學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE17-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。2函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系最新課程標(biāo)準(zhǔn):運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求方程近似解的基本方法(二分法)，再結(jié)合實(shí)例，更深入地理解用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本過程，學(xué)習(xí)運(yùn)用模型思想發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的方法。知識點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)1．零點(diǎn)的定義一般地，如果函數(shù)y＝f（x)在實(shí)數(shù)α處的函數(shù)值等于零，即f(α)＝0,則稱α為函數(shù)y＝f（x）的零點(diǎn)．2．方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系eq\x（狀元隨筆）函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù),當(dāng)自變量取該值時(shí)，其函數(shù)值等于零．知識點(diǎn)二二次函數(shù)的零點(diǎn)及其與對應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4Δ>0Δ＝0Δ〈0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a>0）的圖像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a>0)的根有兩相異實(shí)根x1,x2(x1〈x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b，2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集{x|x<x1或x〉x2}eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(x≠－\f（b,2a）))))Rax2＋bx＋c〈0（a>0)的解集{x|x1<x<x2}??知識點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的判定函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的，并且f（a）f（b）〈0（即在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號），則函數(shù)y＝f（x)在區(qū)間(a，b）中至少有一個(gè)零點(diǎn),即?x0∈［a，b]，f（x0)＝0.eq\x(狀元隨筆）定理要求具備兩條:①函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線；②f（a）·f(b）＜0.[基礎(chǔ)自測]1．函數(shù)y＝3x－2的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及其零點(diǎn)分別是()A。eq\f(2，3)；eq\f（2，3）B.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2，3），0)）；eq\f(2，3)C．－eq\f(2,3）；－eq\f(2，3)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3），0））；－eq\f（2，3）解析:令3x－2＝0，則x＝eq\f（2，3)，∴函數(shù)y＝3x－2的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2，3)，0）)，函數(shù)零點(diǎn)為eq\f（2，3）.答案:B2．函數(shù)f（x)＝eq\r（3x－x2）的定義域?yàn)椋?A．［0，3］B．(0,3)C．(－∞,0］∪［3，＋∞）D．(－∞，0)∪（3，＋∞）解析:要使函數(shù)f(x)＝eq\r（3x－x2）有意義，則3x－x2≥0，即x2－3x≤0，解得0≤x≤3.答案：A3．函數(shù)f(x）＝x3－x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（)A．0B．1C．2D．3解析：f（x）＝x(x－1)（x＋1)，令x(x－1）（x＋1)＝0,解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函數(shù)的零點(diǎn)為－1，0,1，共3個(gè)．答案:D4．若函數(shù)f(x)＝x2－ax－b的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，則函數(shù)g（x)＝bx2－ax－1的零點(diǎn)是________．解析：由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(22－2a－b＝0,，32－3a－b＝0，））得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，，b＝－6）)∴g(x)＝－6x2－5x－1的零點(diǎn)是－eq\f(1，2），－eq\f（1，3）.答案：－eq\f（1,2），－eq\f(1,3)題型一函數(shù)零點(diǎn)的概念及求法例1(1）下列圖像表示的函數(shù)中沒有零點(diǎn)的是(）（2）不等式－x2－3x＋4>0的解集為________．【解析】(1）由圖觀察，A中圖像與x軸沒有交點(diǎn)，所以A中函數(shù)沒有零點(diǎn)．(2）由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0,解得：－4〈x<1，所以不等式－x2－3x＋4>0的解集為(－4，1）．【答案】(1）A（2)(－4,1）eq\x（狀元隨筆）1。由函數(shù)圖像判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)是看函數(shù)的圖像與x軸是否有交點(diǎn)．2．求函數(shù)對應(yīng)方程的根即為函數(shù)的零點(diǎn)．方法歸納函數(shù)零點(diǎn)的求法求函數(shù)y＝f（x）的零點(diǎn)通常有兩種方法：其一是令f（x）＝0，根據(jù)解方程f(x）＝0的根求得函數(shù)的零點(diǎn)；其二是畫出函數(shù)y＝f（x）的圖像,圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練1若函數(shù)f(x）＝x2＋x－a的一個(gè)零點(diǎn)是－3，求實(shí)數(shù)a的值，并求函數(shù)f(x）其余的零點(diǎn)．解析：由題意知f(－3）＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6。