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文檔簡介
除了
X
與
Y
的描述
X
與
Y
之間對于二維隨量(X,Y),數學期望和方差以外,還需相互關系的數字特征。4.4.1
協方差及相關系數如果兩個隨量X和Y是相互獨立的,則E{
[
X-E(X)]
[Y-E(Y)
]
}=0這意味著當E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}0時,X、Y不相互獨立,而是存在著一定的關系。定義
對二維隨 量(X,Y),量
E{
[
X-E(X)]
[
Y-E(Y)
]
}稱為隨 量
X與
Y
的協方差(covariance),記為Cov(X
,Y
).即Cov(X,Y
)=
E{[X-E(X)][
Y-E(Y)
]}若
0
D(
X
)
,0
D(Y
)
,Cov(
X
,Y
)D(
X
)
D(Y
)XY
稱為隨 量X與Y
的相關系數(correlation
coefficient)XY
是一個無量綱的量。對二維離散型隨 量(X
,Y)有
E(Y
)]
pij
Cov(
X
,Y
)
[
xi
E(
X
)][
y
ji
1
j1對二維連續型隨 量(X,
Y)有f(d,x)Y
(
)]
,(([))][Cov
X
Y
由數學期望和方差的性質得到D(
X
Y
)
D(
X
)
D(Y
)
2Cov(
X
,Y
)Cov(
X
,Y
)
E(
XY
)
E(
X
)E(Y
)協方差具有下述性質:12Cov(
X
,Y
)
Cov(Y
,
X
)Cov(aX
,bY
)
abCov(
X
,Y
)Cov(
X1
X2
,Y
)
Cov(
X1
,Y
)
Cov(
X2
,Y
)3例
1
設(X,Y)的聯合分布律為XY0101-p010p0<p<1,求Cov(X,Y)和XY
.E(
X
)
p,
D(
X
)
p(1
p),
同理
E(Y
)
p,
D(Y
)
p(1
p)于是Cov(
X
,Y
)
E(
XY
)
E(
X
)E(Y
)
p
p2
p(1
p)解:易知
X
的分布律為PX
1
p,
PX
0
1
pp(1
p)p(1
p)D(Y
)D(
X
)Cov(
X
,Y
)
p(1
p)XY
1E(
XY
)
p,而E(
X
)
g(
)
f
(
)d
21
sind
0E(Y
)
)d
21
cosd
0h(
)
f
(例2:設
服從[
,
]上的均勻分布,又X
sin
,Y
cos求Cov(X
,Y
),XY
。解
由題意有
1f
(
)
2
,
0,其它
2E(
XY
)
1
sin
cosd
0E(Y
2
)
221
cos2
d
11h
(
)
f
(
)d
g2
(
)
f
(
)d
E(
X
2
)
221
sin2
d
1Cov(
X
,Y
)
E(
XY
)
E(
X
)E(Y
)
0因
0Cov(
X
,Y
)D(
X
)
D(Y
)XY
得相關系數
XY
也是表征隨 量
X、Y
之間線性關系緊密程度的量,具有下述性質(1)如果隨量
X、Y
相互獨立,
則
XY
0
E{[
X
E(
X
)][aX
b
aE(
X
)
b]}D(
X
)
a2
D(
X
)D(
X
)
D(Y
)
E{[
X
E(
X
)][Y
E(Y
)]}XY(2)若Y
aX
b(a
0),則
XY
1。事實上,由Y
aX
b,
E(Y
)
aE(
X
)
b,D(Y
)
a2
D(X
)得a
D(
X
)
a
1,
a
0
aE{[
X
E(
X
)]2
}
a
1,a
0當XY
1,則稱X與Y正相關;當XY
1時為負相關。
XY(3)E[X
E(X
)
Y
E(Y
)]2
0
有D(
X
)
D(Y
)事實上,由E[
X
E(
X
)
Y
E(Y
)]2D(
X
)
D(Y
)E(
X
)][Y
E(Y
)]D(
X
)
D(Y
)2D(Y
)Y
E(Y
)
[ ]
}2D(
X
)X
E(
X
)
[
X
E{[
]
2E[Y
E(Y
)]2E[
X
E(
X
)]2D(Y
)E[
X
E(
X
)][Y
