5.1代數法(解析法和PW法)

5.2縮放法

第5章光學系統的初始結構計算方法5.1代數法(解析法和PW法)

5.2縮放法

第5章5.1.1PW形式的初級像差系數

為導出PW形式的初級像差系數，令

(5-1)5.1代數法(解析法或PW法)5.1.1PW形式的初級像差系數

為導出PW形式的初下面進一步變換成u和u′表示的形式，以便于應用。即把上式中的i和i′以u和u′取代

又因i－i′=u－u′，還可由上式求得ni：

將其代入P的表示式，得

下面進一步變換成u和u′表示的形式，以便于應用。即把上式而

由此可得所要求的P和W的表示式：

(5-2)

(5-3)而

由此可得所要求的P和W的表示式：

將上面P、W表示式及公式代入第2章當中的初級像差公式可得(5-4)將上面P、W表示式及公式代入第2章當中的初級像5.1.2薄透鏡系統初級像差的PW表示式

薄透鏡系統是由若干個厚度被忽略的薄透鏡組成的，如圖5-1所示。

圖5-1薄透鏡系統5.1.2薄透鏡系統初級像差的PW表示式

薄透鏡系在一個薄透鏡組中，各折射面上的h和hz相等，可以提到∑的外面。并將同一薄透鏡組中各折射面的P、W之和作為該透鏡的P、W，這樣，每一個透鏡組在各個公式中對應一項,而不是像原來公式中以每一個折射面對應一項。若系統中某一透鏡組由k個折射面組成，則該透鏡組的P、W如下式表示：

在一個薄透鏡組中，各折射面上的h和hz相等，可以提到∑的下面對式(5-4)中的最后一項進行化簡，如前所述，h可提到之外，得下面對式(5-4)中的最后一項進行化簡，由于，，方括號內各項兩兩相消，只剩下，若系統在空氣中，則，故

(5-5)由于，，方括號內各項兩兩相消，只剩下對式(5-4)中的進行化簡。對于第一個薄透鏡的兩個折射面，有如下關系：

薄透鏡在空氣中，n1=1，，(即玻璃的折射率)，則上式為

對式(5-4)中的進行化簡。對于第一個薄透推廣到整個薄透鏡組得

(5-6)

如令，即μ為(折射率倒數)，則

(5-7)

對于一般光學玻璃，n=1.5~1.7，則μ=0.6~0.7。推廣到整個薄透鏡組得

經過以上化簡，薄透鏡系統的初級像差系數公式變為如下形式：(5-8)經過以上化簡，薄透鏡系統的初級像差系數公式變為如下形式：5.1.3薄透鏡系統的基本像差參量

1.對有限距離的P、W值進行歸化

在高斯公式兩邊乘以h，由于，，得

u′－u=hΦ

上式兩邊除以hΦ得

5.1.3薄透鏡系統的基本像差參量

1.對有限距離令，，代入上式得

式中、分別稱為歸化像方孔徑角和物方孔徑角。

從以上關系得知，當取f′=1，h=1時，和為原來的u′和u乘以。再由式(5-2)和式(5-3)可知，P和u、u′的三次方成比例，W和u、u′的平方成比例。所以進行歸化時有如下的關系：令，，代入上式得

式中、分別稱為歸由于

所以焦距歸化后放大率不變，即物像的相對位置不變。(5-9)由于

所以焦距歸化后放大率不變，即物像的相對位置不

2.對物體位置的歸化

圖5-2所示為一折射面，當物體位于A時，第一近軸光線與光軸的物方夾角為uA1，像差參量為PA、WA，當物移至B時，相應的夾角為uB1，像差參量為PB、WB，用uB1－uA1=α表示物體移動時u角的變化量。

2.對物體位置的歸化

圖5-2所示為一折射面，當圖5-2物體經一折射面的成像關系圖5-2物體經一折射面的成像關系根據球面折射公式有

分別由A、B發出的光線，對應的n、n′、r是相同的，而h也相等，因此有

根據球面折射公式有

分別由A、B發出的光線，對應的對整個薄透鏡組來說，由于，，故以下關系成立：

式中，uB1－uA1=α，n1=1，則對任一折射面，以下關系成立：

對整個薄透鏡組來說，由于，，故以下關系成立將，代入，可得將，代入，可得第一項:

第二項：第一項:

第二項：第三項：第三項：令，代入上式得

令，代入上式得

第四項：

將以上各項代入WB中得(5-10)第四項：

將以上各項代入WB中得(5-10)用同樣的推導方法可得

(5-11)

