卡爾曼濾波器在PID控制器中的應用學生：潘培哲專業： 控制工程指導教師： 李鵬云南大學信息學院、引言傳統的倒立擺系統采用單純的PID控制模式，這種控制模式雖然可以在一定程度上滿足系統的要求，但是具有精度差，響應時間長，穩定性不高等不足之處.造成這種情況的一個原因是控制信號中含有噪聲干擾，噪聲干擾會在很大程度上影響系統的性能.另外，除了以上提到的外界干擾外，系統內部也存在干擾，主要包括建模時因抽象和簡化而引入的結構干擾以及實際系統中因參數變化而引入的參數干擾.因此，為了提高系統的穩定性，使之具有較短的響應時間和控制精度，本文設計了一種基于卡爾曼濾波器的PID控制系統，通過卡爾曼濾波器對系統的一些噪聲進行濾波處理之后，對系統的隨機誤差進行了比普通PID更進一步的補償，獲得了更為精確的系統模型，從而使系統的穩定性和精度以及響應時間都得到了有效的提高.本文以直線小車倒立擺為例，研究了卡爾曼濾波器在倒立擺控制系統中的應用.二、卡爾曼濾波器原理在現代隨機最優控制和隨機信號處理技術中，信號和噪聲往往是多維非平穩隨機過程，因其時變性，功率譜不固定.在I960年卡爾曼提出了卡爾曼濾波理論，該理論采用時域上的遞推算法在電腦上進行數據濾波處理.對于離散域系統：rx(k)= -1)+BuQk)+tn(k).y(k)=Cx(fc)+u(k)

離散卡爾曼濾波器遞推算法為：x(k\k-1)=Ax(k—l\k—1)+Bu(k).P(k\k-1)=AP(k-l\k—1)j4t+Qx(fc|k)=x(k\k—1)+Kg(k)(y(k)—Cx(k\k—1))Kg(k)=P(fc|fc-l)CT/(CP(k\k一1)CT+R)P(k||k)=(/-KMC)P(k\k-1)卡爾戛濾波筆，卡爾戛濾波筆，圖1卡爾曼濾波器結構圖三、基于卡爾曼濾波器的PID控制器工作過程下面便以直線小車倒立擺為被控對象，來進一步研究卡爾曼濾波技術在倒立擺系統中的應用.倒立擺系統的數學模型對直線小車的倒立擺系統的數學建模.對于倒立擺系統，由于其本身是自不穩定的非線性系統，實驗建模存在一定的困難.但經過小心的假設忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統就是一個典型的運動的剛體系統，可以在慣性坐標系內應用經典力學理論建立系統的動力學方程.對一級倒立擺線性化后得到系統的近似模型如下{(/十ml~)&-mg/由=mix(Mm)x+bx—m/寸=it

對方程組進行拉普拉斯變換，得到J(Z+mf) - 番)；1(財十購工(§)『+6JC(s)j 二U(s)整理消去X〔s〕后得到傳遞函數：〔假設初始條件為0〕ml2V)_ ”($)耳6(『十mF)j(M+ jbmgls+ 亍— 廠 s。 q 可取小車倒立擺系統各個參數如下：擺桿質量m=，長度l=，擺桿慣量2,小車的質量M=，重力加速度ge10m/s2，小車摩擦系數.進而得到倒立擺系統輸入力F到輸出擺桿角度。的開環傳遞函數G〔s〕為z、 &968心二5十35O本文僅對G〔s〕進行分析.3.2帶有卡爾曼濾波器的PID控制系統結構圖采用卡爾曼濾波器的PID控制系統的結構圖所示.與傳統的PID控制系統的結構圖相比較，在被控對象輸出值之后附加了一個卡爾曼濾波器，通過該濾波器將系統的量測噪聲和控制干擾量進行消減，消減過程主要表達在經過濾波后的輸出值經過反饋之后又回到了系統中，從而使得系統的性能得以提高.對G(S)式取采樣時間為1ms，將對象離散化，并描述為離散狀態方程的形式，x(A+I)二Ax{k)+B(u(k)十w(k')),y(k)=Cx(k).其中-0.025I0]4.484e-6-0.025I0]4.484e-6-0.0090、D與傳統的PID控制系統的結構圖相比較，在被控對象輸出值之后圖2采用卡爾曼濾波器的PID控制系統的結構圖四、系統仿真根據所示的控制系統，在Matlab/Simulink環境下建立仿真模型平臺，并在Matlab/Simulink環境下編程仿真.GeneratorGeneratorlGeneratorGeneratorl帶有測量噪聲的被控對象輸出為 ,二,??? - -■取控制干擾、測量干擾信號均為方差為0.01的白噪聲信號，輸入階躍信號幅值為1,Q=1,R=1.仿真時間為4s.將PID參數設置為Kp=20，Ki=70，Kd=2，仿真結果如圖3，4所示：

圖3濾波后的曲線圖3濾波后的曲線圖3是采用卡爾曼濾波器結果，圖4是未采用卡爾曼濾波器的結果.通過圖3可知：采用卡爾曼濾波器后，噪聲顯著減小，穩定時間Ts為2s，系統能夠迅速的到達穩定，而未采用卡爾曼濾波器的系統，噪聲含量多，控制輸出不穩定.由圖4可見，使用傳統PID進行控制，系統的品質較差，特別是在平衡位置附近有較大的震蕩，這大大影響系統的穩定精度.五、結論本文簡要介紹了卡爾曼濾波器波理論及其算法，在對一級倒立擺建模的基礎之上，對基于卡爾曼濾波器的PID控制進行了仿真，仿真結果證明了該方法的有效性.通過比照可以看出，采用卡爾曼波器后，只要合理選用PID控制器參數，可以得到穩定的系統輸出，顯著減小噪聲的影響同時，能夠有效減少系統的峰值時間，減小震蕩次數，快速的使系統到達穩定.附錄：〔卡爾曼濾波程序〕function[xhatOut,yhatOut]=KALMAN(u,meas)%卡爾曼濾波器persistentPxhatABCQR%定義持久性變量ifisempty(P)%賦初始值xhat=[0;0];P=[0.20110.4036;0.40360.81];A=[10.001;-0.0251];B=[0.000004484;0.009];C=[10];Q=1*eye(1);R=1*eye(1);end%計算狀態預測值和其協方差矩陣xhat=A*xhat+B*u;P=A*P*A'+B*Q*B';%計算卡爾曼增益K=P*C'/(