第3課時(shí)導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

關(guān)鍵能力·應(yīng)用實(shí)踐考向一導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用【多維題組】速通關(guān)1.(2020·全國(guó)Ⅰ卷)函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為(

)A.y=-2x-1 B.y=-2x+1C.y=2x-3 D.y=2x+1【解析】選B.因?yàn)閒(x)=x4-2x3,所以f′(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f′(1)=-2,因此,所求切線的方程為y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.【加練備選】

(2020·湖南二模)已知M(1,0),N是曲線y=ex上一點(diǎn),則

的最小值為(

)A.1 B.

C.e D.【解析】選B.y=ex的導(dǎo)數(shù)為y′=ex.設(shè)N.可得過(guò)N的切線的斜率為em,當(dāng)MN垂直于切線時(shí),取得最小值,可得,則e2m+m=1.因?yàn)閒(x)=e2x+x單調(diào)遞增,且f(0)=1,所以m=0.所以的最小值為.2.曲線y=e-2x+1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為(

)

【解析】選A.由題意,得:y′=(e-2x+1)′=e-2x(-2x)′=-2e-2x,則在點(diǎn)(0,2)處的切線斜率為k=-2e0=-2,所以切線方程為y=-2x+2.聯(lián)立得C.所以所求三角形的面積為S△OBC=.

3.設(shè)曲線f(x)=ex+2x(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上任意一點(diǎn)處的切線為l1,總存在曲線g(x)=-ax+sinx上某點(diǎn)處的切線l2,使得l1⊥l2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)【解析】選D.f(x)=ex+2x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ex+2,設(shè)(x1,y1)為f(x)上的任意一點(diǎn),則過(guò)(x1,y1)處的切線l1的斜率為k1=+2,g(x)=-ax+sinx的導(dǎo)數(shù)為g′(x)=cosx-a,過(guò)g(x)圖象上一點(diǎn)(x2,y2)處的切線l2的斜率為k2=-a+cosx2.由l1⊥l2,可得(+2)·(-a+cosx2)=-1,即-a+cosx2=y=-a+cosx2的值域?yàn)锳=[-a-1,-a+1],

的值域?yàn)锽=任意的x1∈R,總存在x2∈R使等式成立,所以B?A,即

?[-a-1,-a+1],【技法點(diǎn)撥】提素養(yǎng)與導(dǎo)數(shù)幾何意義有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)已知切點(diǎn)求切線方程.解決此類(lèi)問(wèn)題的步驟為:①求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù),即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率;②由點(diǎn)斜式求得切線方程為y-y0=f′(x0)·(x-x0).(2)已知斜率求切點(diǎn):已知斜率k,求切點(diǎn)(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.(3)求切線傾斜角的取值范圍:先求導(dǎo)數(shù)的取值范圍,即確定切線斜率的取值范圍,然后利用正切函數(shù)的單調(diào)性解決.(4)根據(jù)切線的性質(zhì)求傾斜角或參數(shù)值:已知曲線上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線與已知直線的關(guān)系(平行或垂直),確定該切線的斜率k,再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到k=f′(x0)=tanα,其中傾斜角α∈[0,π),根據(jù)范圍進(jìn)一步求得角α或有關(guān)參數(shù)的值.考向二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【多維題組】速通關(guān)1.已知函數(shù)

若f′

=2021,則x0=(

)A.e2 B.1 C.ln2 D.e【解析】選D.由函數(shù)則f′(x)=2019+lnx+x·=2020+lnx,又f′=2021,則lnx0=1,即x0=e.2.等比數(shù)列

中,a1=1,a12=8,函數(shù)f(x)=則f′(0)=(

)A.212 B.215 C.218 D.221【解析】選C.令g(x)=(x-a1)(x-a2)·…·(x-a12),則f(x)=xg(x),所以f′(x)=g(x)+xg′(x),所以f′(0)=g(0)=a1a2·…·a11a12=

