高中高考二項式定理十大典型問題及例題高中高考二項式定理十大典型問題及例題高中高考二項式定理十大典型問題及例題學(xué)科教師指導(dǎo)講義1．二項式定理：(ab)nCn0anCn1an1bLCnranrbrLCnnbn(nN)，2．基本看法：①二項式張開式：右邊的多項式叫做(ab)n的二項張開式。②二項式系數(shù):張開式中各項的系數(shù)Cnr(r0,1,2,,n).③項數(shù)：共(r1)項，是關(guān)于a與b的齊次多項式④通項：張開式中的第r1項Cnranrbr叫做二項式張開式的通項。用Tr1Cnranrbr表示。3．注意要點點：①項數(shù)：張開式中總合有(n1)項。②序次：注意正確選擇a,b,其序次不能夠更正。(ab)n與(ba)n是不同樣的。③指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項減到0，是降冪排列。b的指數(shù)從0逐項減到n，是升冪排列。各項的次數(shù)和等于n.④系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)，二項式系數(shù)依次是Cn0,Cn1,Cn2,,Cnr,,Cnn.項的系數(shù)是a與b的系數(shù)（包括二項式系數(shù)）。4．常用的結(jié)論：令a1,bx,(1x)nCn0Cn1xCn2x2LCnrxrLCnnxn(nN)令a1,bx,(1x)nCn0Cn1xCn2x2LCnrxrL(1)nCnnxn(nN)5．性質(zhì)：①二項式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即Cn0Cnn，···CnkCnk1②二項式系數(shù)和：令ab1,則二項式系數(shù)的和為Cn0Cn1Cn2LCnrLCnn2n，變形式Cn1Cn2LCnrLCnn2n1。③奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：在二項式定理中，令a1,b1，則Cn0Cn1Cn2Cn3L(1)nCnn(11)n0，從而獲取：Cn0Cn2Cn4Cn2rCn1Cn3LCn2r112n2n12④奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和：(ax)nCn0anx0Cn1an1xCn2an2x2LCnna0xna0a1x1a2x2Lanxn(xa)nC0a0xnC1axn1C2a2xn2LCnanx0axnLa2x2ax1a0nnnnn1令x1,則a0a1a2a3Lan(a1)n①令x1,則a0a1a2a3Lan(a1)n②①②得,a0a2a4Lan(a1)n(a1)n(奇數(shù)項的系數(shù)和)2①②得,a1a3a5Lan(a1)n(a1)n(偶數(shù)項的系數(shù)和)2n⑤二項式系數(shù)的最大項：若是二項式的冪指數(shù)n是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)Cn2獲取最大值。n1n1若是二項式的冪指數(shù)n是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù)Cn2,Cn2同時獲取最大值。⑥系數(shù)的最大項：求(abx)n張開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)張開式中各項系數(shù)分別為A1,A2,,An1，設(shè)第rAr1Ar，從而解出r來。1項系數(shù)最大，應(yīng)有ArAr12題型一：二項式定理的逆用；例：Cn1Cn26Cn362LCnn6n1.解：(16)nCn0Cn16Cn262Cn363LCnn6n與已知的有一些差距，Cn1Cn26Cn362LCnn6n11(Cn16Cn262LCnn6n)1(Cn061[(16)n1(7nCn16Cn262LCnn6n1)1]1)666練：Cn13Cn29Cn3L3n1Cnn.解：設(shè)SnCn13Cn29Cn3L3n1Cnn，則3SnCn13Cn232Cn333LCnn3nCn0Cn13Cn232Cn333LCnn3n1(13)n1Sn(13)n14n133題型二：利用通項公式求xn的系數(shù)；例：在二項式(413x2)n的張開式中倒數(shù)第3項的系數(shù)為45，求含有x3的項的系數(shù)？x解：由條件知Cnn245，即Cn245，n2n900，解得n9(舍去)或n10，由C10r(x12C10rx10r2r10r2rTr14)10r(x3)r43，由題意3,解得r6，43則含有x3的項是第7項T61C106x3210x3,系數(shù)為210。練：求(x21)9張開式中x9的系數(shù)？2x1)r1)rxr1)rx183r，令183r解：Tr1C9r(x2)9r(C9rx182r(C9r(9,則r32x22故x9的系數(shù)為C93(1)321。22題型三：利用通項公式求常數(shù)項；例：求二項式(x21)10的張開式中的常數(shù)項？2x解：Tr1C10r(x2)10r(1)rC10r(1)rx5，令205r0，得r8，所以T9C108(1)84520r2x222256練：求二項式(2x1)6的張開式中的常數(shù)項？