由式(5-10)和式(5-11)可求得任意物面位置B的PB、WB。若B位于無限遠，則uB1=0，α=－uA1，這樣的像差參量以P∞、W∞表示如下：

(5-12)用同樣的推導方法可得

當要由P∞、W∞求任意物面位置B的像差參量PB、WB時,即A位于無限遠，此時，uA1=0，，α=uB1,則式(5-11)和(5-10)分別為

(5-13)當要由P∞、W∞求任意物面位置B的像差參量PB、WB時,3.薄透鏡組的基本像差參量

將上述P、W歸化步驟綜合如下：

第一步：按式(5-9)，將P、W歸化為、；

第二步：將、歸化為∞、∞，由于、

對應的

，所以，,這樣公式(5-12)變為

(5-14)3.薄透鏡組的基本像差參量

將上述P、W歸化步驟如由歸化條件下的∞、∞求、，可將hΦ=1代入式(5-13)得

(5-15)如由歸化條件下的∞、∞求、，可將hΦ=1代此時的位置色差系數以表示，當相接觸薄透鏡系統在空氣中，則

此時的位置色差系數以表示，當相接觸薄透鏡系統在空氣歸化和不歸化的相接觸薄透鏡系統的位置色差系數有如下關系:

故

(5-16)歸化和不歸化的相接觸薄透鏡系統的位置色差系數有如下關系:相應地，可得倍率色差系數和的關系

(5-17)相應地，可得倍率色差系數和的關系

4.用、表示的初級像差系數

將式(5-9)代入式(5-8)就得到用、表示的單色初級像差系數公式，同時把式(5-16)和式(5-17)的兩個色差系數也列在一起,即4.用、表示的初級像差系數

將式(5(5-18)(5-18)5.1.4雙膠合透鏡組的∞、∞、Ⅰ和結構參數的關系

若玻璃材料選定，光焦度也確定的條件下，只要確定三個折射球面半徑之一，其余兩個也就確定了。因為

(5-19)5.1.4雙膠合透鏡組的∞、∞、Ⅰ和結構參數的關當n1、n2和φ1、φ2確定后，如給定膠合面的半徑r2，則由

式(5-19)的第一式可確定r1，第二式可確定r3，因此，三個半徑只有一個是獨立變數。所以雙膠合薄透鏡組以r2或ρ2=1/r2為獨立變數，并以阿貝不變量Q來表示之，即

(5-20)當n1、n2和φ1、φ2確定后，如給定膠合面的半徑r2，則由綜上所述，用以表示雙膠合薄透鏡的全部獨立結構參數為n1、ν1、n2、ν2、φ1、Q。

至于球面半徑或其曲率，可從上述結構參數求得。計算公式如下

(5-21)

將上式代入公式得

(5-22)綜上所述，用以表示雙膠合薄透鏡的全部獨立結構參數為n1、同理可得

(5-23)

下面導出、、與結構參數的函數關系。對于歸化的色差系數，可寫為如下形式:

同理可得

將代入上式得

(5-24)將代入上式得

根據歸化條件，對于第一折射面有：u=0，n=1，n′=n1，h=1,再把式(5-22)中的1/r1代入單個折射球面的近軸光計算公式，得

根據歸化條件，對于第一折射面有：u=0，n=1，n′=n對于第二折射面，，n=n1，n′=n2，h=1，用式(5-21)代入單個折射面的近軸光計算公式，得

對于第二折射面，，n=n1，n′=n2，h=1將上面所得的u1=0，，

和代入式(5-2)和式(5-3)中，此時P為,W為

，即

將上面所得的u1=0，，

和則經展開化簡和整理后可得(5-25)(5-26)(5-27)則經展開化簡和整理后可得(5-25)(5-26)(5-2(5-29)(5-28)(5-29)(5-28)如果將對Q配方，則

(5-30)

(5-31)

式中

(5-32)如果將對Q配方，則

(5-33)

(5-34)

(5-35)

(5-33如把常用光學玻璃進行組合，并按不同的值計算其A值，A值的變化范圍不大，取平均值A＝2.35，由此

。為了討論、和玻璃材料的關系，從式(5-30)和(5-31)中消去與形狀有關的因子(Q－Q0)得到

(5-36)如把常用光學玻璃進行組合，并按不同的值計算其A值，A當A＝2.35時，；當冕牌玻璃在前時，W0=－0.1；當火石玻璃在前時，W0=－0.2。將這些近似值代入式(5-36)，得

(5-37)當A＝2.35時，；當冕牌玻璃在前時，W0=圖5-3所示曲線為時,K9、ZF2和K9、F4兩對玻璃的像差特性曲線。

圖5-3時K9、ZF2和K9、F4兩對玻璃的像差特性曲線圖5-3所示曲線為時,K9、ZF2和K9、F4(1)由、按式(5-36)求P0。

(2)由P0和查附錄1找出需要的玻璃組合，再查附錄2按所選玻璃組合找出φ1、Q0、P0、W0。

(3)由式(5-30)和式(5-31)求Q:

(5-38)

(5-39)(1)由、按式(5-36)求P0。

(2(4)根據Q求折射球面的曲率ρ1、ρ2、ρ3。計算公式為式(5-21)、式(5-22)和式(5-23)。

(5)由上面求得的曲率是在總焦距為1的歸化條件下的曲率。從薄透鏡的焦距公式可知，如果實際焦距為f′，則半徑和f′成正比，即得

(5-40)(4)根據Q求折射球面的曲率ρ1、ρ2、ρ3。計算公式5.1.5單透鏡的、、和結構參數的關系

單透鏡可看做雙膠合透鏡組的特例。當φ1=1，φ2=0，n1=n時，雙膠合透鏡組便變成單透鏡。將以上關系代入雙膠合透鏡組的有關公式中，并去掉不必要的下標“1”，即得單透鏡的公式。由式(5-21)和式(5-22)得