E(Y
)]D(
X
)
D(Y
)
2D(
X
)
D(
X
)
2D(
X
)即XYD(Y
)
D(Y
)
2
2
0XY
1
XY若0
D(X
)
,0
D(Y
)
以下四個結論彼此等價(1)
0XYCov(
X,Y
)
0E(
XY
)
E(
X
)E(Y
)D(X
Y)
D(X)
D(Y)通常將適合XY
0的隨量X
與Y
稱為互不相關(alienation).由相關系數的性質(1)可知,如果X與Y互相獨立,則它們亦互不相關.但是:上述命題之逆不真.例
0,
1
,f
(
x,
y)
y2
1
y2
1x2x2
12f易知X,Y的邊緣概率密度設二維隨量(X,Y)的概率密度為,
y
12 1
y2f
(
x,
y)dx
11
y21
y2
dxYf
(
y)
因為
f
(
x,
y)
f
X
(
x)
fY
(
y)故X與Y不獨立。另一方面,易知E(X)=E(Y)=0上述情況,“不相關”和“相互獨立”是不等價的,這是因為不相關只是就線性關系來說的,而相互獨立是就一般關系而言的。不過從下面例子可以看到,當(X,Y)服從二維正態分布時,X
與Y
不相關與相互獨立是等價的。x2
y2
1xy
1
0而
Cov(
X
,Y
)
E(
XY
)
XY從而
0
,
X
與
Y
不相關。exp1f
(
x,
y)
1
22
1
2221
221
[
1
2
1
2
2
]2(1
2
)
(
y
)2
(
x
)(
y
)
1 (
x
)2例3:設(X
,Y
)服從二維正態分布,它的概率密度為求X
與Y
的相關系數XY
。e
, -
x
f
(
x,
y)dy
(
x
)2Xf
(
x)
12112
21e
, -
y
f
(
x,
y)dx
(
y
)2Yf
(
y)
222
22解 由前述知道(
X
,Y
)的邊緣概率密度為,
E(Y
)
22,
D(Y
)
.212
,
D(
X
)
1E(
X
)
于是
(
x
1
)212
2211
21
2
2
(
x
)(
y
)e1dxdy
2
1
1
[
y2
x1
]2
e2(1
2
)1
2
1
令t
1
(
y
2
x
1
x
11
2
),
u
而Cov(X
,Y
)21(
x
)(
y
)
f
(
x,
y)dxdy
u2
t
2Cov(
X
,Y
)
2dtdu21
22
21
2(
1
tu
u
)e21((
1
222222
t
2
u2
u2te
2
dt
)ue
du)(
1
2
1
2
2u
e
du)(
t
2t
e
2
dt
)
2
2
1
22
1
2
Cov(
X
,Y
)D(
X
)
D(Y
)XY于是可見二維正態隨
量(X,Y)的概率密度的參數就是
X
與
Y
的相關系數。因而二維正態隨量的分布完全可由
X、
Y
的各自的數學期望、方差以及它們的相關系數所確定。由前面
可知,
若(X,Y)服從二維正態分布那么
X
和
Y
相互獨立的充要條件為
0,現在還知道
XY故知對于二維正態隨
量(X,Y)來說X
與
Y
不相關與
X
和
Y
相互獨立是等價的。下面 來說明相關系數的統計含義:例如, 二維隨 量(X
,Y),其含義分別為Y
燈泡某原件的質量X
燈泡的YX),(下面
來
X
與
Y之間的聯系。為此作了n次試驗,得到n
組實驗數據:(
x1
,
y1
), (
x2
,
y2
),
, (
xn
,
yn
)在xoy平面上描出這些點,若是下述幾種情況,用數據點的分布來說明這關系:oxyX、Y
是相互不關聯的,即該原件的質量對產品的不發生影響。oxy介于上述二者之間,即X
與Y有一定的線性關聯性,但較第一種弱。oxyX
、Y
是線性關聯的,即該原件的質量直接影響的產品的壽命。nk
1(y
ax
b)2來刻劃k
k可以用數量關系:min
1
nX與Y
之間線性關系的程度,式中極小值是對a
和b而取的;上式值越小,表明各點的偏離直線y=ax+b程度越小,進而X與Y
的線性關系越強;反之,則線性關系較弱。e
E[Y
(aX
b)]2
E(Y
2
)
a2
E(
X
2
)
b2
2aE(
XY
)
2abE(
X
)
2bE(Y
)來衡量
以
aX+b