2x解：Tr1C6r(2x)6r(1)r(1)r(1)rC6r26r(1)rx62r，令62r0，得r3，所以T4(1)3C63202x2練：若(x21)n的二項張開式中第5項為常數(shù)項，則n____.x解：T5Cn4(x2)n4(1)4Cn4x2n12，令2n120，得n6.x題型四：利用通項公式，再談?wù)摱_定有理數(shù)項；例：求二項式(x3x)9張開式中的有理項？1127r27r解：Tr1C9r(x2)9r(x3)r(1)rC9rx6，令Z,(0r9)得r3或r9，6所以當(dāng)r3時，27r4，T4(1)3C93x484x4，6當(dāng)r9時，27r3，T10(1)3C99x3x3。6題型五：奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；例：若(x21)n張開式中偶數(shù)項系數(shù)和為256，求n.3x2解：設(shè)(x21)n張開式中各項系數(shù)依次設(shè)為a0,a1,an,3x2令x1,則有a0a1an0,①，令x1,則有a0a1a2a3(1)nan2n,②將①-②得：2(a1a3a5)2n,a1a3a52n1,有題意得，2n125628，n9。11n的張開式中，所有的奇數(shù)項的系數(shù)和為1024，求它的中間項。練：若(35x2)x解：QCn0Cn2Cn4Cn2rCn1Cn3LCn2r12n1，2n11024，解得n11Cn5(31)6(512)5462x461所以中間兩個項分別為n6,n7，T51，T61462x15xx題型六：最大系數(shù)，最大項；例：已知(12x)n，若張開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求張開式中二項式系數(shù)最大項2的系數(shù)是多少？解：QCn4Cn62Cn5,n221n980,解出n7或n14，當(dāng)n7時，張開式中二項式系數(shù)最大的項是T4和T5T4的系數(shù)C73(1)42335,，T5的系數(shù)C74(1)32470,當(dāng)n14時，張開式中二項式系數(shù)最大222的項是T8，T8的系數(shù)C147(1)7273432。2練：在(ab)2n的張開式中，二項式系數(shù)最大的項是多少？解：二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)2n，則中間一項的二項式系數(shù)最大，即T2nTn1，也就是第n1項。21練：在(x1)n的張開式中，只有第5項的二項式最大，則張開式中的常數(shù)項是多少？23x解：只有第5項的二項式最大，則n8,所以張開式中常數(shù)項為第七項等于61215，即nC8(2)72練：寫出在(ab)7的張開式中，系數(shù)最大的項？系數(shù)最小的項？解：由于二項式的冪指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項(第4,5項)的二項式系數(shù)相等，且同時獲取最大值，從而有T4C73a4b3的系數(shù)最小，T5C74a3b4系數(shù)最大。練：若張開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求(12x)n的張開式中系數(shù)最大的項？2解：由Cn0Cn1Cn279,解出n12,假設(shè)Tr1項最大，Q(12x)12(1)12(14x)1222Ar1ArC12r4rC12r14r1，化簡獲取9.4r10.4，又Q0r12，r10，張開式中系數(shù)最A(yù)r1Ar2C12r4rC12r14r1大的項為T11,有T11(1)12C1210410x1016896x102練：在(12x)10的張開式中系數(shù)最大的項是多少？解：假設(shè)Tr1項最大，QTr1C10r2rxrAr1ArC10r2rC10r12r1解得2(11r)r，化簡獲取6.3k7.3，又Q0r10，C10r2rC10rAr1Ar212r1,r12(10r)r7，張開式中系數(shù)最大的項為T8C10727x715360x7.題型七：含有三項變兩項；例：求當(dāng)(x23x2)5的張開式中x的一次項的系數(shù)？解法①：(x23x2)5[(x22)3x]5，Tr1C5r(x22)5r(3x)r，當(dāng)且僅當(dāng)r1時，Tr1的張開式中才有x的一次項，此時Tr1T2C51(x22)43x，所以x得一次項為C51C44243x它的系數(shù)為C51C44243240。解法②：(x23x2)5(x1)5(x2)5(C50x5C51x4C55)(C50x5C51x42C5525)故張開式中含x的項為C54xC5525C54x24240x，故張開式中x的系數(shù)為240.練：求式子(x12)3的常數(shù)項？x解：(x12)3(x1)6，設(shè)第r1項為常數(shù)項，則TrC6r(1)r6r(1)r(1)6C6r62r1xx，得xxx62r0,r3,T31(1)3C6320.題型八：兩個二項式相乘；例：求(12x)3(1x)4張開式中x2的系數(shù).解：Q(12x)3的張開式的通項是C3m(2x)mC3m2mxm,(1x)4的張開式的通項是C4n(x)nC4n1nxn,其中m0,1,2,3,n0,1,2,3,4,令mn2,則m0且n2,m1且n1,m2且n0,所以(12x)3(1x)4的張開式中x2的系數(shù)等于C3020C42(1)2C3121C41(1)1C3222C40(1)06.