第十講站牌級秋季級秋季新運算級暑假級暑假級暑假方程；化連比；比例尺；按比分釋義第9級上超常體系教師版1引入“÷”我們每一個人最熟悉的符號之一，在我們的數學學習和日常生活中幾乎離不開它，可是國家的數學家在一起討論問題，大家都說要用自己國家的除法符號表示除法，一直爭論不休，差點打起來，最后決定讓中立國的瑞士大數學家拉哈當法官進行裁判，他看了兩國提供上來的符號，突“－”和“：習了第一個內容——分數，今天我們將學習第二個內容——比和比例.目標1、理解比和意義和性質，能熟練利用比的性質化簡比、求比值和化連比；2、理解比例的基本性質，能熟練利用比例的基本性質構造比例和解比例方程；3、掌握比例尺的定義，能運用比例尺來解決簡單的實際問題4、掌握連比的意義，能根據比例來解決按比分配問題.精講一、比的意義，比號后面的數叫后項叫比值(外)，比值不變.二、比例的意義⑴比例的定義：表示兩個比相等的式子叫做比例.如：12:15

4:5 12 2 第9級上超常體系教師版組成比例的四個數叫做比例的項，中間的兩項叫做比例的內項例如：2.4:1.6=60:40內項外項在以上3個比例中，我們可以發現：12:154:5

1251546098126722.4:1.660:402.4401.66096⑵比例的基本性質：在比例中，兩個外項的積等于兩個內項的積.解比例：根據比例的基本性質，如果我們已知比例中的任何三項可以求出這個比例中的另外一個未知項.求比例中的未知項，就叫做解比例.如：

:1201:55x12011201x x24⑶比和比例的區別：比是表示兩個數相除的關系比由兩項組成前項、后項）；任意兩個數都能組成比；比例由四項組成兩個外項一定都能組成比例.三、比例尺比例尺：圖上距離與實際距離的比值叫比例尺用公式表示：

圖上距離四、正比例和反比例正比例：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果兩種量中，相對應的兩個種關聯的量，用k表示它們的比值，正比例關系可以用下面式子表示：y÷x=k（k一定）反比例：兩種相關聯的量一種量變化，另一種量也隨著變化如果兩種量中，對應的兩個關聯的量，用k表示它們的乘積反比例關系可以用下面式子表示：x×y=k（k一定）思路例1：比的概念第9級上超常體系教師版3例2：化簡比、求比值例3：化連比例4：比例的基本性質例5：解比例例6：正反比例例7比例的簡單應用比例尺例8：按比分配應用題11、在下列括號內填上適當的數（1）兩個數相除又叫做這兩個數的 （2）比的前項相當于除法的（ 于分數的（ ）.

2、判斷對錯（1）50米：5米=10米. （ （2）一杯鹽水，鹽占鹽水的10，

（3）4：3的后項加上6，要想比值不變，前項也要加上6. （ 5.

（5）1克糖溶解在99克水中，糖和糖水的比是1：100. （ （6最簡整數比的前項和后項必須都是整數 （ （ （8比的前項和后項同時乘以比值不變 （ （2）被除數除數商分子分母

（4）21：31 （5）4:5=（8）=12：（15 ）=（20）÷25 （2）√ 3 5 6 7 錯誤答案簡要說明：同類量的比，比值是一個比率，沒有單位；不同類量的比，比值是一821、化簡比（最終仍然是比的形式）4 第9級上超常體系教師版（1）15∶25

（3）1.2∶2.8（4）7:21816（5）1:0.3

3:4（7）24:36:40

（8）1:1:1345

（9）3:2:14582、求比值（最終為整數、小數或分數形式）36：18

0.12：0.0953289

0.3:3

5米:1.5千米【分析】1、化簡比：

362

（31.2：28=3：（4）7:212:3816

1:0.3=

73 71035：= =35:64104 63:4=9:10（7）對于整數連比，只要除以它們的最大公因數；(24,36,40)424:36:40(244):(364):(404)6:9:10（8）對于含有分數和小數的連比，先化成整數連比，再化簡[3,4,5]60

111 ::(60):(60):(60)20:15:12345 458236:18=2

.