近似表達
Y
的好壞程度,
e的值越小表示
X
與
Y之間的線性關系越強,即
aX+b與Y的近似程度越好。對于二維隨
量(X,Y),用均方誤差這樣, 就取a、b
使
e取到最小下面就來求最佳近似式aX+b中的a,b為此,
將
e=e
(a,b)
對
a, b
求偏導,并令其為零,得
ae
2aE(
X
2
)
2E(
XY
)
2bE(
X
)
0
e
bb
aE
E(X2Y22)(0解得D(
X
)a
Cov(
X
,Y
)0D(
X
)0
0Cov(
X
,Y
)
b
E(Y
)
a
E(
X
)
E(Y
)
E(
X
)
(1
2XY20
0min0
0)D(Y
)e
e(a
,b
)
E{[Y
(a X
b
)]
}于是得)D(Y
)
(1
2XYmin由式e可以看出,均方誤差
e
是
XY的嚴格單調減函數,于是,相關系數的含義就明顯了。XY較大,則
e
較小,
表明
X
、Y線性相關的程度較好,特別,有XY
0
XYXYXY
0X與Y
之間是Y=aX+b的線性關系X與Y
有一定程度的線性關系X與Y
線性相關程度較差X與
Y
沒有線性關系,即
X
與
Y不相關使E[Y
(aX
b)]2
取最小值的直線方程為y
ax
b
Cov(
X
,Y
)
x
E(Y
)
Cov(
X
,Y
)
E(
X
)D(
X
)
D(
X
)D(Y
)
D(
X
)x
E(
X
)y
E(Y
)
XY或說明該直線通過(E(X),E(Y)),通常稱之為Y關于X的回歸直線.4.4.2
矩量(以下假設各隨
量定義
設
X
和
Y
是隨的期望均存在)(1)稱
E(
X
k
)(k
1,2,)為X
的k
階原點矩,簡稱k階矩(kth
moment)。(2)稱1,(E{[
X
E(
X
)]k
}
k
為X
的k
階中心矩(kthcentral
moment)。(3)稱(k,
l
1,2,)E(
X
kY
l
)為
X
、Y的
k+l
階混合矩。(k
1,2,)E{[
X
E(
X
)]k
[Y
E(Y
)]l
}(4)稱為
X
、Y的
k+l
階混合中心矩。顯然,E(X)是X
的一階原點矩,D(X)是X
的二階中心矩,Cov(X,Y)是X、Y
的二階混合中心矩。將它們寫成矩陣的形式:1211C21
C22
C
CC
E(
X1
)]
2
C11
E[
X14.4.3
協方差矩陣二維隨
量
(
X1
,
X
2
)有四個二階中心矩(設它們都存在),分記為222
2
2
E[
X
E(
X
)]
E(
X
)]
E(
X1
)][
X2C
E[
X12
1
221
2
2
1
1C
E[
X
E(
X
)][
X
E(
X
)]
C稱此矩陣為隨量(X1
,X2
)的協方差矩陣(covariance
matrix)設
n維隨
量
2
,,
Xn
)
的二階混合中心矩Cij
Cov(
Xi
,
X
j
)
E{[
Xi
E(
Xi
)][
X
j
E(
X
j
)]}i,
j
1,2,,
n都存在,
則稱矩陣
C
為
n維隨
量
2
,,
Xn
)的協方差矩陣。其中矩陣C
為21
22
n1
n
2
nn
2n
CCCC1n
C11
C12CC
C
C
ij
ji由于
,1(,,2j,,i)cin
因而上述矩陣是一個對稱矩陣(symmetric
matrix)一般來說,n
維隨
量的分布式不知道的,或者是復雜,以致在數學上不易處理的,因此在實際應用中方差矩陣就顯得更重要了。。下面介紹
n
維正態隨
量的概率密度
先將二維正態隨
量的概率密度改寫成另一種形式,以便將它推廣到
n
維隨
量的場合中去。二維正態隨量(X1
,X
2
)的概率密度為exp1f
(
x1
,
x2
)
1
22
1
222
2
2
]21
1
2
)(2)
[
1
1
2
1
1
22
)(1
(
x
)(
1
x
)(2現在將上式中花括號內的式子寫成矩陣形式,為此引入下面的列矩陣
2
x
X
x1
2
1
221
21
2212221
1211
C
CC
CC
C
1
(1
)2
2
22它的行列是C
1
21 2
11
21
C
22它的逆矩陣為(X1
,X2
