空間向量在立體幾何中的應用【重要知識】求平面法向量的方法與步驟：選向量：求平面的法向量時，要選取兩個相交的向量，如設坐標：設平面法向量的坐標為解方程：聯立方程組，并解方程組定結論：求出的法向量中三個坐標不是具體的數值，而是比例關系。設定某個坐標為常數得到其他坐標利用向量求空間角：1、求異面直線所成的角：設為異面直線，點為上任意兩點，點為上任意兩點，所成的角為，則【注】由于異面直線所成的角的范圍是：，因此求直線與平面所成的角：設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與所成的角為，則【注】由于直線與平面所成的角的范圍是：，因此求二面角：設分別為平面的法向量，二面角為，則或，其中利用向量求空間距離：求點到平面的距離設平面的法向量為，，則點到平面的距離為求兩條異面直線的距離設是兩條異面直線，是公垂線段的方向向量，分別為上的任意兩點，則的距離為【重要題型】1、（2023廣東，理）如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，，點在線段上，（1）證明：（2）若，求二面角的正切值2、（2023廣東，理）如圖=1\*GB3①，在等腰三角形中，，，分別是上的點，，為的中點。將沿折起，得到如圖=2\*GB3②所示的四棱錐，其中。（1）證明：（2）求二面角的平面角的余弦值3、（2023廣東，理）如圖，已知正方體的棱長為2，點是正方形的中心，點分別是棱、的中點，設分別是點在平面內的正投影。（1）求以為頂點，以四邊形在平面內的正投影為底面邊界的棱錐的體積；（2）證明：直線；（3）求異面直線與所成角的正弦值。4、（2023課標，理）如圖，直三棱柱中，分別是的中點，（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.5、（2023遼寧，理）如圖，直三棱柱，，，點分別為和的中點（1）證明：；（2）若二面角為直二面角，求的值.6、（2023遼寧，理）已知三棱錐中，，，，為上一點，，分別為的中點。（1）證明：；（2）求與平面所成角的大小.7、（2023廣東，理）如圖，是半徑為的半圓，為直徑，點為的中點，點和點為線段的三等分點，平面外一點滿足，（1）證明：；（2）已知點分別為線段上的點，使得，，求平面與平面所成二面角的正弦值.8、（2023汕頭高二統考，理）在四棱錐中，平面，是正三角形，與的交點恰好是中點，又，，點在線段上，且．（1）求證：；（2）求證：平面;（3）求二面角的余弦值．【參考答案】1、（1）證明：，，又，，，（2）解：，，是正方形建立如圖所示的坐標系，則，，，，，設平面的一個法向量為則，即令，則，即設平面的一個法向量為，則，即令，則，即設二面角的大小為，則，2、（1）證明：連接由圖=1\*GB3①得，在中，由余弦定理可得，，即由翻折的不變性可知，，同理可證，又，（2）解：以點為原點，建立空間直角坐標系如圖所示則所以，設平面的一個法向量為，則即令，則，即由（1）知，為平面的一個法向量即求二面角的平面角的余弦值為3、（1）解：依題意得，，且四邊形在平面內的正投影為四邊形點是正方形的中心，故所求的四棱錐的體積為（2）證明：由（1）知，與都是等腰直角三角形，即又，，，（3）解：以為原點，分別為軸，軸，軸的正向，為1個單位長度，建立空間直角坐標系，則，4、（1）證明：連接交于點，則為中點又是中點，連接，則，，（2）由得，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，設是平面的法向量，則，即，可取同理，設是平面的法向量，則，即，可取從而，故即二面角的正弦值為5、（1）證明：連接三棱柱為直三棱柱，為的中點為的中點又為的中點，（2）以為坐標原點，分別以直線為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示：設，則于是，，，，因此，，設是平面的法向量，由得，，可取同理，設是平面的法向量，由得，，可取為直二面角，即，解得6、（1）證明：設，以為原點，分別為軸正方向建立空間直角坐標系，如圖所示：則由可知，（2）設為平面的一個法向量由得，，可取設與平面所成角為，則7、（1）證明：為的中點，，為直徑又，，（2）如圖，以為原點，分別為軸正方向，過作平面的垂線，建立空間直角坐標系，連接由此得，設平面的法向量為，由得，，可取同理，設平面的法向量為，可取平面與平面所成二面角的正弦值為8、證明：（1）因為是正三角形，是中點，所以,即………………1分又因為，平面，………………2分又，所以平面………………3分又平面，所以………………4分（2）在正三角形中，………………5分在中，因為為中點，，所以，所以，所以………………6分在等腰直角三角形中，，，所以，，所以………………8分又平面，平面，所以平面………………9分（3）因為，所以，分別以為軸,軸,軸建立如圖的空間直角坐標