習題課一、內容小結

二、實例分析向量代數與空間解析幾何

第八章習題課一、內容小結二、實例分析向量代數與1、向量的概念定義:既有大小又有方向的量稱為向量.自由向量、向量相等、負向量、零向量、向量的模、單位向量、平行向量、一、內容小結

向量代數向量的夾角、向徑.1、向量的概念定義:既有大小又有方向的量稱為向量.自由向量、(1)加法：2、向量的線性運算(2)減法：(3)向量與數的乘法：(1)加法：2、向量的線性運算(2)減法：(3)向量的分解式：在三個坐標軸上的分向量：向量的坐標表示式：向量的坐標：3、向量的表示法向量的分解式：在三個坐標軸上的分向量：向量的坐標表示式：向量向量的加減法、向量與數的乘積等的坐標表達式向量的加減法、向量與數的乘積等的坐標表達式向量模長的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式它們距離為向量模長的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式它們距離為4、數量積(點積、內積)數量積的坐標表達式兩向量夾角余弦的坐標表示式4、數量積(點積、內積)數量積的坐標表達式兩向量夾角余弦的坐5、向量積(叉積、外積)向量積的坐標表達式//5、向量積(叉積、外積)向量積的坐標表達式//6、混合積6、混合積利用向量運算解決下列問題(1)判定兩個向量平行(2)判定兩個向量垂直(3)判定A,B,C三點共線(4)判定四點共面或三個向量共面(5)平行四邊形面積三角形面積平行六面體的體積四面體的體積利用向量運算解決下列問題(1)判定兩個向量平行(2)判定兩個例1設

為任意三個向量,則下列等式正確的為A.B.C.D.C例1設為任意三個向量,則下列等式正確的為A.B.C.D.解解例3.已知證明例4.證明三角形三條高線交于一點.例3.已知證明例4.證明三角形三條高線交于一點.空間平面一般式點法式截距式三點式1.空間直線與平面的方程空間解析幾何空間平面一般式點法式截距式三點式1.空間直線與平面的方程空為直線的方向向量.空間直線一般式對稱式參數式為直線上一點;為直線的方向向量.空間直線一般式對稱式參數式為直線上一點;面與面的關系平面平面垂直:平行:夾角公式:2.線面之間的相互關系面與面的關系平面平面垂直:平行:夾角公式:2.線面之間的相互直線線與線的關系直線垂直:平行:夾角公式:直線線與線的關系直線垂直:平行:夾角公式:平面:垂直：平行：夾角公式：面與線間的關系直線:平面:垂直：平行：夾角公式：面與線間的關系直線:3.相關的幾個問題(1)過直線的平面束方程3.相關的幾個問題(1)過直線的平面束方程(2)點的距離為到平面

：Ax+By+Cz+D=0d(2)點的距離為到平面：Ax+By+Cz+D到直線的距離為(3)

點d到直線的距離為(3)點d[1]旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條定直線旋轉一周所成的曲面稱之.這條定直線叫旋轉曲面的軸.方程特點:4.曲面[1]旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條定直線旋（2）圓錐面（1）球面（3）旋轉雙曲面（2）圓錐面（1）球面（3）旋轉雙曲面[2]柱面平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L所形成的曲面稱之為柱面.這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.柱面的特征：[2]柱面平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L所形成的曲面(1)平面(3)拋物柱面(4)橢圓柱面(2)圓柱面(1)平面(3)拋物柱面(4)橢圓柱面(2[3]二次曲面定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.（1）橢球面（2）橢圓拋物面（3）馬鞍面[3]二次曲面定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.（4）單葉雙曲面（6）圓錐面（5）雙葉雙曲面（4）單葉雙曲面（6）圓錐面（5）雙葉雙曲面5、空間曲線[1]空間曲線的一般方程[2]空間曲線的參數方程5、空間曲線[1]空間曲線的一般方程[2]空間曲線的參如圖空間曲線一般方程為參數方程為如圖空間曲線一般方程為參數方程為[3]空間曲線在坐標面上的投影消去變量z后得：設空間曲線的一般方程：曲線在面上的投影曲線為面上的投影曲線面上的投影曲線[3]空間曲線在坐標面上的投影消去變量z后得：設空間曲線如圖:投影曲線的研究過程.空間曲線投影曲線投影柱面如圖:投影曲線的研究過程.空間曲線投影曲線投影柱面[4]空間立體或曲面在坐標面上的投影空間立體曲面[4]空間立體或曲面在坐標面上的投影空間立體曲面二、實例分析例1求點M(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影.解:

平面的法向量過M且與平面垂直的直線方程下面只需求直線L與平面的交點N即可.利用直線的參數方程二、實例分析例1求點M(-1,2,0)在平面x+2y-z+則直線L的參數方程：代入平面方程得解得從而所求投影為則直線L的參數方程：代入平面方程得解得從而所求投影為例2.

