諧振線性諧振11.經典諧振子在經

Fkxk用，由牛頓第二定律可以kd2dt

k

2x

其解

x

。這種運動稱為簡諧振動，作這種動的粒子稱為（線性）諧振子諧振子哈密頓量E1mE1m22其能量是振幅的連續函數

p

12

2

2經典允許的振動范2§2.7§2.7線性諧振子（續量子諧量子力學中的線性諧振子是指在勢 V(x)12x2量子諧自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射簡諧振動往往還作為復雜運動的初步近似，所以簡諧振動的研究，無論在理論上還是在應用上都是很重要的。運動的質量 自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射簡諧振動往往還作為復雜運動的初步近似，所以簡諧振動的研究，無論在理論上還是在應用上都是很重要的。例如雙原子分子，兩原子間的勢HHp2122

是二者相對距離x的x3xax0§2.7線性諧振ax0§2.7線性諧振子（續值 。在 附近勢可V(a

V0V(

V(a)

11!

x

(xa)2V2Vx2(xa)2x記kxaV0

k(2

a)2

0，即平衡位置處于勢

0點VxVx12x224（1）（1）H?? H?? 12 222d22dx212x2 方程可寫為

[E

x](x)

d

[E

x](x) 22

dx 2 為簡單計引入無量綱變量ξ代替令d

其

2E

則方程可改寫為d

其 二階常微分二階常微分方此式是一變系（2）求d（2）求

2

(x)

近解，即當ξ→±∞ψ的行為。在此情況下，λd

1.漸近 d

欲驗證解的正確性

d

其解為：ψ∞其解為：ψ∞

/2

e

/2

>>±>>±

d[

d

d

當ξ應有c2當ξ應有c2

e2/

e2/波函數限性條件波函數限性條件最后

e2/ d 為了使方程d

[

0的波函數在無窮遠處有

e2/2漸近形式，我們自然會令：(變系數法()H()e2(變系數法H(ξ滿足波函數的單值、有限、連ξ有限時，H(ξξ→∞時，H(ξ)的行為要保證ψ(ξ0 2.H(ξ)滿足的方

將ψ(ξ)表達式代入方程關于待求函數H

1)H3我們3來求解。

k

bkH

kkk

bkk

k

kH

k

k2

kk 則：H

k0

bk

(k1)(k

2)k

kk

bk2(k1)(kk

Hkkk

k2(

1)(

2)

bk2

bk(

1)]kk

k2(

1)(

2)

bk2

bk(

1)]

(k+2)(k+1)-

2k+

k(λ-1)=

該式對任意ξ故ξ從而導出系數bk的遞推公式 2k1 bb0≠0, →b1≠0,b0≠0, →b1≠0, →由上由上式可以看出b0決定所有角標k為偶數的系數；b1決定所有角標k為奇數的系數。則通解可記為

H=coHodd+ceψ=(coHodd+ceHevene)exp[-（3）應用標準條單值性和連續性二條件自然滿（3）應用標準條只剩下第三個有限性條件需要進行討論因因為H(ξ)是一個冪級數，故應考慮他的收斂性。考慮一些特殊即勢場有跳躍的地方以及x=0xξ=0ξ→±∞(I):exp[-ξ2/2]|ξ=0=

(II)ξ→±∞需要考慮無窮級數H(ξ)的收斂Heven(ξ)|ξ=0=

k

2k1 Hodd(ξ)|ξ=0=

k kbk

(k1)(k

為相為相兩項之比

k222 22

當ξ當ξH(ξ)的漸近相繼兩項之比： k

2k(!! k1(!(((((

1)!

(k

2

2

2 22 222(k2

k

k

k()

H

)exp[

2]

e

2]exp[

2]

exp[1

2]22為了滿足波函數有限性要求，冪級數為了滿足波函數有限性要求，冪級數H(ξ)H(ξ)從某一項（n項）bn=代入遞推關系)得 2n1代入遞推關系)得n (n1)(n2) bn0,2n10

因為2

E1

22于是最后得：

222E(n1222

n（4）厄密多項（4）厄密多項

Nnexp[

2]

n(附加有限性條件得到了H(ξ)的H附加有限性條件得到了H(ξ)的Hn(ξ)，于是總波λ=Hλ=

2H

HHn

n2Hn

2nHndHn(ξ可寫成封閉形式 ()Hn(ξ可寫成封閉形式

exp[222 d由上式可以看出，由上式可以看出，Hn(ξn,2nH1223H12234H533120從上從上式出發，可導厄密多項式的遞推關系dHnHn12Hn2nHn1例：已H01H1=2ξ，H2=2ξH1-2nH0=4ξ2-基于厄密多項式的遞推關系可以導出諧振子波函數Ψ(xxn(x)

nn1(x)

n1n1(2222

n(x)