(5-41)5.1.5單透鏡的、、和結構參數的關系

由可得

(5-42)

同樣由式(5-27)、式(5-28)、式(5-29)和式(5-34)的關系得單透鏡的各系數如下：由可得

(5-44)(5-43)(5-44)(5-43)由式(5-25)和式(5-26)可得

(5-45)

由式(5-30)和式(5-31)可得

(5-46)由式(5-25)和式(5-26)可得

由式(5-36)可得

(5-47)

再由式(5-32)、式(5-33)和式(5-35)得

(5-48)由式(5-36)可得

5.1.6用PW方法求初始結構的實例

例5.1設計一個焦距為1000mm，相對孔徑為1∶10的望遠物鏡，像高y′=13.6mm。

(1)選型。這個物鏡的視場角很小，所以軸外像差不大。主要校正的像差為球差、正弦差和位置色差。

相對孔徑也不大，可選用雙膠合或雙分離的類型。本例采用雙膠合型，孔徑光闌與物鏡框重合。

(2)確定基本像差參量。根據設計要求，設像差的初級量為零，則按初級像差公式有5.1.6用PW方法求初始結構的實例

例5.1第5章--光學系統的初始結構計算方法課件亦即

由此可得基本像差參量為

亦即

由此可得基本像差參量為

(3)求P0。由式(5-37)可得

因為玻璃未選好，可暫按選用冕牌玻璃進行計算。取W0=－0.1，并將和的值代入上式，得

P0=0－0.85(0+0.1)2=－0.0085(3)求P0。由式(5-37)可得

(4)從附錄2查得K9(n1=1.5163)和ZF2(n2=1.6725)組合的雙膠合薄透鏡組的各系數為

P0=0.038319,Q0=－4.284074,W0=－0.06099

φ1=2.009404,并取A=2.44,K=1.72(4)從附錄2查得K9(n1=1.5163)和ZF2(n(5)求形狀系數Q:

(5)求形狀系數Q:

(6)求透鏡各面的曲率(歸化條件下的)。由式(5-21)、式(5-22)和式(5-23)得

(6)求透鏡各面的曲率(歸化條件下的)。由式(5-21(7)求薄透鏡各面的球面半徑和像差計算:

(7)求薄透鏡各面的球面半徑和像差計算:

現將該透鏡系統結構數據整理如下：tanω=－0.0136，物距L=－∞，入瞳半徑h=50，入瞳距第一折射面距離lz=0現將該透鏡系統結構數據整理如下：tanω=－0.0136經光線追跡，得焦距和像方孔徑角以及要校正的像差數據如下：經光線追跡，得焦距和像方孔徑角以及要校正的像差數據如下：(8)求厚透鏡各面的球面半徑。

①光學零件外徑的確定。根據設計要求f′=1000和

，可算出通光口徑。透鏡用壓圈固定，其所需余量由手冊查得為3.5，由此可求得透鏡的外徑為103.5。(8)求厚透鏡各面的球面半徑。

①光學零件外徑的②光學零件的中心厚度及邊緣最小厚度的確定。其確定有兩種方法，一種方法是由手冊查得；另外一種方法是保證透鏡在加工中不易變形的條件下，其中心厚度與邊緣最小厚度以及透鏡外徑之間必須滿足一定的比例關系：

對凸透鏡： 高精度3d+7t≥D

中精度6d+14t≥D

其中還必須滿足d>0.05D

對凹透鏡： 高精度8d+2t≥D且d≥0.05D

中精度16d+4t≥D且d≥0.03D

式中，d為中心厚度，t為邊緣厚度，如圖5-4所示。②光學零件的中心厚度及邊緣最小厚度的確定。其確定有兩種圖5-4雙膠合透鏡圖5-4雙膠合透鏡根據上面公式，可求出凸透鏡和凹透鏡的厚度。

凸透鏡：3d+7t=D

(5-49)

式中x1、x2為球面矢高，可由下式求得

(5-50)根據上面公式，可求出凸透鏡和凹透鏡的厚度。

凸透鏡式中r為折射球面半徑，D為透鏡外徑。將已知數據代入可求得|x1|=2.17，|x2|=2.67。然后，再將它代入式(5-49)得凸透鏡最小邊緣厚度

由圖5-4得，凸透鏡最小中心厚度

d1=|x1|+t+|x2|=4.84+8.9=13.74

凹透鏡：

(5-51)式中r為折射球面半徑，D為透鏡外徑。將已知數據代入可求得|x|x3|的求法同上，將已知數代入式(5-50)得|x2|=1.03。然后，再將它代入式(5-51)便可求得凹透鏡最小邊緣厚度

d2=t－|x2|+|x3|=11.66-2.67+1.03=10.02

在最小中心厚度基礎上，根據工藝條件，可適當加厚些。最后用作圖法檢查一下計算是否有誤。|x3|的求法同上，將已知數代入式(5-50)得|x2|=1③在保持u和u′角不變的條件下，把薄透鏡變換成厚透鏡。薄透鏡變換成厚透鏡時，要保持第一近軸光線每面的u和u′角不變，由式(5-2)和式(5-3)可知當u和u′不變時，