=86==218.3.設(shè)函數(shù)f(x)=f′

x2-2x+f(1)lnx,曲線f(x)在(1,f(1))處的切線方程是(

)A.5x-y-4=0 B.3x-y-2=0C.x-y=0 D.x=1【解析】選A.因?yàn)閒(x)=f′x2-2x+f(1)lnx,所以f′(x)=2f′x-2+.令x=得f′=2f′×-2+2f(1),即f(1)=1.又f(1)=f′-2,所以f′=3,所以f′(1)=2f′-2+f(1)=6-2+1=5.所以曲線在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-1=5(x-1),即5x-y-4=0.【加練備選】已知函數(shù)f(x)=x2lnx+1-f′(1)x,則函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)

處的切線斜率為(

)【解析】選A.因?yàn)閒(x)=x2lnx+1-f′(1)x,所以f′(x)=2xlnx+x-f′(1),所以f′(1)=1-f′(1),解得f′(1)=,因此,函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為.4.(2020·廣東一模)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),記f1(x)=f′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x)(n∈N*).若f(x)=xsinx,則f2019(x)+f2021(x)=(

)A.-2cosx B.-2sinxC.2cosx D.2sinx【解析】選D.由題意可知:f(x)=xsinx,所以f1(x)=sinx+xcosx,f2(x)=2cosx-xsinx,f3(x)=-3sinx-xcosx,f4(x)=-4cosx+xsinx,f5(x)=5sinx+xcosx,…,所以猜想可知:f4k-3(x)=sinx+xcosx,f4k-2(x)=cosx-xsinx,f4k-1(x)=-sinx-xcosx,f4k(x)=-4kcosx+xsinx.由2019=4×505-1,2021=4×506-3,所以f2019(x)=-2019sinx-xcosx,f2021(x)=2021sinx+xcosx,所以f2019(x)+f2021(x)=2sinx.【技法點(diǎn)撥】提素養(yǎng)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的原則和方法(1)原則:先化簡(jiǎn)解析式,再求導(dǎo).(2)方法:①連乘積形式:先展開(kāi)化為多項(xiàng)式的形式,再求導(dǎo);②分式形式:觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù),再求導(dǎo);③對(duì)數(shù)形式:先化為和、差的形式,再求導(dǎo);④根式形式:先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,再求導(dǎo);⑤三角形式:先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式,再求導(dǎo);⑥復(fù)合函數(shù):由外向內(nèi),層層求導(dǎo).考向三導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用(重難突破)【多維題組】速通關(guān)1.已知f(x)=alnx+

x2(a>0),若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1,x2,都有

>2恒成立,則a的取值范圍是(

)【考場(chǎng)思維】解題方法轉(zhuǎn)化構(gòu)造法方法應(yīng)用變形不等式構(gòu)造函數(shù)導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化單調(diào)性導(dǎo)函數(shù)符號(hào)定參數(shù)素養(yǎng)考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理【解析】選D.根據(jù)>2可知令g(x)=f(x)-2x=alnx+x2-2x(a>0)為定義域上的增函數(shù),所以g′(x)=+x-2≥0恒成立,分離參數(shù)得a≥x,而當(dāng)x>0時(shí),x最大值為1,故a≥1.2.若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn),則f(x)的極小值為(

)A.-1 B.-2e-3C.5e-3 D.1【解析】選A.由題可得f′(x)因?yàn)閒′(-2)=0,所以a=-1,故令f′(x)>0,解得x<-2或x>1,所以f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以f(x)的極小值為e1-1=-1.3.(2020·遼寧二模)已知函數(shù)

,若存在實(shí)數(shù)s,t滿足0≤s<t,且f(s)=f(t),則t-4s的最小值為(

)A.1 B.e2-1C.2-ln2 D.2-2ln2【考場(chǎng)思維】解題方法導(dǎo)數(shù)法方法應(yīng)用利用方程建立關(guān)系代入目標(biāo)構(gòu)建函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值素養(yǎng)考查數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象【解析】選D.作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示:

因?yàn)閒(s)=f(t),結(jié)合圖象可知2s=lnt=m,(0<m≤2),可得s=

,t=em,令t-4s=em-2m=h(m),h′(m)=em-2,

令h′(m)=em-2=0,解得m=ln2,可以判斷函數(shù)h(m)在(0,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,2]上單調(diào)遞增,所以h(m)在m=ln2處取得最小值,且h(ln2)=eln2-2ln2=2-2ln2.

