第二章波函數和薛定諤方程

微觀粒子的基本屬性不能用經典語言確切描述。量子力學用波函數描述微觀粒子的運動狀態，波函數所遵從的方程——薛定諤方程是量子力學的基本方程。

這一章開始介紹量子力學的基本理論與方法。主要介紹：1.二個基本假設：A.微觀粒子行為由波函數描述,波函數具有統計意義。B.描述微觀粒子行為的波函數由薛定諤方程解出。2.用定態薛定諤方程求解三個簡單問題：A.一維無限深勢阱B.

一維諧振子C.勢壘貫穿（隧道效應）§2.1.物質波的波函數及其統計解釋1.波函數：類似于經典波的數學表達形式，描述微觀客體的運動狀態一般表示為復指數函數形式推廣：三維自由粒子波函數二、波函數的物理意義如何理解波函數和粒子之間的關系？

1物質波就是粒子的實際結構？即三維空間連續分布的物質波包，那就會擴散，粒子將會越來越胖。再者，衍射時，電子就會被分開。夸大了波動性，抹煞了粒子性。

2大量粒子空間形成的疏密波？電子衍射實驗，電子流很弱時，時間足夠長，仍會出現干涉圖樣。單個電子就具有波動性。3波函數的統計解釋（Born1926）:波函數在空間某點的強度（振幅絕對值的二次方）和該點找到粒子的幾（概）率成比例。即物質波是幾率波。波函數與其共軛復數的積例：一維自由粒子：光柵衍射電子衍射類比

波函數描述的物質波不像經典波代表實際物理量的波動,只是刻畫粒子在空間的幾率分布的幾率波。光子電子對比分析I大處到達光子數多I小處到達光子數少I=0無光子到達各光子起點、終點、路徑均不確定用I對屏上光子數分布作概率性描述各電子起點、終點、路徑均不確定對屏上電子數分布作概率性描述電子到達該處概率大電子到達該處概率為零電子到達該處概率小光柵衍射電子衍射一般t時刻,到達空間r（x,y,z）處某體積dV內的粒子數

t時刻，出現在空間（x,y,z）點附近單位體積內的粒子數與總粒子數之比

t時刻，粒子出現在空間（x,y,z）點附近單位體積內的概率

t

時刻，粒子在空間分布的概率密度

的物理意義：4、波函數的歸一化條件和標準條件粒子在整個空間出現的概率為1

歸一化條件對微觀客體的數學描述：脫離日常生活經驗，避免借用經典語言引起的表觀矛盾

標準化條件在0<x<a/2區域內，粒子出現的概率為：（3）概率最大的位置應滿足因0<x<a/2,故得粒子出現的概率最大。一、量子態和波函數

用波函數Ψ（r,t）來描述微觀粒子的量子態。當Ψ（r,t）給定后，如果測量其位置，粒子出現在該點的幾率密度為。波函數的統計解釋也是波粒二象性的一種體現。經典波：遵從迭加原理，兩個可能的波動過程迭加后也是一個可能的波動過程。如：惠更斯原理。描述微觀粒子的波是幾率波，是否可迭加？意義是否與經典相同？二、量子力學的態的迭加原理1、經典物理中，光波或聲波遵守態迭加原理：二列經典波φ1與φ2線性相加，φ=aφ1+bφ2,相加后的φ也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的迭加原理加以說明的。量子力學的二個態的迭加原理：如果Ψ1與Ψ2是體系的可能狀態，那么它們的線性迭加態Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，（c1、c2是復數）也是這個體系的一個可能狀態。干涉項2、例：以雙縫衍射實驗（見上面圖），衍射圖樣的產生證實了干涉項的存在。推廣到任意多態的一般態迭加原理：

3、態的迭加原理如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是體系可能的狀態，則它們的線性迭加態Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+c3Ψ3…=∑ciΨi也是體系的一個可能狀態。當體系處在迭加態Ψ時，體系部分處在Ψ1態、也部分處在Ψ2態，…等，即各有一定幾率處在迭加之前的各個態Ψi。

4、說明：（1）量子力學使用最多的是把可以實現的態分解為某一個算符本征態的迭加。（2）如同經典波的分解和迭加，量子力學的態的迭加也是波函數的迭加。三、一個結論：任何一個波函數都可以看作是各種不同動量的平面波的迭加。