5米:1.5千米=【教學提示】結合化簡比和求比值，我們可以看出兩者的相似之處們是完全不同的兩個概念：比值是一個數值，比是兩數的關系可以用分數表示，但分數表達的意義是不同的，前者是一個數，后者是兩數的關系.3（1）甲、乙、丙三個數，甲數與乙數的比為3:4，乙數與丙數的比是4:7，則甲、乙、丙三個數的（2）甲、乙、丙三個數，甲數與乙數的比是3:4，乙數與丙數的比是6:5，則甲、乙、丙三個數的（3）甲、乙、丙三個數，甲的4又等于丙5，則甲、、丙三個數的比是

（4）甲、乙、丙三個數，甲：（乙+丙）4:3，乙：丙2:7，則甲、乙、丙三個數的比是 第9級上超常體系教師版5

【分析】（1）3:4:7（2）3:49:12，6:512:10，所以甲、乙、丙三數的比是9:12:10（3）甲：乙：丙7:4:5．（4）由乙：丙2:7可得到乙：（乙+丙）2:9，丙：（乙+丙）7:9，而甲：（乙+丙）4:312:9，所以：甲：乙：丙12:2:7． 1:24:8，甲：（乙+丙）5:7，所以甲：乙：丙3:4:5．（6）甲：乙：丙：丁27:36:48:64．金分割黃金分割又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數學比例關系，即將整體一分為二，較0.618被公認為最具有審美意義的比例數字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被稱為黃金分割。它在造型藝術中具有美學價值，在工藝美術和日用品的比例設計中，采用這一比值能夠引起人們的美感，在實際生活中的應用也非常廣泛，建筑物中某些線段的比就科學采用了黃金分割，舞臺上的報幕員并不是站在舞臺的正中央，而是偏在臺上一側。以站在舞位置最美觀，聲音傳播得最好。就連植物界也有采用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會看到葉子是按照黃金分割的規律排列著的。在很多科學到合理的配方和合適的工藝條件。正因為它在建筑、文藝、工農業生產和科學實驗中有著廣4（1）45,7,9 （學案對應：超常2）【分析】比例的內項乘積等于外項乘積.那么只要找到乘積兩兩相等的關系，就能找到比例式.（1）找不到乘積兩兩相等的關系，所以不能（2）214472:47:142:74:14214474:214:77:214:4（注：4個數寫成的比例是4個還是8個一直有爭議，有老師認為2：4=7：14與7：14=2：4是不6 第9級上超常體系教師版同的式子，因為它們的內外項發生變化；但從比例的定義入手，表示兩個比相等的式子叫做比例，上面的式子僅僅是左右換了一個順序，還是這兩個式子，因此是一個比例.蘇教版數學課本第43頁題目如下：3：6=2：4，你能說出其他三個比例的內項和外項各是多少嗎？）5列的方程