所以f（x)＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2。所以函數(shù)f(x）其余的零點(diǎn)是2。由函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是－3,得f（－3）＝0，求a.題型二確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)[教材P111例6]例2求證:函數(shù)f(x)＝x3－2x＋2至少有一個(gè)零點(diǎn)．【證明】因?yàn)閒（0）＝2〉0，f（－2)＝－8＋4＋2＝－2〈0，所以f（－2）f(0）<0，因此?x0∈[－2，0]，f（x0)＝0,即結(jié)論成立.教材反思判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的三種方法(1）方程法:若方程f(x)＝0的解可求或能判斷解的個(gè)數(shù)，可通過方程的解來判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(2)圖像法：由f（x）＝g（x)－h(huán)（x）＝0,得g(x)＝h(x），在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y1＝g（x)和y2＝h(x）的圖像．根據(jù)兩個(gè)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（3)定理法：函數(shù)y＝f(x）的圖像在區(qū)間［a，b］上是一條連續(xù)不斷的曲線，由f(a）·f(b）＜0即可判斷函數(shù)y＝f(x）在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間（a，b）上是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)f（x)在區(qū)間(a,b）內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練2(1）函數(shù)f(x)＝x－eq\r（x）－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3(2)判斷函數(shù)f(x）＝x－3＋lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解析：(1）令f（x)＝0得x－eq\r（x)－2＝0，設(shè)t＝eq\r(x）(t≥0）,則t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．故eq\r(x）＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一個(gè)根4,所以函數(shù)f（x)有一個(gè)零點(diǎn)．(2）令f（x)＝x－3＋lnx＝0,則lnx＝－x＋3，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y＝lnx與y＝－x＋3的圖像，如圖所示:由圖可知函數(shù)y＝lnx,y＝－x＋3的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f（x)＝x－3＋lnx只有一個(gè)零點(diǎn)．答案:（1)B(2）一個(gè)eq\x(狀元隨筆）思路一：解方程求零點(diǎn)，方程f(x）＝0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；思路二:畫出函數(shù)圖像，依據(jù)圖像與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．題型三判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間例3設(shè)x0是函數(shù)f（x）＝lnx＋x－4的零點(diǎn)，則x0所在的區(qū)間為（）A．（0，1)B．（1,2）C．（2,3)D．（3，4）【解析】因?yàn)閒(2）＝ln2＋2－4＝ln2－2＜0,f(3)＝ln3－1＞lne－1＝0，f(2）·f(3）＜0。由零點(diǎn)存在性定理，得x0所在的區(qū)間為(2,3)．【答案】Ceq\x（狀元隨筆)根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，對照選項(xiàng)，只需驗(yàn)證區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號,或可借助于圖像分析．方法歸納判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個(gè)步驟（1）代入:將區(qū)間端點(diǎn)值代入函數(shù)求出函數(shù)的值．（2)判斷:把所得的函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號判斷．（3)結(jié)論：若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，若符號為負(fù)且函數(shù)連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練3函數(shù)f（x）＝2x－1＋x－5的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A。(0,1)B．（1,2）C．（2，3)D．(3,4）解析：f（2)＝22－1＋2－5＜0，f(3)＝23－1＋3－5＞0，故f(2）·f（3)＜0，又f(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù),則函數(shù)f（x)＝2x－1＋x－5只有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)所在的區(qū)間為（2，3）．答案：C利用f（a)·f(b)＜0求零點(diǎn)區(qū)間．題型四函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用[經(jīng)典例題］例4已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(｜x|，x≤m,,x2－2mx＋4m，x〉m,)）其中m〉0.若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根,則m的取值范圍是________．【解析】作出f（x)的圖像如圖所示．當(dāng)x>m時(shí)，x2－2mx＋4m＝(x－m）2＋4m－m∴要使方程f（x)＝b有三個(gè)不同的根，則4m－m2〈m，即m2－3又m〉0，解得m>3.【答案】（3，＋∞)方法歸納已知函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)的步驟及方法（1)步驟：①判斷函數(shù)的單調(diào)性;②利用零點(diǎn)存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式(組）;③解不等式（組）,即得參數(shù)的取值范圍．（2)方法:常利用數(shù)形結(jié)合法．跟蹤訓(xùn)練4已知關(guān)于x的方程｜x2－4x＋3｜－a＝0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值是________．