)的協方差矩陣為(
X
)T
C
1
(
X
)
1
1
(22
111
2
x
C)(22
22
]2121[
11
2
2
)1(
1
x
)(2
(
)(2)于是(X1
,X
2
)的概率密度可寫成)(
CXX
)(T
112122212
1(2)
Cfx(x,)
exp推廣到n維正態隨
量的情況.21
E(
X1
)引入列矩陣
n
x
x
X
2
x1
22
n
n
E(
X
)
E(
X
)
1
n維正態隨
量(n
)的概率密度定義為
expT
CX1X21
()()
112n
2(2)
C21
2nf
其中,C是的協方差矩陣n維隨
量有以下三條重要性質:21
21
21
,,
ln
Xn(1)
n維隨
量充要條件是l1
X1
l2
X2服從n維正態分布的任意的線性組合服從一維正態分布(其中l1
,l2
,,ln不全為零)。(3)
設從n維正態分布,則n
兩兩不相關是等價的.21
相互獨立與n211
2
k(2)
若
服從
n維正態分布,設
Y
,Y
,,Y是X
j
(j
1,2,,n)線性函數,則(Y1
,Y2
,,Yk
)也服從正態分布。(此為正態變量的線性變換不變性)1、 設二維隨 量(X,Y)服從二維正態分布,則
X
Y
,
X
Y
不相關的充分條件為E(
X
)
E(Y
)E(
X
2
)
[E(
X
)]2
E(Y
2
)
[E(Y
)]2E(
X
2
)
E(Y
2)D
()[(2
)]2
()[(2
EEEXE)X]2習題2、設(
X
,Y
)
~
N
(
,
,
2
,
2
,
),則(X,Y)的協方1
2
1
2差矩陣為 ,X
與
Y
相互獨立,當且僅當3、設隨
量X
和Y
獨立,且X
服從均值為1,標準差為2
的正態分布,且
Y
服從標準正態分布,則
Z
2X
Y
3的概率密度為4、設二維隨
量(X,Y)的密度函數為21
2f
(
x,
y)
1[
(
x,
y)
(
x,
y)]其中1
(x,y),2
(x,y)都是二維正態密度函數,且它們對應的二維隨
量的相關系數分別為
1
和
1
,它們的3
3邊緣密度函數所對應的隨
量的數學期望都是零,方差是
1.
則
fX
(
x)=
,
fY
(
y)=,
XY
=5、已知(X,Y)的聯合分布律為YX-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8驗證X
與Y
是不相關的,但X
與Y
不是相互獨立的6、設隨量(X,Y)具有概率密度0,其他1,
y
x,0
x
1f
(
x,
y)
求E(X
),E(Y
),cov(X
,Y
)7、設有n
個人參加一個聚會,每人帶一件禮品,后放在一處,再做n
個記號(1,2,…,n),由每人隨機的抽取,然后對號領取禮品,記X
為領到自己禮品的人數,求X
的數學期望和方差。8、設隨量(X,Y)的概率密度為01
(
x
y),0
x
2,0
y
2,f
(
x,
y)
8,
其他求E(
X
),
E(Y
),cov(
X
,Y
),
,
D(
X
Y
)XY9、已知隨量X,Y,Z,E(X
)
E(Y
)
1,E(Z
)
121,2DXDYDZ()()()01,,YZXY
XZ
1
,
求E(X
Y
Z
),D(X
Y
Z
)10、設二維隨量(
X,
Y
)的聯合密度為
1
,
x2
y2
1f
(
x,
y)
0,
x2
y2
1分別求X
與Y
的數學期望和方差;求X
與Y
的協方差與相關系數;問X
與Y
是否相關,是否獨立11、已知隨量
X
與
Y
分別服從N
(1,32
),
N
(0,4)2
,且相關系數XY
1,設Z
X
Y2
3
2求:(1)E(Z),D(Z)
(2)XZ12、在長為
a
的線段上任取兩點,求兩點間距離的數學期望和方差。13、對于兩個隨
量V,W,若E(V
2),
E(W
2)存在證明[E(VW
)]2
E(V
2
)E(W
2
)。這一不等式稱為
—
(Cauchy—Schwarz)不等式14、Suppose
that
X
and
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