P、W在變換時可保持不變，放大率亦保持不變。當透鏡由薄變厚時，第一近軸光線在主面上入射高度不變，則光學系統的光焦度亦保持不變。③在保持u和u′角不變的條件下，把薄透鏡變換成厚透鏡。圖5-5表示各種類型物鏡基本光學特性之間的關系，可供選型時參考。

5.2縮放法圖5-5表示各種類型物鏡基本光學特性之間的關系，可供選型圖5-5各種類型物鏡基本光學特性之間的關系圖5-5各種類型物鏡基本光學特性之間的關系5.2.2縮放焦距

結構型式選好之后，它的焦距不一定完全符合設計要求，因此必須縮放焦距。假定已有結構的焦距為f′，要求的焦距為，則縮放后的結構參數為

(5-52)5.2.2縮放焦距

結構型式選好之后5.2.3更換玻璃

1．保持色差不變更換玻璃

根據薄透鏡的光焦度公式，欲保持各折射面的光焦度不變，新的折射率n*、曲率半徑r*和原來的折射率n、曲率半徑r之間應符合以下關系

(5-53)5.2.3更換玻璃

1．保持色差不變更換玻璃

2．更換玻璃校正色差

由像差理論，微分得

(5-54)2．更換玻璃校正色差

由像差理論，由可知，CⅠ與δn成比例,要改變CⅠ，只需按比例改變δn即可。

假定被更換玻璃的色散為δn，它產生的色差系數為CⅠ，希望將色差系數改變ΔCⅠ，則色散應改變

(5-55)

計算出Δδn*之后，再按下式求出需要更換玻璃的色散δn*

δn*=δn+Δδn*(5-56)由可知，CⅠ與δn成比例,要改變CⅠ，

例5.2有一雙高斯照相物鏡，其相對孔徑為

，單色像差都已校好，位置色差較大，希望能減小－0.2mm左右，被更換的玻璃為ZK9，nD=1.6203，δn=0.01029，色差系數CⅠ=0.09,求更換的新玻璃。

解首先將換成ΔCⅠ。由式(5-54)得

例5.2有一雙高斯照相物鏡，其相對孔徑為

，單已知：，，，代入上式得ΔCⅠ=－0.0125。

然后按式(5-55)和式(5-56)求新的玻璃色散：

已知：，，，代入上式得ΔC5.2.4估算高級像差

1．球差

(1)孔徑高級球差。球差級數展開式：

δL′=a1h2+a2h45.2.4估算高級像差

1．球差

(1)孔我們可以按初級球差的變化規律將曲線由a移到b，如圖5-6所示。由于初級球差與h2成比例，所以0.707孔徑的變化量等于邊緣球差變化量的一半，故剩余球差為

(5-57)我們可以按初級球差的變化規律將曲線由a移到b，如圖5-6圖5-6球差曲線圖5-6球差曲線(2)視場高級球差。視場高級球差定義為軸外球差和軸上球差的差：

(5-58)

(5-59)(2)視場高級球差。視場高級球差定義為軸外球差和軸上球

2．彗差

(1)孔徑高級彗差。初級彗差、孔徑高級彗差和孔徑的關系與球差推導方法完全—樣，它的剩余彗差按下式計算

(5-60)2．彗差

(1)孔徑高級彗差。初級彗差、孔徑高(2)視場高級彗差。由于初級彗差和視場的一次方成比例，因此得到

(5-61)(2)視場高級彗差。由于初級彗差和視場的一次方成比例，對于弧矢彗差可以用0.707孔徑的剩余正弦差表示孔徑弧矢彗差：

(5-62)

用最大視場的實際弧矢彗差和由正弦差確定的最大視場彗差之差來表示弧矢視場高級彗差：

(5-63)對于弧矢彗差可以用0.707孔徑的剩余正弦差表示孔

3．細光束子午和弧矢場曲

初級和高級子午和弧矢場曲與視場的關系與軸上點初級和高級球差與孔徑的關系完全一樣，仿照剩余球差公式得

(5-64)

(5-65)3．細光束子午和弧矢場曲

初級和高級子午和弧矢

4．畸變

根據初級畸變與視場的三次方成比例的關系，可得以下公式

(5-66)4．畸變

根據初級畸變與視場的三次方成比例的關系，5.2.5檢查邊界條件

在進行像差校正之前一定要檢查邊界條件，因為經過縮放以后的結構往往會出現透鏡的中心厚度變薄、邊緣變尖的情況，在設計時要隨時進行檢查，以免浪費時間。

對于正透鏡要檢查邊緣厚度是否變尖；對于負透鏡要檢查中心厚度是否太薄。此外還應注意工作距是否滿足要求。邊界條件滿足之后再開始像差校正就不會出問題了。5.2.5檢查邊界條件