練：求(13x)6(11)10張開式中的常數(shù)項.4x1)mn4m3n解：(13x)6(110張開式的通項為C6mx3C10nx4C6mC10nx124x其中m0,1,2,,6,n0,1,2,當(dāng)且僅當(dāng)4m3n,即m0,或m3,或m6,,10,n0,n4,n8,時得張開式中的常數(shù)項為C60C100C63C104C66C1084246.練：21n*xx)(xx3)的張開式中沒有常數(shù)項,nN且2n8,則n______.已知(1解：(x13)n張開式的通項為Cnrxnrx3rCnrxn4r,通項分別與前面的三項相乘可得xCnrxn4r,Cnrxn4r1,Cnrxn4r2,Q張開式中不含常數(shù)項,2n8n4r且n4r1且n4r2，即n4,8且n3,7且n2,6,n5.題型九：奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和；例：在(x2)2006的二項張開式中,含x的奇次冪的項之和為S,當(dāng)x2時,S_____.解：設(shè)(x2)2006=a0a1x1a2x2a3x3La2006x2006-------①(x2)2006=a0a1x1a2x2a3x3La2006x2006-------②①②得2(a1xa3x3a5x5La2005x2005)(x2)2006(x2)2006(x2)2006張開式的奇次冪項之和為S(x)1[(x2)2006(x2)2006]232006當(dāng)x2時,S(2)1[(22)2006(22)2006]222300822題型十：賦值法；例：設(shè)二項式(33x1)n的張開式的各項系數(shù)的和為p，所有二項式系數(shù)的和為s,若xps272,則n等于多少？解：若(33x1)na0a1xa2x2anxn，有Pa0a1an，SCn0Cnn2n，x令x1得P4n，又ps272,即4n2n272(2n17)(2n16)0解得2n16或2n17(舍去)，n4.練：若的張開式中各項系數(shù)之和為64，則張開式的常數(shù)項為多少？解：令x1，則的張開式中各項系數(shù)之和為2n64，所以，則張開式的常數(shù)項為540.：20091232009a1a2a2009若(12x)a0a1xa2xa3xLa2009x(xR),則22222009的值為解：令x1a1a2a20090,a1a2a2009a0,可得a022222009222220092在令x0可得a01,所以a1a2a20091.22222009：若(x2)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1x1a0,則a1a2a3a4a5____.解：令x0得a032,令x1得a0a1a2a3a4a51,a1a2a3a4a531.型十一：整除性；例：明：32n28n9(nN*)能被64整除：32n28n99n18n9(81)n18n9Cn018n1Cn118nCnn1182Cnn181Cnn118n9Cn018n1Cn118nCnn11828(n1)18n9Cn018n1Cn118nCnn1182由于各均能被64整除32n28n9(nN*)能被64整除1、(x－1)11張開式中x的偶次系數(shù)之和是1、f(x)=(x-1)11,偶次系數(shù)之和是f(1)f(1)(2)11/2102422、Cn03C1n32Cn23nCnn2、2、4n3、(351)20的張開式中的有理是張開式的第53、3,9,15,214、(2x-1)5張開式中各系數(shù)之和是4、(2x-1)5張開式中各系數(shù)系數(shù)之和(2x+1)5張開式系數(shù)之和，故令x=1，所求和355、求(1+x+x2)(1-x)10張開式中x4的系數(shù)5、(1xx2)(1x)10(1x3)(1x)9,要獲取含x4的，必第一個因式中的1與(1-x)9張開式中的C94(x)4作，第一個因式中的－x3與(1-x)9張開式中的C91(x)作，故x4的系數(shù)是C19C941356、求(1+x)+(1+x)2+?+(1+x)10張開式中x3的系數(shù)6、(1x)(1x)2（110(1x)[1(1x)10](x1)11(x1)3分子中的4x）1(1x)=x，原式中xx，所求系數(shù)C1177、若f(x)(1x)m(1x)n(mnN)張開式中，x的系數(shù)為21，問m、n為何值時，x2的系數(shù)最小？7、由條件得m+n=21，x2的項為Cm2x2Cn2x2，則Cm2Cn2(n21)2399.因n∈N，故當(dāng)n=10或11時上式有m=11和n=10，或m=10和n=11時，x2的系數(shù)最小24最小值，也就是8、自然數(shù)n為偶數(shù)時，求證：12C1nCn22C3nCn42Cnn1Cnn32n18、原式=(Cn0C1nCn2Cnn1Cnn)(C1nC3nC5nCnn1)2n2n13.2n19、求8011被9除的余數(shù)9、8011(811)11C1108111C1118110C111081181k1(kZ),k∈Z,∴9k-1∈Z，∴8111被9除余810、在(x2+3x+2)5的張開式中，求x的系數(shù)10、(x23x2)5(x1)5(x2)5在(x+1)5張開式中，常數(shù)項為1，含x的項為C155x，在(2+x)5張開式中，常數(shù)項為25=32，含x的項為C5124x80x∴張開式中含x的項為1(80x)5x(32)240x，此張開式中x的系數(shù)為24011、求(2x+1)12張開式中系數(shù)最大的項11、設(shè)T的系數(shù)最大，則T的系數(shù)不小于T與T的系數(shù)，即有r+1r+1rr+2C12r212rC12r1213rC12r2C12r1C12r212rC12r11211r2C12rC12r131r41,r433∴張開式中系數(shù)最大項為第447920x45二項式定理1．