設一平面平行于已知直線且垂直于已知平面求該平面法線的的方向余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直線的方向向量取所求平面的法向量所求為例2.設一平面平行于已知直線且垂直于已知平面求該平面法線例3.求過直線且與平面夾成角的平面方程.提示:過直線L

的平面束方程其法向量為已知平面的法向量為選擇使從而得所求平面方程例3.求過直線且與平面夾成角的平面方程.提示:過直線L思路:先求交點例4.求過點且與兩直線都相交的直線L.提示:的方程化為參數方程設L與它們的交點分別為

再寫直線方程.思路:先求交點例4.求過點且與兩直線都相交的直線L.三點共線三點共線例5.直線繞z

軸旋轉一周,求此旋轉曲面的方程.提示:在L

上任取一點旋轉軌跡上任一點,則有得旋轉曲面方程例5.直線繞z軸旋轉一周,求此旋轉曲面的方程.提示:思考與練習P50題21畫出下列各曲面所圍圖形:思考與練習P50題21畫出下列各曲面所圍圖形:P53題21(1)解答:P53題21(1)解答:P5321(2)P5321(2)P5321(4)P5321(4)作業（3-19）P524,5,9,10,12,16;17;18,19,21,22(1)(3).作業（3-19）習題課一、內容小結

二、實例分析向量代數與空間解析幾何

第八章習題課一、內容小結二、實例分析向量代數與1、向量的概念定義:既有大小又有方向的量稱為向量.自由向量、向量相等、負向量、零向量、向量的模、單位向量、平行向量、一、內容小結

向量代數向量的夾角、向徑.1、向量的概念定義:既有大小又有方向的量稱為向量.自由向量、(1)加法：2、向量的線性運算(2)減法：(3)向量與數的乘法：(1)加法：2、向量的線性運算(2)減法：(3)向量的分解式：在三個坐標軸上的分向量：向量的坐標表示式：向量的坐標：3、向量的表示法向量的分解式：在三個坐標軸上的分向量：向量的坐標表示式：向量向量的加減法、向量與數的乘積等的坐標表達式向量的加減法、向量與數的乘積等的坐標表達式向量模長的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式它們距離為向量模長的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式它們距離為4、數量積(點積、內積)數量積的坐標表達式兩向量夾角余弦的坐標表示式4、數量積(點積、內積)數量積的坐標表達式兩向量夾角余弦的坐5、向量積(叉積、外積)向量積的坐標表達式//5、向量積(叉積、外積)向量積的坐標表達式//6、混合積6、混合積利用向量運算解決下列問題(1)判定兩個向量平行(2)判定兩個向量垂直(3)判定A,B,C三點共線(4)判定四點共面或三個向量共面(5)平行四邊形面積三角形面積平行六面體的體積四面體的體積利用向量運算解決下列問題(1)判定兩個向量平行(2)判定兩個例1設

為任意三個向量,則下列等式正確的為A.B.C.D.C例1設為任意三個向量,則下列等式正確的為A.B.C.D.解解例3.已知證明例4.證明三角形三條高線交于一點.例3.已知證明例4.證明三角形三條高線交于一點.空間平面一般式點法式截距式三點式1.空間直線與平面的方程空間解析幾何空間平面一般式點法式截距式三點式1.空間直線與平面的方程空為直線的方向向量.空間直線一般式對稱式參數式為直線上一點;為直線的方向向量.空間直線一般式對稱式參數式為直線上一點;面與面的關系平面平面垂直:平行:夾角公式:2.線面之間的相互關系面與面的關系平面平面垂直:平行:夾角公式:2.線面之間的相互直線線與線的關系直線垂直:平行:夾角公式:直線線與線的關系直線垂直:平行:夾角公式:平面:垂直：平行：夾角公式：面與線間的關系直線:平面:垂直：平行：夾角公式：面與線間的關系直線:3.相關的幾個問題(1)過直線的平面束方程3.相關的幾個問題(1)過直線的平面束方程(2)點的距離為到平面

：Ax+By+Cz+D=0d(2)點的距離為到平面：Ax+By+Cz+D到直線的距離為(3)

點d到直線的距離為(3)點d[1]旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條定直線旋轉一周所成的曲面稱之.這條定直線叫旋轉曲面的軸.方程特點:4.曲面[1]旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條定直線旋（2）圓錐面（1）球面（3）旋轉雙曲面（2）圓錐面（1）球面（3）旋轉雙曲面[2]柱面平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L所形成的曲面稱之為柱面.這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.柱面的特征：[2]柱面平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L所形成的曲面(1)平面(3)拋物柱面(4)橢圓柱面(2)圓柱面(1)平面(3)拋物柱面(4)橢圓柱面(2[3]二次曲面定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.（1）橢球面（2）橢圓拋物面（3）馬鞍面[3]二次曲面定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.（4）單葉雙曲面（6）圓錐面（5）雙葉雙曲面（4）單葉雙曲面（6）圓錐面（5）雙葉雙曲面5、空間曲線[1]空間曲線的一般方程[2]空間曲線的參數方程5、空間曲線[1]空間曲線的一般方程[2]空間曲線的參如圖空間曲線一般方程為參數方程為如圖空間曲線一般方程為參數方程為[3]空間曲線在坐標面上的投影消去變量z后得：設空間曲線的一般方程：曲線在面上的投影曲線為面上的投影曲線面上的投影曲線[3]空間曲線在坐標面上的投影消去變量z后得：設空間曲線如圖:投影曲線的研究過程.空間曲線投影曲線投影柱面如圖:投影曲線的研究過程.空間曲線投影曲線投影柱面[4]空間立體或曲面在坐標面上的投影空間立體曲面[4]空間立體或曲面在坐標面上的投影空間立體曲面二、實例分析例1求點M(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影.解:

平面的法向量過M且與平面垂直的直線方程下面只需求直線L與平面的交點N即可.利用直線的參數方程二、實例分析例1求點M(-1,2,0)在平面x+2y-z+則直線L的參數方程：代入平面方程得解得從而所求投影為則直線L的參數方程：代入平面方程得解得從而所求投影為例2.

設一平面平行于已知直線且垂直于已知平面求該平面法線的的方向余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直線的方向向量取所求平面的法向量所求為例2.設一平面