在進行像差校正之前一5.2.6計算舉例

例5.3計算一個f′=50mm，D/f′=1/2，畫面尺寸24mm×36mm，后工作距，結構總長L<38mm的攝影物鏡。

解此物鏡邊界條件要求嚴格，成像質量要求高，根據其基本光學特性的要求，選用雙高斯型及其變型結構可滿足要求。從已有的資料中選擇初始結構是比較合適的。由光學設計手冊上選兩個結構作為初始結構，如圖5-7和圖5-8所示。5.2.6計算舉例

例5.3計算一個f′=50圖5-7第一初始結構圖5-7第一初始結構圖5-8第二初始結構圖5-8第二初始結構(1)縮放焦距。手冊上的結構參數都是在f′=1時的數據，把這些參數乘50，則得新的結構參數，見表5-1和表5-2。表5-1第一種結構參數(1)縮放焦距。手冊上的結構參數都是在f′=1時的數據表5-2第二種結構參數表5-2第二種結構參數(2)更換玻璃。

①第一種結構。由式(5-53)可得修改后的曲率半徑：

②第二種結構。

(3)檢查邊界條件。經過調整后的兩個結構參數，見表

5-3和表5-4。(2)更換玻璃。

①第一種結構。由式(5-53)表5-3第一種結構的結構參數表5-3第一種結構的結構參數表5-4第二種結構的結構參數表5-4第二種結構的結構參數(4)估算系統的高級球差。將上述兩種結構上機進行光路計算，其像差結果見表5-5和5-6。表5-5第一種結構的像差計算結果(f′=50.369mm,l′=37.724mm)(4)估算系統的高級球差。將上述兩種結構上機進行光路計表5-6第二種結構的像差計算結果(f′=50.365mm,l′=38.137mm)表5-6第二種結構的像差計算結果上述兩種結構的基本光學特性完全相同，透鏡的數量和像差校正的可能性也完全相同，因此它們最后的成像質量完全由高級像差決定。由式(5-57)到式(5-66)可算出它們的高級像差，見表5-7。上述兩種結構的基本光學特性完全相同，透鏡的數量和像差校正表5-7兩種結構高級像差的計算結果表5-7兩種結構高級像差的計算結果5.1代數法(解析法和PW法)

5.2縮放法

第5章光學系統的初始結構計算方法5.1代數法(解析法和PW法)

5.2縮放法

第5章5.1.1PW形式的初級像差系數

為導出PW形式的初級像差系數，令

(5-1)5.1代數法(解析法或PW法)5.1.1PW形式的初級像差系數

為導出PW形式的初下面進一步變換成u和u′表示的形式，以便于應用。即把上式中的i和i′以u和u′取代

又因i－i′=u－u′，還可由上式求得ni：

將其代入P的表示式，得

下面進一步變換成u和u′表示的形式，以便于應用。即把上式而

由此可得所要求的P和W的表示式：

(5-2)

(5-3)而

由此可得所要求的P和W的表示式：

將上面P、W表示式及公式代入第2章當中的初級像差公式可得(5-4)將上面P、W表示式及公式代入第2章當中的初級像5.1.2薄透鏡系統初級像差的PW表示式

薄透鏡系統是由若干個厚度被忽略的薄透鏡組成的，如圖5-1所示。

圖5-1薄透鏡系統5.1.2薄透鏡系統初級像差的PW表示式

薄透鏡系在一個薄透鏡組中，各折射面上的h和hz相等，可以提到∑的外面。并將同一薄透鏡組中各折射面的P、W之和作為該透鏡的P、W，這樣，每一個透鏡組在各個公式中對應一項,而不是像原來公式中以每一個折射面對應一項。若系統中某一透鏡組由k個折射面組成，則該透鏡組的P、W如下式表示：

在一個薄透鏡組中，各折射面上的h和hz相等，可以提到∑的下面對式(5-4)中的最后一項進行化簡，如前所述，h可提到之外，得下面對式(5-4)中的最后一項進行化簡，由于，，方括號內各項兩兩相消，只剩下，若系統在空氣中，則，故

(5-5)由于，，方括號內各項兩兩相消，只剩下對式(5-4)中的進行化簡。對于第一個薄透鏡的兩個折射面，有如下關系：

薄透鏡在空氣中，n1=1，，(即玻璃的折射率)，則上式為

對式(5-4)中的進行化簡。對于第一個薄透推廣到整個薄透鏡組得

(5-6)

如令，即μ為(折射率倒數)，則

(5-7)