4.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),滿足f′(x)-f(x)>1,f(0)=2019,則不等式f(x)>2020ex-1(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為(

)【考場(chǎng)思維】解題方法構(gòu)造法方法應(yīng)用利用求導(dǎo)法構(gòu)造函數(shù)利用已知判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)根據(jù)單調(diào)性解不等式素養(yǎng)考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理【解析】選C.令g(x)=,因?yàn)閒′(x)-f(x)>1,f(0)=2019,則g′(x)=>0,故g(x)在R上單調(diào)遞增,且g(0)=2020,由f(x)+1>2020ex,可得>2020,即g(x)>g(0),所以x>0,故選C.5.(2020·濰坊三模)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)在x=0處有極大值B.f(x)在x=2處有極小值C.f(x)在

上單調(diào)遞減D.f(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)【解析】選C.由函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=x4

可知,當(dāng)x∈時(shí),f′(x)≥0,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和;當(dāng)x∈時(shí),f′(x)≤0,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,故AB錯(cuò)誤,C正確.又f(1),f(3)的符號(hào)無(wú)法確定,故無(wú)法確定f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),故D錯(cuò)誤.【技法點(diǎn)撥】提素養(yǎng)求函數(shù)f(x)極值的方法求函數(shù)的極值應(yīng)先確定函數(shù)的定義域,再解方程f′(x)=0,再判斷f′(x)=0的根是否是極值點(diǎn),可通過(guò)列表的形式進(jìn)行分析,若遇極值點(diǎn)含參數(shù)不能比較大小時(shí),則需分類(lèi)討論.【變式訓(xùn)練】1.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,則不等式exf(x)>ex+3的解集為(

)A.(0,+∞)B.(-∞,0)∪(3,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞)D.(3,+∞)【解析】選A.由exf(x)>ex+3變形得,ex[f(x)-1]-3>0,設(shè)g(x)=ex[f(x)-1]-3,所以原不等式等價(jià)于g(x)>g(0),因?yàn)間′(x)=ex[f(x)-1]+ex·f′(x)=ex[f(x)+f′(x)-1]>0,所以g(x)在定義域R上遞增,由g(x)>g(0),得x>0.2.若函數(shù)f(x)=

x2-2x+alnx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.a>1 B.-1<a<0C.a<1 D.0<a<1【解析】選D.f(x)的定義域是(0,+∞),若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),則g(x)=x2-2x+a在(0,+∞)上有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,故解得0<a<1.題組訓(xùn)練·素養(yǎng)提升【新題速遞】1.若曲線y=x3-2x2+2在點(diǎn)A處的切線方程為y=4x-6,且點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0(其中m>0,n>0)上,則

的最小值為(

)

A.4

B.3+2

C.6+4

D.8

【解析】選C.設(shè)A(s,t),y=x3-2x2+2的導(dǎo)數(shù)為y′=3x2-4x,可得切線的斜率為3s2-4s,切線方程為y=4x-6,可得3s2-4s=4,t=4s-6,解得s=2,t=2或s=-,t=-.由點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0(其中m>0,n>0)上,可得2m+2n=1,則當(dāng)且僅當(dāng)n=m時(shí),取得最小值6+4.2.若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x),滿足f(x)-2f′(1)lnx+x=0,則f′(2)=(

)A.0 B.-1 C.-e D.e【解析】選A.因?yàn)閒(x)-2f′(1)lnx+x=0,即f(x)=2f′(1)lnx-x,所以f′(x)=2f′(1)×-1.所以f′(1)=2f′(1)-1,所以f′(1)=1,所以f′(x)=-1,令x=2則f′(2)=-1=0.3.(2020·浙江二模)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),函數(shù)y=sinx·f′(x)(x∈D)的圖象如圖所示,則f(x)(