二項式定理：(ab)nCn0anCn1an1bLCnranrbrLCnnbn(nN)，2．基本看法：①二項式張開式：右邊的多項式叫做(ab)n的二項張開式。②二項式系數(shù):張開式中各項的系數(shù)Cnr(r0,1,2,,n).③項數(shù)：共(r1)項，是關(guān)于a與b的齊次多項式④通項：張開式中的第r1項Cnranrbr叫做二項式張開式的通項。用Tr1Cnranrbr表示。3．注意要點點：①項數(shù)：張開式中總合有(n1)項。②序次：注意正確選擇a,b,其序次不能夠更正。(ab)n與(ba)n是不同樣的。③指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項減到0，是降冪排列。b的指數(shù)從0逐項減到n，是升冪排列。各項的次數(shù)和等于n.④系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)，二項式系數(shù)依次是Cn0,Cn1,Cn2,,Cnr,,Cnn.項的系數(shù)是a與b的系數(shù)（包括二項式系數(shù)）。4．常用的結(jié)論：令a1,bx,(1x)nCn0Cn1xCn2x2LCnrxrLCnnxn(nN)令a1,bx,(1x)nCn0Cn1xCn2x2LCnrxrL(1)nCnnxn(nN)5．性質(zhì)：①二項式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即Cn0Cnn，···CnkCnk1②二項式系數(shù)和：令ab1,則二項式系數(shù)的和為Cn0Cn1Cn2LCnrLCnn2n，變形式Cn1Cn2LCnrLCnn2n1。③奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：在二項式定理中，令a1,b1，則Cn0Cn1Cn2Cn3L(1)nCnn(11)n0，從而獲取：Cn0Cn2Cn4Cn2rCn1Cn3LCn2r112n2n12④奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和：(ax)nCn0anx0Cn1an1xCn2an2x2LCnna0xna0a1x1a2x2Lanxn(xa)nCn0a0xnCn1axn1Cn2a2xn2LCnnanx0anxnLa2x2a1x1a0令x1,則a0a1a2a3Lan(a1)n①令x1,則a0a1a2a3Lan(a1)n②①②得,a0aaLa(a1)n(a1)n(奇數(shù)項的系數(shù)和)24n2①②得,a1a3a5Lan(a1)n(a1)n(偶數(shù)項的系數(shù)和)2n⑤二項式系數(shù)的最大項：若是二項式的冪指數(shù)n是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)Cn2獲取最大值。n1n1若是二項式的冪指數(shù)n是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù)Cn2,Cn2同時獲取最大值。⑥系數(shù)的最大項：求(abx)n張開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)張開式中各項系數(shù)分別為A1,A2,,An1，設(shè)第rAr1Ar，從而解出r來。1項系數(shù)最大，應(yīng)有ArAr12題型一：二項式定理的逆用；例：C1nCn26Cn362LCnn6n1.練：C1n3Cn29Cn3L3n1Cnn.題型二：利用通項公式求xn的系數(shù)；例：在二項式(413x2)n的張開式中倒數(shù)第3項的系數(shù)為45，求含有x3的項的系數(shù)？x練：求(x21)9張開式中x9的系數(shù)？2x題型三：利用通項公式求常數(shù)項；例：求二項式(x21)10的張開式中的常數(shù)項？2x練：求二項式(2x1)6的張開式中的常數(shù)項？2x練：若(x21)n的二項張開式中第5項為常數(shù)項，則n____.x題型四：利用通項公式，再談?wù)摱_定有理數(shù)項；例：求二項式(x3x)9張開式中的有理項？題型五：奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；例：若(x21)n張開式中偶數(shù)項系數(shù)和為256，求n.3x2練：若(31512)n的張開式中，所有的奇數(shù)項的系數(shù)和為1024，求它的中間項。xx題型六：最大系數(shù)，最大項；例：已知

(1

2x)

n，若張開式中第

5項，第

6項與第

7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求張開式中二項式系數(shù)最大項2的系數(shù)是多少？練：在(ab)2n的張開式中，二項式系數(shù)最大的項是多少？練：在(x1)n的張開式中，只有第5項的二項式最大，則張開式中的常數(shù)項是多少？2