wèn)題是關(guān)鍵.7?如圖,在等邊△ABC中,線段AM為BC邊上的高，D是AM上的點(diǎn),以CD為一邊，在CD的下方作等邊ACDE,連結(jié)BE.(1)填空:乙ACB=；ZCAM=；(2)求證：△AOC^△BEC；(3)延長(zhǎng)BE交射線AM于點(diǎn)F，請(qǐng)把圖形補(bǔ)充完整,并求ZBFM的度數(shù)；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在射線AM上,且在BC下方時(shí),設(shè)直線BE與直線AM的交點(diǎn)為F.ZBFM的大小是否發(fā)生變化？若不變,請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中面出圖形,井直接寫出ZBFM的度數(shù)；若變化，請(qǐng)寫出變化規(guī)律.督用圖【答案】(1)60°,30°；(2)答案見(jiàn)解析；(3)60°；(4)ZBFM=60°?【解析】【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可進(jìn)行解答；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AC=AC,DC=EC,ZACB=ZDCE=60°,由等式的性質(zhì)就可以ZBCE=ZACD，根據(jù)SAS就可以得出△ADC^^BEC；補(bǔ)全圖形，由△ADC9ABEC得ZCAM=ZCBE=30°,由三角形內(nèi)角和定理即可求得ZBFM的度數(shù)；畫出相應(yīng)圖形，可知當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上且在BC下方時(shí)，如圖，可以得出△ACD^^BCE,進(jìn)而得到ZCBE=ZCAD=30°,據(jù)此得出結(jié)論.【詳解】(1)V△ABC是等邊三角形，.\ZACB=60°；???線段AM為BC邊上的高，11???ZCAM=2ZBAC=30°,故答案為60，30°；?「△ABC與ADEC都是等邊三角形,.??AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,???ZACD+ZDCB=ZDCB+ZBCE,???ZACD=ZBCE.在AADC和ABEC中，'AC=BC<ZACD=/BCE,CD=CE.?.△ACD9ABCE(SAS)；(3)補(bǔ)全圖形如下：由(1)(2)得ZCAM=30°,△ADC^ABEC,.\ZCBE=ZCAM=30°,VZBMF=90°,.??ZBFM=60°；(4)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在射線AM上，且在BC下方時(shí)，畫出圖形如下:???AABC與ADEC都是等邊三角形，/.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,???ZACB+ZDCB=ZDCB+ZDCE,???ZACD=ZBCE,在AACD和ABCE中,'AC=BC<ZACD=/BCE,CD=CE.?.△ACD9ABCE(SAS),.??ZCBE=ZCAD=30°,又?.?ZAMC=ZBMO,.??ZAOB=ZACB=60°.即動(dòng)點(diǎn)D在射線AM上時(shí),ZAOB為定值60°.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.解題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，且都等于60°.8.如圖，在等邊三角形ABC右側(cè)作射線CP,ZACP=么(0°<a<60°)，點(diǎn)A關(guān)于射線CP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,BD交CP于點(diǎn)E,連接AD,AE.(1)求ZDBC的大小(用含a的代數(shù)式表示)；在么(0°<<60°)的變化過(guò)程中，ZAEB的大小是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)直接寫出變化的范圍；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)直接寫出ZAEB的大小；用等式表示線段AE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.【答案】(1)ZDBC=60o-a；(2)ZAEB的大小不會(huì)發(fā)生變化，且ZAEB=60°；(3)BD=2AE+CE，證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】如圖1,連接CD,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AC=DC,/DCP=/ACP=a，由MBC是等邊三角形可得AC=BC,ZACB=60°,進(jìn)一步即得ZBCD=60。+2a,BC=DC,然后利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)果；設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)H,如圖2,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可證明△ACE^ADCE,可得ZCAE=ZCDE,進(jìn)而得ZDBC=ZCAE,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得ZAEB=ZBCA，即可作出判斷；如圖3,在BD上取一點(diǎn)M,使得CM=CE，先利用三角形的外角性質(zhì)得出ZBEC=60。，進(jìn)而得ACME是等邊三角形，可得ZMCE=60°,ME=CE，然后利用角的和差關(guān)系可得ZBCM=ZDCE，再根據(jù)SAS證明△BCM竺ADCE，于是BM=DE,進(jìn)一步即可得出線段AE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系.【詳解】解：（1）如圖1,連接CD,?:點(diǎn)A關(guān)于射線CP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,???AC=DC,ZDCP=ZACP=,:△ABC是等邊三角形，?AC=BC,ZACB=60°,:.ZBCD=60°+2,BC=DC,180°—ZBCD180?！?0。+2a）???ZDBC=ZBDC===60°—a；22(2)ZAEB的大小不會(huì)發(fā)生變化，且ZAEB=60°.理由：設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)H,如圖2,?:點(diǎn)A關(guān)于射線CP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,:.AC=DC,AE=DE,又：CE=CE,?AACE9ADCE(SSS),?ZCAE=ZCDE,?:ZDBC=ZBDC,AZDBC=ZCAE,又?：ZBHC=ZAHE,?ZAEB=ZBCA=60°,即ZAEB的大小不會(huì)發(fā)生變化，且ZAEB=60°；(3)AE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是：BD=2AE+CE.證明：如圖3,在BD上取一點(diǎn)M,使得CM=CE,?:ZBEC=ZBDC+ZDCE=60°—a+a=60°,:.△CME是等邊三角形，??ZMCE=60°,ME=CE,:.ZBCM=上BCD—ZMCE—ZDCE=60°+2a—60°—a=a,???ZBCM=ZDCE，又:BC=DC,CM=CE,:.△BCM^^DCE(SAS),?BM=DE,:AE=DE，?BD=BM+ME+DE=2DE+ME=2AE+CE.