)

A.有極小值f(2),極大值f(π)B.有極大值f(2),極小值f(0)C.有極大值f(2),無(wú)極小值D.有極小值f(2),無(wú)極大值

【解析】選D.當(dāng)x∈時(shí),sinx>0,當(dāng)x∈時(shí),sinx<0,則由圖象可得當(dāng)x∈時(shí),f′(x)≤0,當(dāng)x∈時(shí),f′(x)≥0,故函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則由圖象可得函數(shù)f(x)在定義域D上,先減后增,有極小值f(2),無(wú)極大值.4.(2020·北京二模)已知函數(shù)f(x)=

+cosx,給出下列結(jié)論:①f(x)在

上有最小值,無(wú)最大值;②設(shè)F(x)=f(x)-f

,則F(x)為偶函數(shù);③f(x)在

上有兩個(gè)零點(diǎn).其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_______.(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))

【解析】由于x∈,所以f′(x)=--sinx<0,所以f(x)在上遞減,所以f(x)在上有最小值,無(wú)最大值,故①正確.依題意F(x)=f(x)-f=+cosx-由于F≠F(x),所以F(x)不是偶函數(shù),故②錯(cuò)誤.令f(x)=0得cosx=-,畫(huà)出y=cosx和y=-在區(qū)間上的圖象如圖所示,由圖可知y=cosx和y=-在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),則f(x)在上有兩個(gè)零點(diǎn),故③正確.答案:①③

【創(chuàng)新遷移】1.給出定義:若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo),即f′(x)存在,且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo),則稱(chēng)f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù),記f′′(x)=(f′(x))′,若f′′(x)<0在D上恒成立,則稱(chēng)f(x)在D上為凸函數(shù).以下四個(gè)函數(shù)在

上不是凸函數(shù)的是(

)A.f(x)=sinx+cosx B.f(x)=lnx-2xC.f(x)=-x3+2x-1 D.f(x)=-xe-x【解析】選D.若f(x)=sinx+cosx,則f″(x)=-sinx-cosx,在x∈上,恒有f″(x)<0;若f(x)=lnx-2x,則f″(x)=-,在x∈上,恒有f″(x)<0;若f(x)=-x3+2x-1,則f″(x)=-6x,在x∈上,恒有f″(x)<0;若f(x)=-xe-x,則f″(x)=2e-x-xe-x=(2-x)e-x.在x∈上,恒有f″(x)>0.【加練備選】對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1,x2,當(dāng)0<x1<x2<e時(shí),有x1lnx2-x2lnx1>ax2-ax1恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____.

【解析】當(dāng)0<x1<x2<e時(shí),x1lnx2-x2lnx1>ax2-ax1恒成立等價(jià)于恒成立,等價(jià)于g(x)=在(0,e)上單調(diào)遞增,所以g′(x)=≥0在(0,e)上恒成立,所以a≤1-lnx在(0,e)上恒成立,因?yàn)楫?dāng)x∈(0,e)時(shí),1-lnx≥1-lne=0,所以a≤0.答案:a≤02.2019年底,武漢發(fā)生“新型冠狀病毒肺炎”疫情,國(guó)家衛(wèi)健委緊急部署,從多省調(diào)派醫(yī)務(wù)工作者前去支援,正值農(nóng)歷春節(jié)舉家團(tuán)圓之際,他們成為“最美逆行者”.武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門(mén)排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無(wú)法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和確診患者的密切接觸者等“四類(lèi)”人員,強(qiáng)化網(wǎng)格化管理,不落一戶、不漏一人.若在排查期間,某小區(qū)有5人被確認(rèn)為“確診患者的密切接觸者”,現(xiàn)醫(yī)護(hù)人員要對(duì)這5人隨機(jī)進(jìn)行逐一“核糖核酸”檢測(cè),只要出現(xiàn)一例陽(yáng)性,則將該小區(qū)確定為“感染高危小區(qū)”.假設(shè)每人被確診的概率均為p

且相互獨(dú)立,若當(dāng)p=p0時(shí),至少檢測(cè)了4人該小區(qū)被確定為“感染高危小區(qū)”的概率取得最大值,則p0=________.