（2）(3x2):(2x3)4:7 4:325（學案對應：帶號2）【分析】（1）5(1x)3(7x)，解得x8（2）7(3x2)4(2x3)，解得x2 4253x 61、斷下列各題成什么比例關系（1）時間一定，平均每分鐘制作零件的個數與所能完成零件的總個數.（2）路程一定，車輪的半徑和車輪轉動的周數（圓的周長=2×圓周率×半徑）.（3）三角形的面積一定，它的底和高（4）單價一定，總價與數量.（5）修一段路，已經修的與未修的.（6）400ml，分的杯數與平均每杯水的體積（7）比例尺一定，圖上距離和實際距離.這棵樹有多高？（學案對應：超常3）（2）s2rn半徑和轉動周數乘積為定值，因此成反比例；3比例；4比例；（5）已經修的與未修的和是定值，因此不成比例；6比例7比例2、（1）設這棵樹有x米高，根據同一時間、同一地點身高和影長比不變有1.5:2.4x:4，即2.4x1.54，解得x2.5，因此這棵樹有2.5米高x4×4×328=8×8×x，解得x82，所以需要82塊.第9級上超常體系教師版72=7，18，？24（3）在比例尺為1:1000的地圖上，量得一棟大廈的地基（長方形）的長為8厘米，寬5厘米，這棟大廈地基的實際面積是多少（4）一副地圖上，用5厘米的距離表示實際距離1500千米.在這副地圖上量得A、B兩地的距離是3.5厘米，如果甲乙兩輛汽車分別從AB兩地同時相對開出，甲車每小時行49千米，乙車每小時行42千米，如果乙車在中途休息了1小時，出發多少幾小時后相遇？（學案對應：帶號3）【分析】（1）比例尺=圖上距離：實際距離，18千米=1800000厘米，3:1800000=1:600000（2）比例尺=圖上距離：實際距離，4厘米=40毫米，40:2=20:1（）實際距離圖上距離比例尺，長：1000=8000厘米=80米，寬：5÷1000=5000厘米=50米，面積為80×50=4000平方米 8分最高的一個同學得多少分？（2）甲、乙、丙三個同學第二次參加數學競賽，已知三人總分是238分，甲得分的6等于乙得分5又等于丙3，甲乙丙三人各得多少分（3）甲、乙、丙三個同學第三次參加數學競賽，已知甲的得分比丙多34分，甲得分的

乙得分的

5，甲乙丙三人各得多少分（4）甲、乙、丙三個同學第四次參加數學競賽，已知三人總分是246分，甲得分的2等于乙得分

，甲乙丙三人各得多少分【分析】（1）根據題意得分最高的應該是乙同學，得分為

697

（2）甲乙丙三個人的得分之比是6:5:3，甲的得分：238

653

653

51（分）8 第9級上超常體系教師版（3）甲乙丙三個人的得分之比是7:4:5，甲的得分：

34

4

單位，所以甲乙丙的得分之比

572：：23

121514

=72分，乙的得分為：

121514

分，丙的得分為246

分割比你聽說過黃金分割比嗎？1：0.618是最能引起人的美感的比例，因此被稱為黃金分來，一直有人認為把黃金比應用于造型藝術，可以使作品給人以最美的感覺。在人體軀干與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點，換言之，若人體下半身米，那么他的下半身長度是多少時，才會給人以最美感點總結一、比的意義：比叫做兩個數的比二、比例比例的基本性質：外項積等于內項積；若a:b=c:d則ad=bc三、比例尺：圖上距離與實際距離的比值圖上距離比例尺實際距離，

圖上距離=實際距離比例尺四、正比例和反比例第9級上超常體系教師版9②同樣的時間，甲乙的速度比為3：2，則甲乙走的路程之比為____；③同樣的速度甲乙用的時間比為2，則甲乙走的路程之比為去時用了多長時間？【分析】（1）①2:3②3:2③3:2（2）因為路程速度時間，來回的路程是一樣的，路程一定，時間和速度成反比.因為23時用的時間看作3份，那么回來時所用時間為2份，它們的和為5份，所以去時所用的時（3）18.5分1110秒，設甲乙兩地間的路程為[4,5,6]60份，則甲乙丙走完全程所用的時間比是12:15:10，所以甲走完全程用時為1110