數學表示式：

其中，是動量一定的平面波。這在數學上是成立的，這正好是非周期函數的傅里葉展開。說明：1、在態Ψ（r,t）的粒子，它的動量沒有確定的值，由上式可知：粒子可處于任何一個態Ψp（r,t），但是當粒子的狀態確定后，粒子動量處于某一確定值的幾率是一定的。2、由于量子力學的態的迭加原理是幾率波的迭加，所以φ1+φ1=2φ1不是新的態，只不過未歸一化。在態φ=c1φ1+c2φ1進行測量時，發現粒子要么處在φ1，要么處在φ2。§2.3

薛定諤方程粒子狀態隨時間變化遵從怎樣的規律呢？

薛定諤建立的適用于低速情況的、描述微觀粒子在外力場中運動的微分方程,稱為薛定諤方程。薛定諤方程應滿足的條件：1線性方程。態迭加原理所要求的。2方程的系數不應包含狀態參量，如動量、能量等。可以含有質量、電量等粒子內稟量，應含有普朗克常數是量子力學的基本假設之一，只能建立，不能推導，其正確性由實驗檢驗。同理有(2.3-3)由得此式滿足前面所述條件。改寫2.3-2和2.3-3為式中是劈形算符：(2.3-5)(2.3-6)(2.3-7)由（2.3-6）(2.3-7)式可看出，E,p各與以下算符相當：（2.3-8）分別稱為能量算符和動量算符。對于多粒子體系(2.3-11)薛定諤方程為(2.3-12)式中——多粒子體系的薛定諤方程討論：1、薛定諤方程也稱波動方程，描述在勢場U中粒子狀態隨時間的變化規律。2、建立方程而不是推導方程，正確性由實驗驗證。薛定諤方程實質上是一種基本假設，不能從其他更基本原理或方程推導出來，它的正確性由它解出的結果是否符合實驗來檢驗。3、薛定諤方程是線性方程。是微觀粒子的基本方程，相當于牛頓方程。4、自由粒子波函數必須是復數形式，否則不滿足自由粒子薛定諤方程。5、薛定諤方程是非相對論的方程。

用薛定諤方程求解問題的思路：1.寫出具體問題中勢函數U(r)的形式代入方程2.用分離變量法求解3.用歸一化條件和標準條件確定積分常數只有E取某些特定值時才有解本征值本征函數4.討論解的物理意義，即求|

|2，得出粒子在空間的概率分布。作業：2.1代入（2.4-2）式得(2.4-3)令(2.4-4)可得(2.4-5)此式具有連續性方程的性質。將其對空間某體積積分(2.4-6)由高斯定理得(2.4-7)等式左邊表示單位時間內體積V中幾率的增加,右邊是矢量J在體積V的邊界面上法向分量的面積分。故可把J解釋為幾率流密度矢量，Jn表示單位時間內流過S上單位面積的幾率。若波函數在無限遠處為零，則有(2.4-8)表明整個空間內找到粒子的幾率與時間無關。若波函數是歸一的，則將保持其歸一性不變。這就是幾率守恒定律。有連續方程一定有守恒定律，兩者是等價的。幾率守恒定律表明幾率不會憑空產生，也不會憑空消失。定義質量密度質量流密度由（2.4-5）可得2.4-9——質量守恒定律，單位時間內體積V內質量的改變，等于穿過V的邊界S流進或流出的質量。定義電荷密度電流密度則有2.4-10——電荷守恒定律，粒子的電荷總量不隨時間改變。§2.5定態薛定諤方程討論勢能函數與時間無關的情形，即U(r)不含時間，此時粒子的能量是一個與時間無關的常量，這種狀態稱為定態，對應的波函數稱為定態波函數。說明：