對于一般光學玻璃，n=1.5~1.7，則μ=0.6~0.7。推廣到整個薄透鏡組得

經過以上化簡，薄透鏡系統的初級像差系數公式變為如下形式：(5-8)經過以上化簡，薄透鏡系統的初級像差系數公式變為如下形式：5.1.3薄透鏡系統的基本像差參量

1.對有限距離的P、W值進行歸化

在高斯公式兩邊乘以h，由于，，得

u′－u=hΦ

上式兩邊除以hΦ得

5.1.3薄透鏡系統的基本像差參量

1.對有限距離令，，代入上式得

式中、分別稱為歸化像方孔徑角和物方孔徑角。

從以上關系得知，當取f′=1，h=1時，和為原來的u′和u乘以。再由式(5-2)和式(5-3)可知，P和u、u′的三次方成比例，W和u、u′的平方成比例。所以進行歸化時有如下的關系：令，，代入上式得

式中、分別稱為歸由于

所以焦距歸化后放大率不變，即物像的相對位置不變。(5-9)由于

所以焦距歸化后放大率不變，即物像的相對位置不

2.對物體位置的歸化

圖5-2所示為一折射面，當物體位于A時，第一近軸光線與光軸的物方夾角為uA1，像差參量為PA、WA，當物移至B時，相應的夾角為uB1，像差參量為PB、WB，用uB1－uA1=α表示物體移動時u角的變化量。

2.對物體位置的歸化

圖5-2所示為一折射面，當圖5-2物體經一折射面的成像關系圖5-2物體經一折射面的成像關系根據球面折射公式有

分別由A、B發出的光線，對應的n、n′、r是相同的，而h也相等，因此有

根據球面折射公式有

分別由A、B發出的光線，對應的對整個薄透鏡組來說，由于，，故以下關系成立：

式中，uB1－uA1=α，n1=1，則對任一折射面，以下關系成立：

對整個薄透鏡組來說，由于，，故以下關系成立將，代入，可得將，代入，可得第一項:

第二項：第一項:

第二項：第三項：第三項：令，代入上式得

令，代入上式得

第四項：

將以上各項代入WB中得(5-10)第四項：

將以上各項代入WB中得(5-10)用同樣的推導方法可得

(5-11)

由式(5-10)和式(5-11)可求得任意物面位置B的PB、WB。若B位于無限遠，則uB1=0，α=－uA1，這樣的像差參量以P∞、W∞表示如下：

(5-12)用同樣的推導方法可得

當要由P∞、W∞求任意物面位置B的像差參量PB、WB時,即A位于無限遠，此時，uA1=0，，α=uB1,則式(5-11)和(5-10)分別為

(5-13)當要由P∞、W∞求任意物面位置B的像差參量PB、WB時,3.薄透鏡組的基本像差參量

將上述P、W歸化步驟綜合如下：

第一步：按式(5-9)，將P、W歸化為、；

第二步：將、歸化為∞、∞，由于、

對應的

，所以，,這樣公式(5-12)變為

(5-14)3.薄透鏡組的基本像差參量

將上述P、W歸化步驟如由歸化條件下的∞、∞求、，可將hΦ=1代入式(5-13)得

(5-15)如由歸化條件下的∞、∞求、，可將hΦ=1代此時的位置色差系數以表示，當相接觸薄透鏡系統在空氣中，則

此時的位置色差系數以表示，當相接觸薄透鏡系統在空氣歸化和不歸化的相接觸薄透鏡系統的位置色差系數有如下關系:

故

(5-16)歸化和不歸化的相接觸薄透鏡系統的位置色差系數有如下關系:相應地，可得倍率色差系數和的關系

(5-17)相應地，可得倍率色差系數和的關系

4.用、表示的初級像差系數

將式(5-9)代入式(5-8)就得到用、表示的單色初級像差系數公式，同時把式(5-16)和式(5-17)的兩個色差系數也列在一起,即4.用、表示的初級像差系數

將式(5(5-18)(5-18)5.1.4雙膠合透鏡組的∞、∞、Ⅰ和結構參數的關系

若玻璃材料選定，光焦度也確定的條件下，只要確定三個折射球面半徑之一，其余兩個也就確定了。因為

(5-19)5.1.4雙膠合透鏡組的∞、∞、Ⅰ和結構參數的關當n1、n2和φ1、φ2確定后，如給定膠合面的半徑r2，則由

式(5-19)的第一式可確定r1，第二式可確定r3，因此，三個半徑只有一個是獨立變數。所以雙膠合薄透鏡組以r2或ρ2=1/r2為獨立變數，并以阿貝不變量Q來表示之，即

(5-20)當n1、n2和φ1、φ2確定后，如給定膠合面的半徑r2，則由綜上所述，用以表示雙膠合薄透鏡的全部獨立結構參數為n1、ν1、n2、ν2、φ1、Q。

至于球面半徑或其曲率，可從上述結構參數求得。計算公式如下

(5-21)

將上式代入公式得

(5-22)綜上所述，用以表示雙膠合薄透鏡的全部獨立結構參數為n1、同理可得

(5-23)

下面導出、、與結構參數的函數關系。對于歸化的色差系數，可寫為如下形式:

同理可得

將代入上式得

(5-24)將代入上式得

根據歸化條件，對于第一折射面有：u=0，n=1，n′=n1，h=1,再把式(5-22)中的1/r1代入單個折射球面的近軸光計算公式，得

根據歸化條件，對于第一折射面有：u=0，n=1，n′=n對于第二折射面，，n=n1，n′=n2，h=1，用式(5-21)代入單個折射面的近軸光計算公式，得

對于第二折射面，，n=n1，n′=n2，h=1將上面所得的u1=0，，

和代入式(5-2)和式(5-3)中，此時P為,W為

，即

將上面所得的u1=0，，

和則經展開化簡和整理后可得(5-25)(5-26)(5-27)則經展開化簡和整理后可得(5-25)(5-26)(5-2(5-29)(5-28)(5-29)(5-28)如果將對Q配方，則

(5-30)

(5-31)

式中

(5-32)如果將對Q配方，則

(5-33)

(5-34)

(5-35)

(5-33如把常用光學玻璃進行組合，并按不同的值計算其A值，A值的變化范圍不大，取平均值A＝2.35，由此

。為了討論、和玻璃材料的關系，從式(5-30)和(5-31)中消去與形狀有關的因子(Q－Q0)得到

(5-36)如把常用光學玻璃進行組合，并按不同的值計算其A值，A當A＝2.35時，；當冕牌玻璃在前時，W0=－0.1；當火石玻璃在前時，W0=－0.2。將這些近似值代入式(5-36)，得

(5-37)當A＝2.35時，；當冕牌玻璃在前時，W0=圖5-3所示曲線為時,K9、ZF2和K9、F4兩對玻璃的像差特性曲線。

圖5-3時K9、ZF2和K9、F4兩對玻璃的像差特性曲線圖5-3所示曲線為時,K9、ZF2和K9、F4(1)由、按式(5-36)求P0。

(2)由P0和查附錄1找出需要的玻璃組合，再查附錄2按所選玻璃組合找出φ1、Q0、P0、W0。

(3)由式(5-30)和式(5-31)求Q:

(5-38)

(5-39)(1)由、按式(5-36)求P0。

(2(4)根據Q求折射球面的曲率ρ1、ρ2、ρ3。計算公式為式(5-21)、式(5-22)和式(5-23)。

(5)由上面求得的曲率是在總焦距為1的歸化條件下的曲率。從薄透鏡的焦距公式可知，如果實際焦距為f′，則半徑和f′成正比，即得

(5-40)(4)根據Q求折射球面的曲率ρ1、ρ2、ρ3。計算公式5.1.5單透鏡的、、和結構參數的關系

單透鏡可看做雙膠合透鏡組的特例。當φ1=1，φ2=0，n1=n時，雙膠合透鏡組便變成單透鏡。將以上關系代入雙膠合透鏡組的有關公式中，并去掉不必要的下標“1”，即得單透鏡的公式。由式(5-21)和式(5-22)得

(5-41)5.1.5單透鏡的、、和結構參數的關系

由可得

(5-42)

同樣由式(5-27)、式(5-28)、式(5-29)和式(5-34)的關系得單透鏡的各系數如下：由可得

(5-44)(5-43)(5-44)(5-43)由式(5-25)和式(5-26)可得

(5-45)

由式(5-30)和式(5-31)可得

(5-46)由式(5-25)和式(5-26)可得

由式(5-36)可得

(5-47)

再由式(5-32)、式(5-33)和式(5-35)得

(5-48)由式(5-36)可得

5.1.6用PW方法求初始結構的實例

例5.1設計一個焦距為1000mm，相對孔徑為1∶10的望遠物鏡，像高y′=13.6mm。

(1)選型。這個物鏡的視場角很小，所以軸外像差不大。主要校正的像差為球差、正弦差和位置色差。

相對孔徑也不大，可選用雙膠合或雙分離的類型。本例采用雙膠合型，孔徑光闌與物鏡框重合。

(2)確定基本像差參量。根據設計要求，設像差的初級量為零，則按初級像差公式有5.1.6用PW方法求初始結構的實例

例5.1第5章--光學系統的初始結構計算方法課件亦即

由此可得基本像差參量為

亦即

由此可得基本像差參量為

(3)求P0。由式(5-37)可得

因為玻璃未選好，可暫按選用冕牌玻璃進行計算。取W0=－0.1，并將和的值代入上式，得

P0=0－0.85(0+0.1)2=－0.0085(3)求P0。由式(5-37)可得

(4)從附錄2查得K9(n1=1.5163)和ZF2(n2=1.6725)組合的雙膠合薄透鏡組的各系數為

P0=0.038319,Q0=－4.284074,W0=－0.06099

φ1=2.009404,并取A=2.44,K=1.72(4)從附錄2查得K9(n1=1.5163)和ZF2(n(5)求形狀系數Q:

(5)求形狀系數Q:

(6)求透鏡各面的曲率(歸化條件下的)。由式(5-21)、式(5-22)和式(5-23)得

(6)求透鏡各面的曲率(歸化條件下的)。由式(5-21(7)求薄透鏡各面的球面半徑和像差計算:

(7)求薄透鏡各面的球面半徑和像差計算:

現將該透鏡系統結構數據整理如下：tanω=－0.0136，物距L=－∞，入瞳半徑h=50，入瞳距第一折射面距離lz=0現將該透鏡系統結構數據整理如下：tanω=－0.0136經光線追跡，得焦距和像方孔徑角以及要校正的像差數據如下：經光線追跡，得焦距和像方孔徑角以及要校正的像差數據如下：(8)求厚透鏡各面的球面半徑。

①光學零件外徑的確定。根據設計要求f′=1000和

，可算出通光口徑。透鏡用壓圈固定，其所需余量由手冊查得為3.5，由此可求得透鏡的外徑為103.5。(8)求厚透鏡各面的球面半徑。

①光學零件外徑的②光學零件的中心厚度及邊緣最小厚度的確定。其確定有兩種方法，一種方法是由手冊查得；另外一種方法是保證透鏡在加工中不易變形的條件下，其中心厚度與邊緣最小厚度以及透鏡外徑之間必須滿足一定的比例關系：

對凸透鏡： 高精度3d+7t≥D

中精度6d+14t≥D

其中還必須滿足d>0.05D

對凹透鏡： 高精度8d+2t≥D且d≥0.05D

中精度16d+4t≥D且d≥0.03D

式中，d為中心厚度，t為邊緣厚度，如圖5-4所示。②光學零件的中心厚度及邊緣最小厚度的確定。其確定有兩種圖5-4雙膠合透鏡圖5-4雙膠合透鏡根據上面公式，可求出凸透鏡和凹透鏡的厚度。

凸透鏡：3d+7t=D

(5-49)

式中x1、x2為球面矢高，可由下式求得

(5-50)根據上面公式，可求出凸透鏡和凹透鏡的厚度。

凸透鏡式中r為折射球面半徑，D為透鏡外徑。將已知數據代入可求得|x1|=2.17，|x2|=2.67。然后，再將它代入式(5-49)得凸透鏡最小邊緣厚度

由圖5-4得，凸透鏡最小中心厚度

d1=|x1|+t+|x2|=4.84+8.9=13.74

凹透鏡：

(5-51)式中r為折射球面半徑，D為透鏡外徑。將已知數據代入可求得|x|x3|的求法同上，將已知數代入式(5-50)得|x2|=1.03。然后，再將它代入式(5-51)便可求得凹透鏡最小邊緣厚度

d2=t－|x2|+|x3|=11.66-2.67+1.03=10.02

在最小中心厚度基礎上，根據工藝條件，可適當加厚些。最后用作圖法檢查一下計算是否有誤。|x3|的求法同上，將已知數代入式(5-50)得|x2|=1③在保持u和u′角不變的條件下，把薄透鏡變換成厚透鏡。薄透鏡變換成厚透鏡時，要保持第一近軸光線每面的u和u′角不變，由式(5-2)和式(5-3)可知當u和u′不變時，

P、W在變換時可保持不變，放大率亦保持不變。當透鏡由薄變厚時，第一近軸光線在主面上入射高度不變，則光學系統的光焦度亦保持不變。③在保持u和u′角不變的條件下，把薄透鏡變換成厚透鏡。圖5-5表示各種類型物鏡基本光學特性之間的關系，可供選型時參考。

5.2縮放法圖5-5表示各種類型物鏡基本光學特性之間的關系，可供選型圖5-5各種類型物鏡基本光學特性之間的關系圖5-5各種類型物鏡基本光學特性之間的關系5.2.2縮放焦距

結構型式選好之后，它的焦距不一定完全符合設計要求，因此必須縮放焦距。假定已有結構的焦距為f′，要求的焦距為，則縮放后的結構參數為

(5-52)5.2.2縮放焦距

結構型式選好之后5.2.3更換玻璃

1．保持色差不變更換玻璃

根據薄透鏡的光焦度公式，欲保持各折射面的光焦度不變，新的折射率n*、曲率半徑r*和原來的折射率n、曲率半徑r之間應符合以下關系

(5-53)5.2.3更換玻璃

1．保持色差不變更換玻璃

2．更換玻璃校正色差

由像差理論，微分得

(5-54)2．更換玻璃校正色差

由像差理論，由可知，CⅠ與δn成比例,要改變CⅠ，只需按比例改變δn即可。

假定被更換玻璃的色散為δn，它產生的色差系數為CⅠ，希望將色差系數改變ΔCⅠ，則色散應改變

(5-55)

計算出Δδn*之后，再按下式求出需要更換玻璃的色散δn*

δn*=δn+Δδn*(5-56)由可知，CⅠ與δn成比例,要改變CⅠ，

例5.2有一雙高斯照相物鏡，其相對孔徑為

，單色像差都已校好，位置色差較大，希望能減小－0.2mm左右，被更換的玻璃為ZK9，nD=1.6203，δn=0.01029，色差系數CⅠ=0.09,求