121510

為36051800（米）

5:4:3際上，甲、乙、丙三人所得糖果數的比為7:6:5，其中有一位小朋友比原計劃多得了15塊糖果．那么這位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙”)，他實際所得的糖果數為 【分析】由于糖果總數不變，原計劃甲、乙、丙三人所得糖果數比為5:4:315:12:9；實際甲、乙、丙三人所得糖果數比為7:6:514:12:10，只有丙對應的份數是增加的，所以這位小朋友是丙.丙實際所得的糖果數為15(109)10150(塊)．3、北京中學生運動會男女運動員比例為19:12，組委會決定增加女子藝術體操項目，這樣男女運動員比例變為20:13；后來又決定增加男子象棋項目，男女比例變為30:19,已知男子象棋項目運動員比女子藝術體操運動員多15人，則總運動員人數為多少？【分析】增加女子藝術體操項目，男生人數不變，所以19:12380:240，20:13380:247，增加男子象棋項目，又女生人數不變30:19390:247，所以15人對應的是(390380)(247240)3份，所以現在總運動員人數為153(390247)3185（人）作業1、判斷對錯 （ （2）一杯鹽水，鹽占鹽水的10，鹽和水的比是1∶10.

（3）1克糖溶解在99克水中，糖和糖水的比是1：99. （ （4）4：3的后項加上9，要想比值不變，前項也要加上9. （ 10第9級上超常體系教師版（5）30米：5米=6米. （ （6）一個比的前項與后項同時擴大3倍，則比值也擴大3倍. （ 【分析】（1）× （2）×（3）×（4）× （5）×（6）×2、化簡下列各比：(1)80

(2)

【分析】（1）8080402120 12040 2

:2( 20):(220)14:450.7:240.7:2.25(0.7100):(2.25100)70:225(705):(2255)14:453、在一個比例式中，兩個外項都是大于1的整數，它們的積是39，一個內項是這個積的5，這個比例式可以是 【分析】兩個外項分別是3和13，兩個內項分別是7.8和5，所以比例式可以是3:57.8:13或3：7.8=5：13，也可反過來，13：5=7.8：3或13：7.8=5：3共四種可能.任寫一種即可.4、():4358:129； ()

()95 【分析】根據比例的基本性質，求比例中的未知項x:4358:129129x4358

2x316x24

95 323613219.【分析】設這個建筑物有x米高，1:0.3x:2.7，解得x9，所以這個建筑物有9米高 【分析】設這批零件共有12個，求得甲乙的效率比是3:4，也可以用反比例解釋.速度于上午9時整從濟南出發，走完這段路程到達煙臺時是什么時刻？【分析】實際距離=圖上距離÷比例尺，兩地相距3.6÷2000000=7200000厘米=72千米，經過72÷30=2.4小時=2小時24分鐘，到達時間為11時24分8、小新、小志、小剛三人擁有的藏書數量之比為3:4:6，三人一共藏書52本，求他們三人各自的藏書數量.第9級上超常體系教師版11【分析】根據題意可知，他們三人各自的藏書數量分別占三人藏書總量的346

346

346

，所以小新擁有的藏書數量為

346

本，小志擁有的藏書數量為52346

本，小剛擁有的藏書數量為52346

本.班學案14又等于丙5數的比是 【分析】（1）甲：乙：丙21:24:10．（2）甲：乙：丙：丁27:45:75:125．【超常班學案2】下面4個數，能寫成比例嗎？如果能，請寫出全部比例：3.5,5,7,10【分析】比例的內項乘積等于外項乘積.那么只要找到乘積兩兩相等的關系，就能找到比例式.3.5:57:105:3.510:73.510573.5:75:107:3.510:5【超常班學案3】小明從甲地到乙地，去時每時走2千米，回來時每時走3千米，回來比去時少用【分析】因為路程速度時間，來回的路程是一樣的，速度不同導致所用的時間不同，同時，速2：33322枚伍分硬幣摞在一起一樣高．用壹分、貳分、伍分硬幣各摞成一個圓柱體，并且三個圓柱體一樣【分析】由題目條件壹分硬幣和貳分硬幣的數量比為6:5，壹分硬幣和伍分硬幣的數量比為3:26:4，所以壹分硬幣、貳分硬幣以及伍分硬幣的數量比為6:5:4，因此壹分硬幣的數量為

654

枚，貳分硬幣的數量為

654

枚，伍分硬幣的數量為

6