多元函數微分學數學競賽輔導第七講一、重極限、連續、偏導數、全微分（概念，理論）二、偏導數與全微分計算四、應用（極值、切線、切平面）三、方向導數和梯度一、重極限、連續、偏導數、全微分（概念，理論）

是以“任意方式”1．重極限

題型一：求極限慣用方法：1）四則運算法則及復合函數運算法則；2）等價無窮小代換；3）利用無窮小量與有界變量之積為無窮小量.

4）夾逼定理；例1.求0例4.(江蘇競賽)A.等于1；B.等于0；C.等于-1；D.不存在D例2.求0例3.求=e練習求=0題型二：證實重極限不存在

慣用方法：沿不一樣路徑極限不一樣（如：沿過點直線）；2)沿某一路徑極限不存在.例5判斷函數在點連續性.練習證實重極限不存在2.連續3.偏導數例6練習：幾何意義例7.則在以下A.B.C.D.C條件中能確保4.全微分1)定義:若2)判定:必要條件:與都存在;充分條件:和在連續;是否為零?ii）用定義判定可微性：3)計算：5.連續、偏導存在和可微關系題型三討論連續性、可導性、可微性例8.CD例9A.極限存在但不連續B.連續但偏導數不存在C.偏導存在但不可微D.可微例10例11練習設,其中在點鄰域內連續,問1)應滿足什么條件才能使和都存在?2)在上述條件下在(0,0)點是否可微?（可微）練習2二偏導數與全微分計算依據結構圖，“分線相加，連線相乘”“分路偏導，單路全導”對抽象或半抽象函數，注意1.復合函數求導2.全微分形式不變性3.隱函數求導法方法:（b）兩邊求偏導（c）利用微分形式不變性:(1)（a）公式:(2)方法：兩邊求偏導；利用全微分形式不變性例12設求和.題型一求一階偏導數與全微分設,且當時,則例13.例14.(江蘇06競賽)練習：已知是某一函數全微分,則取值分別為（）B練習：例15.D題型二復合函數偏導數與高階偏導數練習.(07數一)練習.練習.設含有二階連續偏導數,且滿足又,求例16例17.注：偏導數坐標變換-----看作復合函數求偏導數或全導2：例18.(江蘇08競賽)練習1：3：題型三隱函數偏導數與全微分

例19.A.只能確定一個含有連續偏導數隱函數B.可確定兩個含有連續偏導數隱函數C.可確定兩個含有連續偏導數隱函數D.可確定兩個含有連續偏導數隱函數D例20.例21.練習.例22(99數一).

題型四已知偏導數，求函數.例23例24.例25.練習：例26.三、方向導數和梯度1.方向導數1)定義:可微,則2)計算:若2.梯度計算A)不連續;B)偏導數存在;C)沿任一方向方向導數不存在;D)沿任一方向方向導數均存在;在點(0,0)處例27函數()DD()例28設,則A)f(x,y)在(0,0)點連續;為任一方向方向余弦.B)

,其中C)在點沿軸負方向方向導數為.D)練習.練習：例29練習：四、多元函數微分學應用1.曲面切平面與法線2.曲線切線與法平面,,法向量:2)曲面1)曲面2)曲線,切向量:,法向量:其中1)曲線,切向量:練習：題型一建立曲面切平面和法線方程

例30.例31.練習練習題型二建立空間曲線切線和法平面方程,練習

求曲線在點處切線方程和法平面方程.練習(03數一)3.極值與最值1).無條件極值；定義:極大極小必要條件

充分條件2).條件極值與拉格朗日乘數法3).最大最小值極值點駐點題型一求無條件極值

例32求由方程所確定函數極值.1)在點處,極大值2)在點處,極小值解2

配方

解1：駐點例33.D注：經過變形（如取對數,去根號）,把復雜函數轉化為簡單函數是極值問題慣用技巧。例34.例35例36B例37解法1:保號性解法2:排除法解法3：特殊函數D練習（03數一）A題型三求最大最小值

題型二求條件極值練習求函數在條件下極值.解法2:化為無條件極值.解法1:拉格朗日乘數法,極小值8,0練習B例38.A.最大最小值點都在D