2

n(n

2n22

(x)(2n

n(x)

(n1)(n

n

(22dn(x)22

nn1(x)

n1n1(d

n(x)

n(n

2n22

(x)(2n

n(x)

(n1)(n

n

(微分定義母函數展開定義正交 遞推關 對稱 （5）求歸一化系Nn21（5）求歸一化系Nn2

ndx

N2e2

n()

n()dx(I)作變量代換，因為

n(1)n

Hn(

dndn

e2所以N2(II)應用Hn(ξ)的封N2

NnN

Hn()d

dd

e2

dd

e2]exp[-ξ2

H H N N

dd

e2

N N

dd

e2

NnN

d[d[

H()]e2

NnnNn因為H的最高次項n因為H的最高次項ndnHn/dξn=2nn!2n!nN2

nn!e2n(x)

2n

e2x2/

Hn

n2n其中

所 Nn高斯型積分公式正交公式證明兼歸一化常數計算：另利用母函數展與右式比較s、t展開式系數，即可得 n1n2En 102§2.7線性諧振子（續討討1能量譜為 ，兩能級的間隔基態能量 （又稱零點能零點能不等于零零點能不等于零靜止的”波是沒有意義的，零點能是量子效應，已被絕對零點情況下電子的晶體散射實驗所證實20§2.7§2.7線性諧振子（續()1/4)20(x)VxVx2基態能量

E0x

處的勢V(a)

12a2x

范圍內動能T由幾率密

0

x2N0exp

x

處出現的幾率最大；在x 范內，粒子出現的幾率不為零。對其它各能級狀態波函數可作類似的分析 §2.7§2.7線性諧振子（續在經典情形下，粒子將被限

x

范圍中運動這是因為振

x

處，其V

，即勢于總能量，動能為零，經典的粒子動能不可以小于因此粒子被

a

xa內可見，量子與經典情況完全不n具有n宇

()N

1

上式諧振子波函數所包含

exp

2是

的偶數，所以

的宇稱由厄密多項

Hn的宇稱決定由于Hn的最高次項是2。當n偶數，則厄n多項式只含ξ的偶次n奇數，厄密多項式只含ξ的奇次項(奇宇稱)。所以,n有n宇§2.7§2.7線性諧振子（續0 0021(x) 2§2.7§2.7線性諧振子（續22223 33§2.7§2.7線性諧振子（續4

4諧振子波函數ψn有n個節子在[-a,a]區間每一點。2（三）（三）例1.例1.解解 （1）Hamilton

d

d d

H

dz2

2 (

?

y?

1 d 12?2

dx2

1 d1 其 H1

dy2

2 d1 Hz1

dz2

2 如如果系Hamilton可以寫 ?xy則必有EExEyEzEnn n1n1En1n12 (z3解得則波函 向的分解得分別滿足如下三個方 (ni1 i 1 1

(x)

(x) 2EN(n12

n3

3

(y)En

(y)(N

3

其

2

(z)

(z) （3）簡并2EN(N3)（3）簡并2其

n3nn (r)nn

(xn1n

(yn2n

(zn3n當N確定后，能量本征值確定，但是對應同一N值的n1,n2,n3有多種不同組合，相對給定N=n1+n2+ 的組合方式數列表分析如下→組合方式0N→1N-→N2N-→N-→N→1對給定NN=n1+n2n3),{n1n2,n3}的組合方式當n1,n2確定后，n3N-n1n2故對給定N，{n1,n2,n3(N

1)

(

1)1

1(2

1)(

2)例2q振子，受到沿x電場的作用，其勢場為求能量本征值和本征

V(x)

12x2

qx2 (x)2

2[E

V(

(x)dx2 2 勢xqx項，該項是x的一次變量平方形式，就有可能利用已知的線性諧振子的結果。（2）（2）V(x)21

2x

qx

2

22212(x2

)2

V00q q0其中：x0

V0

2（3）Hamilton（3）Hamilton進行x進行

xx0 ?

i22

i

dx

?Hamilton量變為Hamilton量變為

?