【解析】由題意知,至少檢測(cè)了4人該小區(qū)被確定為“感染高危小區(qū)”的概率f(p)=p(1-p)3+p(1-p)4,f′(p)=(1-p)2

令f′(p)=0,解得p=1-故f(p)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故當(dāng)p=1-時(shí),f(p)取得最大值.答案:1-專(zhuān)題能力提升練二十二導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用(40分鐘80分)一、單項(xiàng)選擇題(共8小題,每小題5分,共40分)1.已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+2y-2=0,則f(1)+f′(1)=(

)A.

B.1 C.

D.0【解析】選D.切點(diǎn)(1,f(1))在切線x+2y-2=0上,所以1+2f(1)-2=0,得f(1)=,又切線斜率k=f′(1)=-,所以f(1)+f′(1)=0.一、單項(xiàng)選擇題(共8小題,每小題5分,共40分)1.已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+2y-2=0,則f(1)+f′(1)=(

)A.

B.1 C.

D.0【解析】選D.切點(diǎn)(1,f(1))在切線x+2y-2=0上,所以1+2f(1)-2=0,得f(1)=,又切線斜率k=f′(1)=-,所以f(1)+f′(1)=0.【加練備選】(2020·陜西二模)已知曲線y=aex+xlnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y=2x+b,則

(

)A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1【解析】選D.y′=aex+lnx+1,k=y′|x=1=ae+1=2,所以a=e-1,將(1,1)代入y=2x+b得2+b=1,b=-1.2.已知函數(shù)f(x)=ex-mx+1的圖象為曲線C,若曲線C存在與直線y=ex垂直的切線,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.

【解析】選B.函數(shù)f(x)=ex-mx+1的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ex-m,若曲線C存在與直線y=ex垂直的切線,即有ex-m=-有解,即m=ex+.由ex>0,得m>,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.3.已知函數(shù)f(x)=

+sinx,其導(dǎo)函數(shù)記為f′(x),則f(2020)+f(-2020)+f′(2020)-f′(-2020)的值為(

)A.2 B.1 C.0 D.-2【解析】選A.因?yàn)閒(x)=+sinx,所以f′(x)=-+cosx,所以f(x)+f(-x)=+sinx++sin(-x)=2,f′(x)-f′(-x)=-+cosx+-cos(-x)=-+=-+=0,所以f(2020)+f(-2020)+f′(2020)-f′(-2020)=2.4.已知函數(shù)f(x)=xlnx+x2,x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),以下幾個(gè)結(jié)論中正確的是

(

)A.x0<

B.x0>

C.f(x0)+2x0<0 D.f(x0)+2x0>0【解析】選D.函數(shù)f(x)=xlnx+x2(x>0),所以f′(x)=lnx+1+2x,因?yàn)閤0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),所以f′(x0)=0,所以lnx0+1+2x0=0,所以f′()=>0,f′()=-1<0,又f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以x0∈,故排除A,B.f(x0)+2x0=x0lnx0++2x0=x0(lnx0+x0+2)=-x0(x0-1)>0,即D正確,C不正確.【加練備選】已知函數(shù)f(x)=x-sinx,則不等式f(x2-1)+f(2x-2)>0的解集是(

)A.

B.

C.

D.【解析】選C.因?yàn)閒(-x)=-x+sinx=-f(x),所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù),因?yàn)閒′(x)=1-cosx≥0恒成立,所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,故f(x2-1)+f(2x-2)>0,即f(x2-1)>-f(2x-2)=f(-2x+2),所以x2-1>-2x+2,x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,故其解集為.5.(2020·唐山一模)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且滿足f(x)+xf′(x)>0(f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)),則不等式(x-1)f(x2-1)<f(x+1)的解集為(

