動力學/動能定理主要內容：動力學/動能定理?1力的功運動路程W

FS

cos

F

S正功負功

2

2

2?W

0W

0W

01J

1N

1mM1FM

2M

S動力學/動能定理：W

F

cosds

F

ds

F

dr

Xdx

Ydy

Zdz變力的功：21S1M

2MF

dr(

Xdx

Ydy

Zdz)1M

2M——解析表達式1SSF

cosds

S2

F

ds動力學/動能定理(1)重力的功?X

0,Y

0,

Z

mg12MMW

2

(

Xdx

Ydy

Zdz)

11z

2z

mgdz

mg

(

z1

z

2

)可見：開始

終了與運動軌跡的形狀無關高度差動力學/動能定理?W12

mi

g(zi1

zi

2

)mzC

mi

zi質點系重力作功W12

mg

(zC1

zC

2

)可見：

與質心運動軌跡的形狀無關動力學/動能定理(2)

彈性力的功固定點F

k

k

(r

l0

)F

k

(r

l0

)r0kl0r0MM

2

k

(r

l0

)r0

dr11M12MW

2F

dr動力學/動能定理MM

2

k

(r

l0

)r0

dr11M12MW

2F

drr0

dr

dr2

)21212(

k2W

1

,

2可見：起始

終了變形量與質點的軌跡形狀無關022

(r

l

)2

]k2[(r1

l0

)rr21012

k

(r

l

)drW

動力學/動能定理21W12

(3)

定軸轉動剛體上作用力的功W

F

dr

Fds

F

Rd

F

R

Mz

(F

)

MzW

Mzd1

2M

dz力偶Mz動力學/動能定理(4)

平面運動剛體上力系的功FiMiCCdrdriCddri

drC

driCdriC

MiC

dWi

Fi

dri

Fi

drC

Fi

driCFi

driC

Fi

cos

driC

Fi

cos

MiC

d

MC

(Fi

)

d動力學/動能定理Wi

Fi

drC

MC

(Fi

)

d力系作的

iWW

Fi

drC

MC

(Fi

)

d

FR

drCC

M

d力系作功FiMiCdrCdriCd12W

2M

dC11CR

CC2

F

drFRMC可見：所得的力和力偶作功之和。力系向質心簡化動力學/動能定理2

)221(

k2W

(

F

)2

1

3000

[02(2.4

1.2例1：解：W

(

P)

mg(z

z

)1

2

30

9.81.2

352.8(J

)2)2

]

741.2(J

)動力學/動能定理2質點和質點系的動能1

mv

22??

動量同：異：平方一次方標量矢量動力學/動能定理T212i

im

v定理22122Cm

vi

irT

1

mv即：質心相對于質心平動系注意：以質心為基點動力學/動能定理(1)

平動剛體212i

iT＝2i(12

i

C2i

C1

m

v2m

v＝212Cmvm

)v

即：(2)

定軸轉動剛體212z＝J

即：212m

vi

i

T＝ii＝2221212i

im

rm

(r

)＝動力學/動能定理22CT

1

mv(3)

平面運動剛體221C

J

即：速度瞬心212PJ

T

瞬時軸動力學/動能定理BlvAA22A

1

AT

1

m

vvB

vA

vBAvBA

l

lvBAvA例2：解：動力學/動能定理vB

vA

vBAvBA

lvBx

vA

vBA

cos

vA

lcosBlvAAvBAvAvBy

vBAsin

lsin2B

2

BT

1

m

v22

)2

Bx

By2

1

m

(v

2

v22A

lcos

)2

(lsin

)2

1

m

(vT＝

1

(m

m

)v2

m

lv

cos

122m

l

22

222122m

l2

A2

A

m

lv

cos

＝1

m

v1

2

A2

A22動力學/動能定理3

動能定理

F

drdtmdv

Fdtdrm

dv

drdtm

dv

dr

mdv

v

m

d

(v

v

)2d

(

1

mv2

)

W21221212mvmv12

Wm21

dv2

d

(

mv2

)2

2微分形式（某一瞬時）積分形式（某一運動過程）動力學/動能定理i2i

i

id

(

1

m

v

2

)

W微分形式T2

T1

Wi積分形式求和i

i21d

(

m

v)

Wi2i

imv

)

Wi12d(2dT

Wi即全部力即全部力動力學/動能定理dT

WiT2

T1

Wi：內力有些情況下ABFAFBBrArW

FA

drA

FB

drB

FA

drA

(FA

)

drB

FA

(drA

drB

)

FA

d(rA

rB

)

