1997年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題一、填空題(本題共5分,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上 .)(1)已知f(x)(cosx)x2,x0,在x0處連續,則a.a,x0(2)設yln1x,則y.1x2x0(3)dx.x(4x)(4)dx.0x24x8(5)已知向量組1(1,2,1,1),2(2,0,t,0),3(0,4,5,2)的秩為2,則t.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)設x0時,etanxex與xn是同階無窮小,則n為()(A)1(B)2(C)3(D)4設在區間[a,b]上f(x)0,f(x)0,f(x)0,記S1b(2)f(x)dx,S2f(b)(ba),aS31f(b)](ba),則()[f(a)2(A)S1S2S3(B)S2S3S1(C)S3S1S2(D)S2S1S3(3)已知函數yf(x)對一切x滿足xf(x)3x[f(x)]21ex,若f(x0)0(x00),則()f(x0)是f(x)的極大值f(x0)是f(x)的極小值(x0,f(x0))是曲線yf(x)的拐點(D)f(x0)不是f(x)的極值,(x0,f(x0))也不是曲線yf(x)的拐點(4)設F(x)x2esintsintdt,則F(x)()x(A)為正常數(B)為負常數(C)恒為零(D)不為常數2x,x02(5)設g(x)x,x0,則g[f(x)]為()x2,x,f(x)0x,x0(A)2x2,x0(B)2x2,x02x,x02x,x0(C)2x2,x0(D)2x2,x02x,x02x,x0三、(本題共6小題,每小題5分,滿分30分.)(1)求極限lim4x22x1x1.xxsinx(2)設yy(x)由xarctant所確定,求dy.2yty2et5dx計算e2x(tanx1)2dx.(4)求微分方程(3x22xyy2)dx(x22xy)dy0的通解.(5)已知y1xexe2x,y2xexex,y3xexe2xex是某二階線性非齊次微分方程的三個解,求此微分方程 .111(6)已知A011,且A2ABE,其中E是三階單位矩陣,求矩陣B.001四、(本題滿分8分.)2x1x2x31取何值時,方程組x1x2x32無解,有惟一解或有無窮多解？并在有無窮4x15x25x31多解時寫出方程組的通解.五、(本題滿分8分)設曲線L的極坐標方程為 r r(),M(r, )為L上任一點,M0(2,0)為L上一定點,若極徑OM0、OM與曲線L所圍成的曲邊扇形面積值等于 L上M0,M兩點間弧長值的一半,求曲線L的方程.六、(本題滿分 8分)設函數f(x)在閉區間

[0,1]上連續

,在開區間

(0,1)內大于零

,并滿足

xf(x)

f(x)3ax2

(

a

為常數

),

又曲線

y

f(x)與

x

1,y

0所圍成的圖形

S的面積值為

2,求函數2y f(x),并問a為何值時,圖形S繞x軸旋轉一周所得的旋轉體的體積最小 .七、(本題滿分 8分.)已知函數f(x)連續,且limf(x)2,設(x)f(xt)dt,求(x),并討論(x)的1x0x0連續性.八、(本題滿分 8分)就k的不同取值情況 ,確定方程 x sinx k在開區間(0, )內根的個數,并證明你2 2的結論.1997年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題解析一、填空題(本題共5分,每小題3分,滿分15分.把答案在題中橫線上 .)1【答案】e2【解析】由于 f(x)在x 0處連續,故f(0) limf(x)x 0lncosxlimex2x0sinxlimx02xcosxe

lnf(x)limeln(cosx)x2x2lncosxlimelimex0x0x0limlncosx洛必達1(sinx)limcosx2xex0x2x0e1e2【相關知識點】1.函數yf(x)在點x0連續：設函數f(x)在點x0的某一鄰域內有定義,如果limf(x)f(x0),則稱函數f(x)在點xx0x0連續.2.如果函數在x0處連續,則有limf(x)limf(x)f(x0).xx0xx0(2)【答案】32,按照復合函數求導法則具體計算如下：【解析】題目考察復合函數在某點處的高階導數y1ln(1x)ln(1x2),2y1(112x2)1x)x2,21xx2(11xy11x2,y3.2(1x)2(12)2x02x【相關知識點】1.復合函數求導法則：如果ug(x)在點x可導,而yf(x)在點ug(x)可導,則復合函數yfg(x)在點x可導,且其導數為dyf(u)g(x)或dydydu.dxdxdudx(3)【答案】arcsinx22C或2arcsinxC2【解析】題目考察不定積分的計算,分別采用湊微分的方法計算如下：dxd(x2)arcsinx2方法1：原式=2)22C.4(x1x2)22(2xdxdxdx方法2：原式222arcsin22C.x4(x)4(x)21(x)222【答案】8【解析】題目考察廣義積分的計算 ,采用湊微分的方法 ,結合基本微分公式表計算如下：dx1d(x2)原式204(x2)220x221()21x21().2arctan282024【答案】3【解析】方法1：利用初等變換.以1,2,3為行構成34矩陣,對其作初等變換：112112121211A220t004t22304520452321121104t22,003t01因為r A r 23

2,所以3 t 0,t 3.方法2：利用秩的定義 .由于r應有

123123

r A 2,則矩陣A中任一三階子行列式應等于零 .121120t0,045212112112120t04t204t20,045045003t解得t 3.方法3：利用線性相關性.因為r1,2,3rA2,故1,2,3線性相關,以1T,2T,3T組成的線性齊次方程組1Tx12Tx23Tx3BX0有非零解,因120B1T,2T,3T2041t51021202121243t23104424114220t25022故BX0有非零解t3.

