..對流擴散方程有限差分方法求解對流擴散方程的差分格式有很多種,在本節中將介紹以下3種有限差分格式：中心差分格式、Samarskii格式、Crank-Nicolson型隱式差分格式。3.1中心差分格式時間導數用向前差商、空間導數用中心差商來逼近,那么就得到了〔1式的中心差分格式〔3若令,,則〔3式可改寫為〔4從上式我們看到,在新的時間層上只包含了一個未知量,它可以由時間層上的值,,直接計算出來。因此,中心差分格式是求解對流擴散方程的顯示格式。假定是定解問題的充分光滑的解,將,,分別在處進行Taylor展開：代入<4>式,有顯然,當,時,,即中心差分格式與定解問題是相容的。由以上的討論也可得知,對流擴散方程的中心差分格式的截斷誤差為。對于我們上面構造的差分格式,是否可以直接用于實際計算呢？也就是說,如果初始值有誤差,在計算過程中誤差會不會擴大傳播呢？這就是接下來我們要討論的是差分方程的穩定性問題。下面用Fourier方法來分析中心差分格式的穩定性。令,代入到〔4式整理得所以該差分格式的增長因子為：其模的平方為由于,所以〔即差分格式穩定的充分條件為上式可以改寫為注意到,所以上面不等式滿足的條件為,。由此得到差分格式〔3的穩定性限制為,。故有結論：對流擴散方程的中心差分格式是條件穩定的。根據Lax等價定理,我們可以知道,對流擴散方程的中心差分格式是條件收斂的。3.2Samarskii格式設>0,先對方程<1>作擾動,得到另一個對流擴散方程〔5其中,當時,〔5式化為〔1式對于〔5式,構造迎風格式〔6差分格式〔6稱為逼近對流擴散方程的Samarskii格式。首先推導〔6的截斷誤差。設是對流擴散方程〔1式的充分光滑的解令用Taylor級數展開有再令用Taylor級數展開有由于所以當,時,,所以Samarskii格式與定解問題是相容的,并且其截斷誤差為。現在看看Samarskii格式的穩定性。將〔6式兩邊同時加上,把〔6式化為令,則上式即為：根據中心顯示格式穩定性的討論,可以得到〔6式的穩定性條件為,即,穩定性的第二個條件等價于而利用不等式所以利用穩定性的第一個條件,有,從而可知穩定性條件的第二個條件可由第一個條件推出,因此差分格式的穩定性條件為,即。由Lax等價定理可知,Samarskii格式也是條件收斂的。3.3Crank-Nicolson型隱式差分格式前面討論了求解對流擴散方程的兩種顯示格式,它們都是條件穩定的,為了放松穩定性條件,可以采用隱式格式進行求解。現在考慮Crank-Nicolson型隱式差分格式〔7令,,則〔7式可化為〔8把〔8式用矩陣的形式=+〔9設,,,則有下面討論Crank-Nicolson型格式的截斷誤差和精度。該格式涉及到時間層和時間層上的,,處六個點。設是定解問題的充分光滑的解,把<7>式中各的值用代替,然后將,,,,,分別在點處進行Taylor展開：這里出現的的各階偏導數假設都是存在而且連續的。于是〔7式的截斷誤差顯然,Crank-Nicolson型格式的精度是二階的。再來看看該格式的穩定性情況,我們還是用Fourier方法來分析。令,代入到〔8式整理得所以Crank-Nicolson型格式的增長因子是其模的平方改寫上式由于及上式的分母為正,故即,從而得出Crank-Nicolson型格式是無條件穩定的。根據Lax等價定理,Crank-Nicolson型格式也是無條件收斂的。4、數值例子給出如下對流擴散方程的初邊值問題：所討論的對流擴散方程的精確解為4.1三種差分格式的比較在各種對流擴散問題中,有許多對流相對于擴散來說在問題中起主導作用。對流占有擴散問題的數值求解面臨很多困難。因此,對流占有擴散問題的有效數值解法一直是計算數學中重要的研究內容。取,,,,此時上面給出的就是一個對流占優擴散問題。那么,本文討論的三種差分格式對對流占有擴散問題的求解效果是怎樣的呢？現在我們就來看看這個問題。首先,根據差分格式的穩定性條件,確定的取值范圍。〔1中心差分格式：根據穩定性條件,可知,要使中心差分格式穩定,的取值必須滿足：〔2Samarskii格式：根據穩定性條件可知,的取值必須滿足：〔3Crank-Nicolson格式：該差分格式是無條件穩定的,所以可以取任意值。要使三種差分格式都是穩定的,不妨取。首先,我們通過表格看看三種差分格式的數值解與準確解之間的相對誤差。表4.1時三種差分格式結果的比較x中心差分格式Samarskii格式Crank-Nicolson格式準確解數值解誤差數值解誤差數值解誤差01.219201.219201.219201.21920.11.1009-0.00231.10760.00441.10340.00021.10320.20.9950-0.00321.00510.00690.99850.00030.99820.30.8999-0.00330.91100.00780.90350.00030.90320.40.8142-0.00310.82500.00770.81750.00020.81730.50.7367-0.00280.74670.00720.73970.00020.73950.60.6666-0.00250.67570.00660.66930.00020.66910.70.6031-