)A.（-∞,2） B.（1,+∞）C.（-1,2）D.（1,2）【解析】選D.構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x),其中x>0,則g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,所以,函數(shù)y=g(x)在定義域(0,+∞)上為增函數(shù),在不等式(x-1)f(x2-1)<f(x+1)兩邊同時(shí)乘以x+1得(x2-1)f(x2-1)<(x+1)f(x+1)，即g(x2-1)<g(x+1),所以,解得1<x<2.因此,不等式(x-1)f(x2-1)<f(x+1)的解集為（1,2）.【加練備選】(2020·甘肅一模)已知定義在R上的函數(shù)f(x),f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足xf′(x)-f(x)=x2ex,f(1)=e,則f(x)的最小值為(

)A.-e B.e C.

D.-

【解題指南】將題干中的等式變形為=ex,可得出′=ex,并構(gòu)造函數(shù)F(x)=,可得出=ex+c,進(jìn)而可得出f(x)=xex+cx,利用f(1)=e求得c的值,可得出函數(shù)y=f(x)的解析式,進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)f(x)的最小值.【解析】選D.由xf′(x)-f(x)=x2ex,變形得=ex,即′=ex,所以=ex+c(c為常數(shù)),則f(x)=xex+cx,由f(1)=e+c=e,得c=0.所以f(x)=xex,所以f′(x)=(x+1)ex,當(dāng)x<-1時(shí),f′(x)<0,此時(shí)函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>-1時(shí),f′(x)>0,此時(shí)函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增.所以,函數(shù)y=f(x)在x=-1處取得極小值,亦即最小值,則.6.若f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1處取得極大值10,則

的值為(

)A.-

或-

B.-

或

C.-

D.-【解析】選C.因?yàn)閒(x)=x3+ax2+bx-a2-7a,所以f′(x)=3x2+2ax+b,又f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1處取得極大值10,所以f′(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b-a2-7a=10,所以a2+8a+12=0,所以a=-2,b=1或a=-6,b=9.當(dāng)a=-2,b=1時(shí),f′(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1),當(dāng)<x<1時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x>1時(shí),f′(x)>0,所以f(x)在x=1處取得極小值,與題意不符;當(dāng)a=-6,b=9時(shí),f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),當(dāng)x<1時(shí),f′(x)>0,當(dāng)1<x<3時(shí),f′(x)<0,所以f(x)在x=1處取得極大值,符合題意;則.7.(2020·撫順二模)已知函數(shù)f(x)=ex+

-lnx的極值點(diǎn)為x1,函數(shù)g(x)=ex+x-2的零點(diǎn)為x2,函數(shù)h(x)=

的最大值為x3,則(

)A.x1>x2>x3 B.x2>x1>x3C.x3>x1>x2 D.x3>x2>x1【解析】選A.因?yàn)閒′(x)=ex+x-在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f′（）=->0,f′（）=-<0,所以x1∈(,),且+x1-=0,因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=ex+x-2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且g()=->0,g()=+-2<0,所以x2∈(,),又g(x1)=+x1-2=()+x1-2=-2>0=g(x2),且g(x)單調(diào)遞增,所以x1>x2.由h′(x)=可得:,即x3=<,所以x1>x2>x3.8.(2020·青海一模)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0,則a的取值范圍是(

)A.(2,+∞) B.(1,+∞)C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)【解析】選C.當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-3x2+1,函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)和-,不滿足題意,舍去;當(dāng)a>0時(shí),f′(x)=3ax2-6x,令f′(x)=0,得x=0或x=.x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)>0;x∈時(shí),f′(x)<0;x∈時(shí),f′(x)>0,且f(0)>0,此時(shí)在x∈(-∞,0)必有零點(diǎn),故不滿足題意,舍去;當(dāng)a<0時(shí),x∈時(shí),f′(x)<0;x∈時(shí),f′(x)>0;x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)<0,且f(0)>0,要使得f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0,只需f()>0,即a2>4,則a<-2.二、多項(xiàng)選擇題(共4小題,每小題5分,共20分)9.設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f′(x)>0,且?x1,x2∈R(x1≠x2),f(x1)+f(x2)<

