全等三角形相關模型總結一、角平分線模型(一）角平分線的性質模型輔助線：過點G作GE⊥射線ACA、例題1、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么點D到直線AB的距離是cm.2、如圖，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠BAC.3、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分線＋垂線，等腰三角形必呈現(xiàn)A、例題輔助線：延長ED交射線OB于F輔助線：過點E作EF∥射線OB例1、如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分線，BE⊥AD于F.求證：.例2、如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線AD交BC于點D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延長線于M.求證：.（三）角分線，分兩邊，對稱全等要記全兩個圖形飛輔助線都是在射線ON上取點B，使OB＝OA，從而使△OAC≌△OBC.A、例題1、如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB＋BP＝BQ＋AQ.2、如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分線，P是AD上異于點A的任意一點，試比較PB＋PC與AB＋AC的大小，并說明理由.3、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，P是線段AD上任意一點（不與A重合）.求證：AB－AC＞PB－PC.4、如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分線交AC于D，求證：AD＋BD＝BC.5、如圖，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分線交BC于D，求證：AC＋CD＝AB.二、等腰直角三角形模型（一）旋轉中心為直角頂點，在斜邊上任取一點的旋轉全等：操作過程：（1）將△ABD逆時針旋轉90°，得△ACM≌△ABD，從而推出△ADM為等腰直角三角形.（2）輔助線作法：過點C作MC⊥BC，使CM＝BD，連結AM.（二）旋轉中心為斜邊中點，動點在兩直角邊上滾動的旋轉全等：操作過程：連結AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），導出△BDF≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，導出△BDF≌△ADE.1、如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，點M、N在斜邊BC上滑動，且∠MAN＝45°，試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關系.2、兩個全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如圖所示放置，E、A、C三點在一條直線上，連接BD，取BD的中點M，連接ME、MC.試判斷△EMC的形狀，并證明你的結論.3、已知，如圖所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O為BC中點，若M、N分別在線段AC、AB上移動，且在移動中保持AN＝CM.（1）試判斷△OMN的形狀，并證明你的結論.（2）當M、N分別在線段AC、AB上移動時，四邊形AMON的面積如何變化？4、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF為多少度.（三）構造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以構造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、對稱和弦圖也可以構造等腰直角三角形.（四）將等腰直角三角形補全為正方形，如下圖：1、如圖，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P為三角形ABC內部一點，滿足PB＝PC，AP＝AC，求證：∠BCP＝15°.三、三垂直模型（弦圖模型）A、例題已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為AC中點，AF⊥BD于點E，交BC于F，連接DF.求證：∠ADB＝∠CDF.變式1、已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，連接NF.求證：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN.變式2、在變式1的基礎上，其他條件不變，只是將BM和FN分別延長交于點P，求證：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF.四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均為等邊三角形結論：（1）△ABF≌△AEC.（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF.（四點共圓證）拓展：△ABC和△CDE均為等邊三角形結論：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ為等邊三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四點共圓證）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD.（（7），（8）需構造等邊三角形證明）例、如圖①，點M為銳角三角形ABC內任意一點，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱點M為△ABC的費爾馬點．若點M為△ABC的費爾馬點，試求此時∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個作銳角三角形費爾馬點的簡便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設交點為M，則點M即為△ABC的費爾馬點．試說明這種作法的依據(jù)．2、△ABD和△ACE均為等腰直角三角形結論：（1）BE＝CD；（2）BE⊥CD.3、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形。結論：（1）BD＝CF；（2）BD⊥CF.變式1、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，AS⊥BC交FD于T，求證：（1）T為FD中點；（2）.變式2、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，T為FD中點，TA交BC于S，求證：AS⊥BC.4、如圖，以△ABC的邊AB、AC為邊構造正多邊形時，總有：五、半角模型條件：兩邊相等.思路：1、旋轉輔助線：①延長CD到E，使ED=BM，連AE或延長CB到F，使FB=DN，連AF②將△ADN繞點A順時針旋轉90°得△ABF，注意：旋轉需證F、B、M三點共線結論：（1）MN＝BM＋DN；（2）；（3）AM、AN分別平分∠BMN、∠MND.2、翻折（對稱）輔助線：①作AP⊥MN交MN于點P②將△ADN、△ABM分別沿AN、AM翻折，但一定要證明M、P、N三點共線.A、例題例1、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動，且滿足MN＝BM＋DN，求證：（1）∠MAN＝45°；（2）；（3）AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM.變式：在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，若M、N分別在邊CB、DC的延長線上移動，AH⊥MN，垂足為H，（1）試探究線段MN、BM、DN之間的數(shù)量關系；（2）求證：AB＝AH例2、在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，A