12001100,t3000二、選擇題(本題共5小題,每小題 3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中 ,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內 )【答案】(C)【解析】題目考察無窮小量的性質和無窮小量的比較,采用洛必達法則計算如下：limetanxxtanxxxnelimexexn1x0x0tanxx洛必達sec21tan2xn3x21limxnlimlimlim,x0x0nxn1x0nxn1x03x23etanxex與x3同階,故應選(C).【答案】(D)【解析】方法1：用幾何意義.由f(x)0,f(x)0,f上半平面的一段下降的凹弧,yf(x)的圖形大致如右圖.S1bf(x)dx是曲邊梯形ABCD的面積；a

(x) 0可知,曲線y f(x)是yDS2f(b)(ba)是矩形ABCE的面積；S31[f(a)f(b)](ba)是梯形ABCD的面積.ECAB2abx由圖可見S2S1S3,應選(D).O方法2：觀察法.因為是要選擇對任何滿足條件的f(x)都成立的結果,故可以取滿足條件的特定的f(x)來觀察結果是什么.例如取f(x)1,x[1,2],則x2S121dx115S2S1S3.x2,S2,S38124【評注】本題也可用分析方法證明如下：,至少存在一個點,使bf()(ba),ab成立,再由由積分中值定理f(x)dxaf(x)0,所以f(x)是單調遞減的,故f()f(b),從而bS1f(x)dxf()(ba)f(b)(ba)S2.a為證S3S1,令(x)1f(a)](xa)[f(x)2(x)1f(x)(xa)1(f(x)22

xf(t)dt,則 (a) 0,af(a)) f(x)1f(x)(xa)1(f(x)f(a))221f(x)(xa)1f()(xa)(ax)(拉格朗日中值定理)221(f(x)f())(xa),2由于f(x)0,所以f(x)是單調遞增的,故f(x)f(),(x)0,即(x)在[a,b]上單調遞增的.由于(a)0,所以(x)0,x[a,b],從而1b(b)[f(b)f(a)](ba)f(t)dt0,2a即S3S1.因此,S2S1S3,應選(D).如果題目改為證明題,則應該用評注所講的辦法去證,而不能用圖證.【相關知識點】1.積分中值定理：如果函數f(x)在積分區間[a,b]上連續,則在(a,b)上至,bf(x)dxf()(ba)(ab).這個公式叫做積分中值少存在一個點使下式成立：a公式.拉格朗日中值定理：如果函數f(x)滿足在閉區間[a,b]上連續,在開區間a,b內可導,那么在 a,b內至少有一點 (a b),使等式 f(b) f(a) f( )(b a)成立.【答案】(B)【解析】題目考察函數的極值點與拐點問題,分析如下：由f(x0) 0知x x0為f(x)的駐點.把x x0代入恒等式 x0f(x0) 1 ex0,即1ex0,故f(x0)0,因此駐點xx0為極小值點.應選f(x0).由于分子、分母同號x0(B).【答案】(A)【解析】由于函數 esintsint是以2 為周期的函數 ,所以,x2sintdt2sintdt,F(x)esintesintx0F(x)的值與x無關.不選D,(周期函數在一個周期的積分與起點無關).2sintdt的值有多種方法.估計esint0方法1：劃分esintsint取值正、負的區間.2esintsintdtesintsintdt2F(x)esintsintdt000esintsintdtesinu(sinu)du00(esintesint)sintdt當0t時,sint0,esintesint0,所以F(x)0.選(A).方法2：用分部積分法.2esintsintdt2F(x)esintdcost0022esintcostcostdesint00e0(122esintcost2dt0.1)esintcost2dt00故應選(A).【評注】本題的方法 1十分有代表性 .被積函數在積分區間上可以取到正值與負值時 ,則常將積分區間劃分成若干個 ,使每一個區間內,被積函數保持確定的符號 ,然后再作適當的變量變換 ,使幾個積分的積分上下限相同,然后只要估計被積函數的正、負即可 .【答案】(D)【解析】題目考察函數的復合問題,分清內層函數的定義域與值域,要注意內層函數的值域又構成了外層函數的定義域.當x0時,f(x)x20,則g[f(x)]f(x)2x22；當x0時,f(x)x0,則g[f(x)]2f(x)2(x)2x.故g[f(x)]x22,x0,因此應選(D).2x,x0三、(本題共6小題,每小題5分,滿分30分.)(1)【分析】這是型的極限,可以設法約去分子、分母中極限為的因子,從而轉化為確定型的極限.于是分子、分母同除x2.在計算過程中應注意x趨于負無窮.【解析】分子、分母同除x2,注意x2x(x0),則111原式lim4xx21x411.x1sinx1x2(2)【解析】題目考察參數方程所確定的函數的微分法.yxyt,xt1,xt1t2yt可由第二個方程兩邊對t求導得到：2yt2tyyty2et0,解得yty2et.由此,有yx(1t2)(y2et).2(1ty)2(1ty)【解析】題目考察,不定積分的換元與分部積分法,難度不大,具體計算如下：原式e2x(sec2x2tanx)dxe2xsec2xdx2e2xtanxdx分部e2xdtanxtanxde2xe2xtanxC.【解析】題目考察齊次微分方程的通解,分別利用齊次方程的求解方法和湊全微分方法計算如下：方法1：所給方程是齊次方程.令yxu,則dyxduudx,代入原方程得3(1uu2)dxx(12u)du0,分離變量得112udu3dx,uu2x積分得d(1uu2)31dx,1uu2x即1uu2Cx3.以uy代入得通解x2xyy2C.xx方法2：用湊全微分的方法求解.由于(3x22xyy2)dx(x22xy)dy3x2dx(yd(x2)x2dy)(y2dxxd(y2))d(x3)d(x2y)d(xy2)d(x3x2yxy2),故通解為：x3x2yxy2C.(5)【解析】y1y3ex與y1y2e2xex都是相應齊次方程的解,13)12)(yy(yye2x也是相應齊次方程的解,ex與e2x是兩個線性無關的相應齊次方程的解；而y2exxex是非齊次方程的解.下面求該微分方程：方法1：由ex,e2x是齊次解,知r11,r22是特征方程的兩個根,特征方程為(r1)(r2)0,即r2r20,相應的齊次微分方程為：yy2y0.設所求非齊次方程為：yy2yf(x),把非齊次解xex代入,便得f(x)(xex)(xex)2(xex)(12x)ex.所求方程為：yy2y(12x)ex.方法2：由于通解為：yc1exc2e2xxex,求出yc1ex2c2e2x(x1)ex,yc1ex4c2e2x(x2)ex,并消去c1,c2,便得微分方程yy2y(12x)ex.021(6)【答案】000000【解析】由題設條件A2ABE,把A提出來得AABE,因為1 1 1A01110,0 0 1由此知道A是滿秩的,所以A可逆,兩邊左乘A1,從而有ABA1,BAA1.(或A2ABE,ABA2E,A可逆,兩邊左乘A1,得BA1A2EAA1).用矩陣的初等變換求A1.111M100131110M10123MMMAE01101001001100M0100M011010121100M11231EMA1010M01100M0110112得A1011,001111112021從而得BAA1011011000.001001000四、(本題滿分 8分.)【解析】方法1：對原方程組的增廣矩陣作初等行變換：2M11M11MAb245M15