0.00230.61140.0060.60560.00020.60540.80.5459-0.00190.55320.00540.54800.00020.54780.90.4931-0.00260.50060.00490.49590.00020.49571.00.448500.448500.448500.4485表4.2時三種差分格式結果的比較x中心差分格式Samarskii格式Crank-Nicolson格式準確解數值解誤差數值解誤差數值解誤差01.489401.489401.489401.48940.11.3450-0.00271.35370.0061.34790.00021.34770.21.2144-0.00501.23010.01071.21990.00051.21940.31.0969-0.00651.11710.01371.10400.00061.10340.40.9915-0.00691.01370.01530.99900.00060.99840.50.8966-0.00680.91910.01570.90400.00060.90340.60.8115-0.00590.83270.01530.81790.00050.81740.70.7333-0.00630.75390.01430.74020.00060.73960.80.6656-0.00360.68240.01320.66960.00040.66920.90.5982-0.00740.61760.0120.60620.00060.60561.00.547900.547900.547900.5479表4.3時三種差分格式的結果比較x中心差分格式Samarskii格式Crank-Nicolson格式準確解數值解誤差數值解誤差數值解誤差01.819601.819601.819601.81960.11.6433-0.00311.65380.00741.64670.00031.64640.21.4839-0.00581.50320.01351.49020.00051.48970.31.3397-0.00831.36600.0181.34870.00071.34800.41.2100-0.00971.24100.02131.22050.00081.21970.51.0923-0.01131.12690.02331.10460.0011.10360.60.9892-0.00941.02260.02400.99940.00080.99860.70.8911-0.01250.92740.02380.90470.00110.90360.80.8121-0.00550.84040.02280.81810.00050.81760.90.7257-0.01410.76120.02140.74100.00120.73981.00.669400.669400.669400.6694表4.4時三種差分格式結果的比較x中心差分格式Samarskii格式Crank-Nicolson格式準確解數值解誤差數值解誤差數值解誤差02.222902.222902.222902.22290.12.0073-0.0042.02040.00912.01170.00042.01130.21.8132-0.00671.83640.01651.82050.00061.81990.31.6366-0.01011.66910.02241.64760.00091.64670.41.4794-0.01061.51690.02691.49090.00091.49000.51.3325-0.01571.37840.03021.34960.00141.34820.61.2087-0.01121.25210.03221.22090.0011.21990.71.0839-0.01991.13700.03321.10560.00181.10380.80.9915-0.00731.03180.0330.99940.00060.99880.90.8809-0.02290.93580.0320.90570.00190.90381.00.817700.817700.817700.8177接下來,我們看看這三種差分格式在不同時間的圖形。圖4.1時三種差分格式結果的比較圖4.2時三種差分格式結果的比較圖4.3時三種差分格式結果的比較圖4.4時三種差分格式結果的比較4.2結果分析由表格中的數據以及圖示可以看出,對于對流擴散方程的數值求解,三種差分格式的穩定性都比較好,其中以Crank-Nicolson格式的效果最好。5.小結對流擴散問題的數值求解一直是許多計算工作者比較重視的一類問題。本文分析了對流擴散方程的中心差分格式、Samarskii格式以及Crank-Nicolson格式。中心差分格式和Samarskii格式是顯式格式,所以很適合于并行計算,但由于穩定性條件的限制,必須采用非常小的時間步長來計算。Crank-Nicolson格式是隱式格式,它是無條件穩定的,但在每一時間層上要求解線性方程組,實現并行計算有一定困難。中心差分格式的優點是簡單易算,但由于截斷誤差為,又僅當,時才穩定和收斂,所以想要算得略為精確一點,就要縮小。并且注意