FA

drBA

FA

drABdrAdrB動力學/動能定理W

FA

drABdrAB

0W

0drAB

0W

0例如：例如：理想約束1光滑固定面滾動支座2

光滑鉸鏈支座

向心軸承

固定端3剛性二力桿動力學/動能定理（5）物體沿固定面作純滾動，滑動摩擦力不作功。結論：

理想約束內力作功之和等于零主動力（4）聯結兩個剛體的光滑鉸鏈動力學/動能定理動力學/動能定理例1：已知求解：取受力分析研究對象M

,

m1g,

m2

gFox

,

Foy

,

FN

,

FsDMm1gFOxFOyOFNCm2gFS

動力學/動能定理W

W12

M

m2

g

sin

s2221O

1T

1

J22

D

22運動分析T1

01

J

1

11OJ

m

R

211RC

22

22

DJ

J2C22

232m

R22RvvC,

222

22

212m

R

m

R

m

R

動力學/動能定理41

2

C1

(2m

3m

)v2質點系動能定理T2

T1

W12

0

M

m2

g

sin

sCR1(2m1

3m2

)v

2(M

m2

gR1

sin

)s

s

R142

12

CT

1

(2m

3m

)v2動力學/動能定理應用動能定理的解題步驟：（一般取整個系統）區分主動力與約束力，在理想約束情況下約束力不做功，并考慮內力作功和是否為零。起點

終點動力學/動能定理例2：已知：求：解：

取受力分析研究對象W12

M動力學/動能定理W12

M運動分析T1

022222

3(

m

l

)221

12

2

1

1(

m

r

)T

1

1212

m

v1

12

22

112

1

(2m

9m

)l

質點系動能定理

1

(2m

9m

)l

0

M122

212l

2m

9m

3M

22

16M(2m2

9m1)l2

動力學/動能定理例3：解：

取受力分析研究對象212CABvCFAFB運動分析T1

0

0，(

e

)x

Fmg

mgW

2mg

h

mghh動力學/動能定理2lAC

vClBC

vC2222

3

2

3T

11BCAC(

ml

)

1

(

1

ml

2

)23C

1

mv質點系動能定理C31

mv

2

0

mghvC

3gh思考：4

功率·

功率方程·

機械效率三.

機械效率

＜１5場、勢能、機械能守恒定律力場力場場場有。勢能：勢能零點(1)重力場中的勢能(2)彈性力場中的勢能：（3)萬有引力場中的勢能：保守系統：約束主動力皆為有T

V機械能。質點系機械能守恒定律，有勢能之差的功等于保守力場保守力例1例2勢能函數：等勢面動力學/動能定理動量定理動能定理動量矩定理動

量力(沖量)力

矩動量矩動

能力的功整體運動的變化所受的作用力整體運動的變化所受的作用力4

普遍定理的綜合應用舉例動力學/動能定理動力學普遍定理動量定理動量矩定理動能定理機械能守恒定律質心運動定理定軸轉動微分方程需注意的問題：定點

定軸；動力學/動能定理Cp

mv

1

mL2mL

OOL

J

2

2218619112J

OT

p

mR2OL

3

mR24

mL

T

3

mR2

2p

mv2OL

mvR

1

mR2T

1

mv2

1

mR2

22

4例1：動量

動量矩

動能pppO動力學/動能定理基本原則：動能定理轉動問題移動問題動力學/動能定理動量定理動量矩定理不反映內力動能定理不反映理想約束力綜合問題定理局限性動力學/動能定理例2

：解：受力分析：W12

M

Qh運動分析：T1

0T

1

Q

v22

g22A2 2

g

1

(1

P

R2

)B2 2

g1 3

P2

(

R

)BAv

R

2R2

v2(8Q

7P)16g動力學/動能定理

M

Qh(8Q

7P)

016g動能定理v2

h

/

R(M

/

R

Q)hg8Q

7Pv

4RM16gv2

Q)h(8Q

7P)

(8Q7Pa

8(M

/

RQ)g思考：12W

M

Qh1T

0216g2T

v

(8Q

7P)動力學/動能定理例3：先由動能定理動量矩定理BxF

031

arccos

2再由質心運動定理FBx

,

FByFBxFByoC0例4求：21O

0T

J

02(

mR

)2

22W12

mgR11

32T

0T2

T1

W12040

3

mR2

2

mgR3R4g0

203422mR

解法一：動能定理（鉛垂—水平）動力學/普遍定理綜合應用oCmgOdt32dtd

mgR

sinmR2

d

(J

)

mgR

sind

2g

sindt

3R00

/

20sind2g

3Rd

3Rd

2g

sind3R4g0

（任）oC0動力學/普遍定理綜合應用解法二：

動量矩定理意oC11FOxmg0222122

22

21

3(

mR

)

1

3(

mR

)

mgR3R4g1

1232mR

mgR3R1

2g動能定理（鉛垂—水平）定軸轉動微分方程（水平時）oC0FOy動力學/普遍定理綜合應用o1FOxmgFOy質心運動定理3R4g1

3R1

2g

FOxOyma

mg

FC2Cn

1a

RaC

1R4FOx

3

mg()3F

1

mg()OyCaCn1aC動力學/普遍定理綜合應用動力學/動能定理例5：vC2

r2v

v

,

F解：動能定理2

2

22

2動能T

1

mv

2

[

1

m

v22C16

1

(

1

m

r

2

)

2

]

2

11

mv

2動力學/動能定理Cv

v

,

v 2 2

rFT

11

mv

216總功

W