212M31511210M36550M62M32511210M35400M9當41時,rArAMb3,即方程組的系數矩陣與增廣矩陣的秩相等且5且等于未知量的個數 ,故原方程組有唯一解 .當42rAMb3,即方程組的系數矩陣與增廣矩陣的秩不相等,時,rA5故原方程組無解 .當1時,原方程組的同解方程組為2x1x2x31,x1１x11,原方程組有無窮多解,其通解為x21k,(k為任意常數).x3k.(或TTk0,11,Tx1,x2,x31,1,0(k為任意常數))方法2：原方程組系數矩陣的行列式2121A1110154,455450故知：當41時,rArAMb3,即方程組的系數矩陣與增廣矩陣的秩相等且5且等于未知量的個數,故原方程組有唯一解.當4對原方程組的增廣矩陣作初等行變換,得時,5241M15411M2AMb5455M1

525

1045M5321045M5455M10455M10455M1000M9r A rAMb,即方程組的系數矩陣與增廣矩陣的秩不相等 ,故原方程組無解 .當 1時,對原方程組的增廣矩陣作初等行變換 ,得211M1111M2455M1

1 2212111M2314033M3099M9

3 2 3123

111M2011M1000M0rArAMb23,即方程組的系數矩陣與增廣矩陣的秩相等且小于未知量的個數,故x11,原方程組有無窮多解,其通解為x21k,(k為任意常數).x3k.(或x,x,xT1,Tk0,11,T(k為任意常數))31,012五、(本題滿分8分)【解析】由已知條件得1r2d1r2r2d.2020兩邊對求導,得r2r2r2(隱式微分方程),解出r,得rrr21.分離變量,得drd.rr21drd(1)1由于r,r2arccosr111)2r(rdrrsectdttarccos1,或rr21r兩邊積分,得arccos1c.r11代入初始條件r(0)2,得c,.arccosarccos323r即L的極坐標方程為1)1m3,rcos(cossin322從而,L的直角坐標方程為xm3y2.六、(本題滿分8分)【解析】由xf(x)f(x)3ax2,有2xf(x)f(x)3a,即(f(x)3ax22x)2,從而得f(x)3axC,即f(x)3ax2Cx.x22又由題設知,面積S1f(x)dx1(3aCx)dxaC2,00222得C4a,從而f