1

2(x

x0

2222

1

x2

（4）Schrodinger（4）Schrodinger2新坐標下Schrodinger2d (x)d

2[E2

12

*

(x)

[E222

(n

1

其 E

E22

nq2n

*2(n2

1)

2

n(x)

Ne2x2/2

nnnnn

Nn

e2(xx0)2/2

x0學習內容2.1波函數的統計解TheWavefunctionanditsstatistic2.2態疊加原Theprincipleof2.3薛定諤方TheSchr?dinger2.4Thecurrentdensityofparticlesandconservation2.5定態薛定諤方TimeindependentSchr?dinger2.6Theinfinitepotential2.7線性諧振Thelinearharmonic2.8勢壘貫Thetransmissionofpotential 第二章小坐標表象中的波

t)|

給出t時刻粒子處在

處的幾動量表象中的波函數C(,tCP,(r,t)

給出t時刻粒子動量互為Fourer變換與逆變

的幾C(P,t)(3函數的歸一化 第二章小動量算符

★能量

?

的引入★Hamilton（能量）算符及本征值方★能量算符的本征值與本征波函★定態的判斷三個典型實例（一維無限深勢阱，一維線性諧子，一維勢壘）的研究掌握一維薛定諤方程求解對于求解一維薛定諤方程，應掌握邊界條件的確定和掌握一維無限深勢阱的求解方法及其物理討論掌握一維諧振子的能譜及其定態波函數的一般特了解勢壘貫穿的討論方法及其對隧道效應的解釋。§1算符的運算規§2動量算符和角動量算§3電子在庫侖場中的運§4氫原§5厄密算符的本征值與本征函§6算符與力學量§7共同本征函§8 關3.1一維定態的一設質量為m的粒子x方向運動，勢能ihih(r,t)h22V(r,t(r,t

對于定

(x,t) (x)eiEt

代入式（1），可得(x)滿足的V(x) (x)E(x)2md

V*(x) 根據具體物理問題的邊條件來定解定理(r)是方程（3）的一個解，對應的能量本征值E(r也是方程（3）的一個解，對應的能量也是E證明 d2 d2 V(x)2mdx2*(x)E*(x)假設對應于能量的某個本征值E，方程（3）的解無簡并，則此為實解*(r)=(r當能級有簡并的情況，則有定理2對對應于能量的某個本征值E，總可以找到方程（3）的一組實解，凡是屬E的任何解，均可表成這一組實解的線性疊加，這一組實解是完備的證明：假設(x)(3)的一個解，如它是實解，則把它歸入實解的集合中去。如它是復解，按定1，*(x)必也是方(3)的解，并且與(x)一樣，同屬于能量本證E。再根據線性微分方(x(x*x)xi[(x*x)]也是方程(3)的解，同屬于能量E，并彼此獨立。注意，(x)與(x)均為實解，而x*(x)同屬E均可表(x)(x的線1/2(i)；

*1/2(i

（證畢設設V(x)具有空間反射不變性，V(x)V(x)，如果(x)是方程的對應于能量本征值E的解，則(x)也是方程（3）的對應于能量的解證明：當xx時，d2 d2

，按假定，V(x)dx2 d(x)2 dx2V(x，所以方3化h2 d22mdx2

(x)V(x)(x)E(x)可見(x)也滿足方3，并且與(x)一樣，同屬于能量E（證畢按此定理，設V(x)V(x)，而且對應于某能量E，方程(3)的簡并，則解必有確定的宇稱。因為此時(x)與(x)代表同一個解，因此P(x)(x)與(x)代表同一個量子態，它們最多可以差一個因子c。因P(x)c因P2(x)cP(x)c2(x)但P2(x(x，所以c21c1。對c1P(x解(x稱為偶宇稱解。對于c1的P(x)(x)稱為奇宇稱解。一維諧振子和一維對稱方阱都屬于這種情況當能級有簡并的情況，則有如下定理設設V(xV(x)，則對應于任何一個能量本征值E，總可以找到方(3)的一組完備的解，它們之中每一個解都有確定的宇稱證明：設(x)是方程3的一個解，如無確定的宇稱，則按定3，(x)也是方3的一個解，但不同于(x盡管它們同于E)此可以f(x)(x)(x) g(x)(x)f(x與g(x均為方程3的解，同屬于E，且具有確定宇稱f(xf(xg(xg(x)。而(x)與(x可以表f(xg(x的線性疊加(x)1/2[f(x)

(-x)1/2[f(x)

（證畢波函數的統計詮釋對波函數的性質要求，已在2.2節中做了步討論。在坐標表象中，涉及波函數(x)及其各階導數的連續性問題。這應從定態波動方程3出發，根V(x)的性質進行討論。如果V(x)是x的連續函數，按方程(3)，(x)是存在的，因此xx的連續函數。但V(x)不連續，或有某種奇異性則(x)及其各階導數的連續性問題需要具體分析，上述結論不一定立對于一維方勢場，可證明下列定理