幾率守恒具有定域性質。當粒子在某地的概率減小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使總概率不變，并且伴隨著有什么東西在流動來實現這種變化。連續性就意味著某種流的存在。2.5-1把此式帶入方程2.3-10中，兩邊除以若等式成立，需兩邊等于一常量，設該常量為E，則有2.5-22.5-3可考慮用分離變量法求薛定諤方程的一種特解。設2.5-2的解為C為任意常數，此式代入2.5-1得到薛定諤方程的特解2.5-4可看出，這個波函數與時間成正弦關系，其角頻率是，根據德布羅意關系，E就是體系處于這個波函數所描寫的狀態時的能量。此時能量具有確定值，稱這種狀態為定態。該波函數稱為定態波函數。在定態中，幾率密度、幾率流密度都與時間無關。2.5-3式稱為定態薛定諤方程。函數也稱為波函數，可由2.5-3式和具體條件求出,且有分別乘以2.5-2和2.5-3式兩邊得2.5-52.5-6算符完全相當，都稱為能量算符。也稱為哈密頓算符，表示為，2.5-6式可寫為2.5-7本征值方程，本征值，本征函數，能量本征態討論定態問題就是求出體系可能的定態波函數，和這些態中的能量E；亦即解定態薛定諤方程，求出能量的可能值E和波函數。表示能量算符的第n個本征值En對應的波函數，則有含時薛定諤方程的一般解可寫為式中cn是常系數§2.6一維無限深勢阱一維空間中運動的粒子，其勢能分布為（如圖）2.6-1U(x)x-a0a一維無限深勢阱這種勢稱為一維無限深勢阱。在阱內，體系滿足定態薛定諤方程2.6-2在阱外，體系滿足定態薛定諤方程2.6-3式中，。根據波函數的連續性、有限性條件，2.6-3式成立需滿足2.6-4引入符號2.6-52.6-2式簡化為其通解為2.6-6根據邊界條件2.6-4式可得兩式分別相加減可得2.6-7由于A、B不能同時為零，得到兩組解2.6-82.6-9解得（n為奇數，對應第一組解n為偶數，對應第二組解）2.6-10由此可得到體系的能量為n=整數2.6-11結果說明粒子被束縛在勢阱中，體系能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。兩組解對應的波函數分別為2.6-122.6-13兩式合并得2.6-14波函數已進行了歸一化。粒子的定態波函數為2.6-15可看出波函數是駐波。束縛態：無限遠處波函數為零的狀態基態：體系能量最低的態n為偶數時，由2.6-12式可得n為奇數時，由2.6-13式可得一維無限深勢阱中=1=2=3=4x粒子的波函數0nnnnax0a例題：勢壘貫穿（隧道效應）在經典力學中,若,粒子的動能為正,它只能在I區中運動。即粒子運動到勢壘左邊緣就被反射回去，不能穿過勢壘。OIIIIII在量子力學中,無論粒子能量是大于還是小于都有一定的幾率穿過勢壘，也有一定的幾率被反射。這種現象已經實驗證實。我們下面只就時，討論薛定諤方程的解。勢壘的勢場分布寫為：在三個區間內波函數應遵從的薛定諤方程分別為：OIIIIII定態薛定諤方程的解又如何呢？令：定態解的含時部分：三個區間的薛定諤方程化為：若考慮粒子是從I區入射，在I區中有入射波反射波；粒子從I區經過II區穿過勢壘到III區，在III區只有透射波。粒子在

處的幾率要大于在處出現的幾率。其解為：根據邊界條件：求出解的形式畫于圖中。定義粒子穿過勢壘的貫穿系數：IIIIII隧道效應當

時，勢壘的寬度約50nm以上時，貫穿系數會小六個數量級以上。隧道效應在實際上已經沒有意義了。量子概念過渡到經典了。作業：2.2,3,4

§2.7線性諧振子

什么叫諧振子？彈簧振子、單擺就是諧振子，它們的位移或角位移滿足方程：諧振子在物理中很重要，很多物理問題都可以近似按諧振子處理。比如固體中的每個原子的微振動，就可以看成在各自平衡位置作簡諧振動。雙原子分子的振動可化為諧振子。這節介紹求解線性諧振子（一維）的定態薛定諤方程，解出波函數與能量，并作些討論。

若選取線性諧振子平衡位置為坐標原點，并選取其為勢能的零點，則線性諧振子的勢能表示為：μ是粒子的質量，k是諧振子的彈性系數。對經典諧振子它是角頻率。線性諧振子的定態薛定諤方程為：它是變系數二階常微分方程，可解。2.7-1引進參量和方程化為：*波函數在時的漸近行為：方程化為：其漸近解為：因為諧振子是處于束縛態應舍棄解。所以有當時2.7-22.7-32.7-4根據漸近行為方程解可寫為：2.7-5求導得代入原方程應滿足：上述厄密微分方程的解是個無窮級數。為了保證束縛態邊界條件的成立，必須使這個級數只包含有限項，其條件是：2.7-6*得出滿足束縛邊界條件的級數解是：稱為厄密多項式。它的前幾個為：普遍表達式：2.7-72.7-152.7-142.7-11λ為奇數，即*能量本征值和零點能因為：所以線性諧振子的能級只能取分立值，能級間隔相等。線性諧振子基態能：稱為零點能。有關光被晶體散射的實驗，證明在趨于絕對零度時，散射光的強度趨于一確定值。說明原子有零點振動存在。常壓下，溫度趨于零度附近，液態氦也不會變成固體，具有顯著的零點能效應。實驗事實：*能量本征函數和宇稱線性諧振子的定態波函數——歸一化系數線性諧振子波函數線性諧振子位置幾率密度線性諧振子n