本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理和軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握并運(yùn)用上述知識(shí)解題的關(guān)鍵.9．(1)操作：如圖，在已知內(nèi)角度數(shù)的三個(gè)三角形中，請(qǐng)用直尺從某一頂點(diǎn)畫一條線段，把原三角形分割成兩個(gè)等腰三角形，并在圖中標(biāo)注相應(yīng)的角的度數(shù)^AJ0C=23°ZABC=23°ZABC=23°ZBA0900ZBAC=lllDZBAC=88<>.(2)拓展，AABC中，AB=AC,ZA=45°,請(qǐng)把AABC分割成三個(gè)等腰三角形，并在圖中標(biāo)注相應(yīng)的角的度數(shù).(3)思考在如圖所示的三角形中ZA=30°.點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是邊AC和BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)?分別連接BP和PQ把AABC分割成三個(gè)三角形.AABP,△BPQ,△PQC若分割成的這三個(gè)三角【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）ZC所有可能的值為10°、20°、25°,35°、40°、50°、80°、100°.【解析】【分析】（1）在圖1、圖2、圖3中，分別作AB、AB、BC的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)及外角的性質(zhì)求出各角度數(shù)即可；（2）分別作AB、BC的垂直平分線，交于點(diǎn)0,連接0A、OB、0C可得三角形OAB、OAC、0BC為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及外角性質(zhì)求出各角度數(shù)即可；（3）分PB=PA、AB=AP、BA=BP時(shí)，PB=PQ、BP=BQ、QB=QP,PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別求出ZC的度數(shù)即可.【詳解】（1）在圖1、圖2、圖3中，分別作AB、AB、BC的垂直平分線，如圖1，VZABC=23°，ZBAC=90°，.??ZC=90°-23°=67°,?.?MN垂直平分AB，.BD=AD，.△ABD是等腰三角形，.ZBAD=ZABC=23°，.ZADC=2ZABC=46°，?ZBAC=90°，.ZDAC=ZBAC-ZBAD=67°，.ZDAC=ZC，.△DAC是等腰三角形，同理：圖2中，ZADC=46°,ZDAC=88°,ZC=46°,△ABD和厶ACD是等腰三角形,圖3中，ZBCD=23°,ZADC=46°,ZACD=46°,△BCD和厶ACD是等腰三角形.（2）作AB、BC的垂直平分線，交于點(diǎn)0,連接0A、OB、0C,?點(diǎn)O是三角形垂直平分線的交點(diǎn)，.OA=OB=OC，.?.△OAB、AOAC、AOBC是等腰三角形,?AB=AC，ZBAC=45°，.ZABC=ZACB=67.5°，:.AD是BC的垂直平分線，.??ZBAD=ZCAD=22.5°,???ZOBA=ZOAB=22.5°,ZOCA=ZOAC=22.5°,.??ZOBC=ZOCB=45°.(3)①如圖，當(dāng)PB=PA,PB=PQ,PQ=CQ時(shí),VZA=30°,PB=PQ,.\ZABP=ZA=30°,.\ZAPB=120°,?.?PB=PQ,PQ=CQ,AZPQB=ZPBQ,ZC=ZCPQ,AZPBQ=2ZC,.\ZAPB=ZPBQ+ZC=3ZC=120°,解得：ZC=40°.②如圖，當(dāng)PB=PA,PB=BQ,PQ=CQ時(shí),AZPQB=2ZC,ZPQB=ZBPQ,AZPBQ=180°-2ZPQB=180°-4ZC,???180°-4ZC+ZC=120°,解得：ZC=20°,③如圖，當(dāng)PA=PB,BQ=PQ,CQ=CP時(shí)，1VZPQC=2ZPBQ,ZPQC=2(180°-ZC),1.??ZPBQ=t(180°-ZC),41.??T(180°-ZC)+ZC=120°,4

解得：ZC=100°.④如圖，當(dāng)PA=PB,BQ=PQ,PQ=CP時(shí),VZPQC=ZC=2ZPB