,則下列各項(xiàng)中正確的是(

)A.f(2)<f(e)<f(π)B.f′(2)<f′(e)<f′(π)C.f′(2)<f(3)-f(2)<f′(3)D.f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2)【解析】選AD.由f′(x)>0知,f(x)在R上單調(diào)遞增,則f(2)<f(e)<f(π),故A正確;?x1,x2∈R(x1≠x2),恒有f(x1)+f(x2)<,即所以y=f(x)的圖象是向上凸起的,如圖所示,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,隨著x的增加,f(x)的圖象越來(lái)越平緩,即切線斜率越來(lái)越小,所以f′(π)<f′(e)<f′(2),故B錯(cuò)誤;又kAB==f(3)-f(2),所以由圖易知f′(3)<kAB<f′(2),故D正確,C錯(cuò)誤.10.已知f(x)=

,下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增B.f(2)>f(3)C.f(x)的圖象在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y=x-1D.若關(guān)于x的不等式

有正整數(shù)解,則λ>9【解析】選AC.f(x)=,則f′(x)=易知f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,A正確;又f(2)=,f(3)=所以f(2)<f(3),B錯(cuò)誤.f′(1)=1,f(1)=0,故切線方程為y=x-1,C正確;若有正整數(shù)解,則≥27,所以lnx≥3ln3.因?yàn)閤>0,所以λ>0,所以

.λ=9時(shí),有正整數(shù)解,故D錯(cuò).11.已知函數(shù)f(x)=xlnx,若0<x1<x2,則下列結(jié)論正確的是(

)A.x2f(x1)<x1f(x2)B.x1+f(x1)<x2+f(x2)C.

D.當(dāng)lnx>-1時(shí),x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1)【解析】選AD.因?yàn)榱頶(x)==lnx,在(0,+∞)上是增函數(shù),所以當(dāng)0<x1<x2時(shí),g(x1)<g(x2),所以,即x2f(x1)<x1f(x2).故A正確;因?yàn)榱頶(x)=f(x)+x=xlnx+x,所以g′(x)=lnx+2,所以x∈(e-2,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,x∈(0,e-2)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.所以x1+f(x1)與x2+f(x2)無(wú)法比較大小.故B錯(cuò)誤;因?yàn)榱頶(x)=f(x)-x=xlnx-x,g′(x)=lnx,所以x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0,g(x)在(0,1)單調(diào)遞減,x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,所以當(dāng)0<x1<x2<1時(shí),g(x1)>g(x2),所以f(x1)-x1>f(x2)-x2,所以f(x1)-f(x2)>x1-x2,所以當(dāng)1<x1<x2時(shí),g(x1)<g(x2),所以f(x1)-x1<f(x2)-x2,所以f(x1)-f(x2)<x1-x2,所以.故C錯(cuò)誤;因?yàn)閘nx>-1時(shí),f(x)單調(diào)遞增,又因?yàn)锳正確,所以x1·f(x1)+x2·f(x2)-2x2f(x1)>x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]=(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0.故D正確.12.已知f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),且f(x)=

x2-f(0)x+f′(1)ex-1,若g(x)=f(x)-

x2+x,方程g(ax)-x=0有且只有一個(gè)根,則(

)A.f′(1)=eB.f(0)=1C.a的取值范圍為a≤0D.a的取值范圍為a≤0或【解析】選ABD.因?yàn)閒(x)=x2-f(0)x+f′(1)ex-1,所以f(0)=又f′(x)=x-f(0)+f′(1)ex-1,所以因此f′(1)=e,f(0)=1,所以選項(xiàng)A,B正確,所以f(x)=x2-f(0)x+f′(1)ex-1=x2-x+ex,因此g(x)=f(x)-x2+x=ex,因?yàn)榉匠蘥(ax)-x=0有且只有一個(gè)根,所以eax=x有且只有一個(gè)根,即有且只有一個(gè)實(shí)根,且x>0;令h(x)=(x>0),則由h′(x)=0得x=e,所以當(dāng)x>e時(shí),h′(x)