解析：如圖，由圖像知直線y＝1與y＝｜x2－4x＋3|的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，則方程｜x2－4x＋3｜＝1有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因此a＝1。答案：1eq\x(狀元隨筆）求解這類問題可先將原式變形為f（x）＝g(x)，則方程f(x)＝g(x）的不同解的個(gè)數(shù)等于函數(shù)f（x）與g(x)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，分別畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的思想使問題得解．課時(shí)作業(yè)19一、選擇題1．下列函數(shù)不存在零點(diǎn)的是(）A．y＝x－eq\f(1,x)B．y＝eq\r（2x2－x－1）C．y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋1x≤0,,x－1x＞0)）D．y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋1x≥0，，x－1x＜0)）解析：令y＝0,得A中函數(shù)的零點(diǎn)為1，－1;B中函數(shù)的零點(diǎn)為－eq\f（1,2),1；C中函數(shù)的零點(diǎn)為1，－1；只有D中函數(shù)無零點(diǎn)．答案:D2．若函數(shù)f（x)＝ax＋b有一個(gè)零點(diǎn)是2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點(diǎn)是()A．0，2B．0,eq\f（1，2）C．0,－eq\f(1，2）D．2，－eq\f(1,2)解析:∵2a＋b∴g（x）＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．∴零點(diǎn)為0和－eq\f（1，2）.答案:C3．用二分法研究函數(shù)f(x)＝x5＋8x3－1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)過計(jì)算得f（0）<0，f(0.5）〉0，則其中一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間和第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值分別為（)A．（0,0.5）,f(0.125）B．(0.5，1），f(0.875)C．(0.5,1），f(0。75)D．（0,0.5），f(0。25)解析：∵f（x）＝x5＋8x3－1，f(0)<0，f(0。5）〉0，∴f（0)·f（0.5)<0，∴其中一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為（0,0.5）,第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值應(yīng)為f（0。25），故選D。答案：D4．已知函數(shù)f(x）＝|x｜＋1，g(x)＝k(x＋2)．若方程f(x）＝g（x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f（1,2))）B.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2），1)）C．（1,2)D．(2，＋∞)解析：作出f(x),g(x）圖像，如圖．因?yàn)锳(0，1）,B（－2，0),kAB＝eq\f（1－0，0－－2)＝eq\f(1,2），要使方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則函數(shù)f（x)與g(x）的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖可知，eq\f（1，2）＜k＜1。答案：B二、填空題5．函數(shù)f(x）＝x2－3x－18在區(qū)間［1，8］上________(填“存在”或“不存在”)零點(diǎn)．解析:方法一∵f（1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f（8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f（1）·f（8)＜0，又f(x)＝x2－3x－18在區(qū)間[1,8］上的圖像是連續(xù)的，故f（x）＝x2－3x－18在區(qū)間[1,8]上存在零點(diǎn)．方法二令f（x)＝0，得x2－3x－18＝0,∴（x－6）（x＋3）＝0.∵x＝6∈［1,8］，x＝－3?［1,8]，∴f(x）＝x2－3x－18在區(qū)間［1,8]上存在零點(diǎn)．答案：存在6．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－1x>0，x2－x－2x≤0））的零點(diǎn)為________．解析：f（x）＝0，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x〉0,x－1＝0）)或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x≤0,x2－x－2＝0）)，∴x＝1，x＝－1，x＝2（舍）答案：1，－17．已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a（a＜0）在區(qū)間（0，1)上有零點(diǎn)，則a的取值范圍為________．解析：由題意函數(shù)f（x）＝x2＋x＋a在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）在（0，1）上有零點(diǎn)，可得:f（1）·f（0)＜0.∴a(2＋a)＜0。∴－2＜a＜0.答案：（－2,0)三、解答題8．判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn),如果存在，請求出．(1）f(x)＝eq\f(x＋3，x);(2）f（x)＝x2＋2x＋4。解析：(1)令eq\f（x＋3，x）＝0，解得x＝－3，所以函數(shù)f(x)＝eq\f（x＋3,x）的零點(diǎn)是－3。(2）令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x2＋2x＋4＝0無解，所以函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋4不存在零點(diǎn).9．已知函數(shù)f(x）＝x2＋3(m＋1）x＋n的零點(diǎn)是1和2，求函數(shù)y＝nx2＋mx＋3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解析：由題可知,f(x)＝x2＋3（m＋1）x＋n的兩個(gè)零點(diǎn)為1和2。則1和2是方程x2＋3（m＋1）x＋n＝0的兩根．可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（1＋2＝－3m＋1,，1×2＝n，）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝2.)）∴y＝2x2－