活用圓錐曲線定義巧解題綱要活用圓錐曲線定義巧解題綱要活用圓錐曲線定義巧解題綱要課題:活用圓錐曲線定義巧解題定義是揭示事物實質(zhì)屬性的思想形式,面對一個數(shù)學(xué)對象,回首它的定義,常常是解決問題的尖銳武器.圓錐曲線的第二定義表現(xiàn)了“形”的一致,第必定義則表現(xiàn)了“質(zhì)”的差異.兩種定義不但在解題中應(yīng)用寬泛,而且擁有很大的靈巧性.第一種定義和第二種定義的靈巧變換常常是翻開分析幾何思路的鑰匙,在題目中發(fā)掘這隱含信息有助于解題.下面我們一同來看看圓錐“定義”在求解圓錐曲線問題中有哪些老例應(yīng)用.一.利用圓錐曲線定義巧求離心率例1.F1、F2是橢圓的兩個焦點,過F2作一條直線交橢圓于P、Q兩點,使PF1⊥PQ,且|PF1|=|PQ|,求橢圓的離心率e.解:設(shè)|PF1|=t,則|PQ|=t,|F1Q|=2t,由橢圓定義有:|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|=2a,∴|PF1|+|PQ|+|F1Q|=4a,即(2+2t=4a,t=(4-22a,∴|PF2|=2a-t=(22-2a,在Rt△PF1F2中,|F1F1|2=(2c2,∴[(4-22a]2+[(22-2a]2=(2c2(a2=9-62,∴e=a=26-.談?wù)?我們在解相關(guān)圓錐曲線問題時,假如題目波及焦點、準(zhǔn)線方程、離心率、圓錐曲線上的點這四個條件中的三個,我們一般的就要聯(lián)想到圓錐曲線定義,有時甚至只需知道其中的兩個條件,也可以聯(lián)想到圓錐曲線定義.靈巧巧妙地運用圓錐曲線的定義,將會帶給我們意想不到的方便和簡單.二.利用圓錐曲線定義巧求值例2.橢圓0(2222>>+babyax和雙曲線0,(2222>-nmnymx有公共的焦點0,(1cF-、0,(2cF,P為這兩曲線的交點,求21PFPF?的值.解:設(shè)vPFuPF==21,,則???+=-±=-=+222222nmbamvuavu,由①②得??+=-=mavmau,結(jié)合③得2221mauvPFPF-=?=?或22nb+.說明:做這道題時,假如我們從P為這兩曲線的交點出發(fā),想經(jīng)過聯(lián)立方程組解點P的坐標(biāo),再利用兩點間距離公式去求21,PFPF其,過程十分繁瑣,但假如從橢圓與雙曲線的定義出發(fā),就比較簡單解決問題.①②③三.利用圓錐曲線的定義求最值例3.如圖,FF12、是雙曲線xy223-=1的左、右焦點,M(6,6為雙曲線內(nèi)部的一點,P為雙曲線右支上的一點,求:(1||||PMPF+2的最小值;(2||||PMPF+122的最小值.簡解:(1||||||||||PMPFMFPFPF+-+=21128;≥(2||||||||||||PMPFPMPFePMPH+=+=+≥12112(其中|PH|為P到右準(zhǔn)線l的距離說明:(1和式“||||PMPF+2與雙”曲線第必定義有質(zhì)的差異,能否轉(zhuǎn)變成“差”是解題的要點;(2要點在于辦理122||PF的系數(shù),于是聯(lián)想到e=2,可用第二定義轉(zhuǎn)變..利用定義判斷某些地點關(guān)系例4.設(shè)l是經(jīng)過雙曲線xayb22221-=的右焦點F2的直線,且和雙曲線右支交于A、B兩點,則以AB為直徑的圓與雙曲線的右準(zhǔn)線有幾個交點?解:如圖,分別過A、B及圓心M作雙曲線右準(zhǔn)線l1的垂線垂足分別為ABM***、、則||(||||(||||||*MMAABBeAFBFeABReR=+=+==<12121222(其中e為雙曲線的離心率,R為圓的半徑故以AB為直徑的圓與雙曲線的右準(zhǔn)線有兩個交點.五.利用圓錐曲線的定義求動點軌跡方程求動點軌跡方程,若動點運動規(guī)律或幾何拘束等式符合某一圓錐曲線的定義時,可直接確定其標(biāo)準(zhǔn)方程,并得出待定系數(shù)之值,從而直接得出結(jié)果.例5.過原點的橢圓的一個焦點為0,1(1F,長軸長為4,求橢圓中心的軌跡.簡析:設(shè)橢圓中心為,,(yxM由于橢圓的一個焦點為0,1(1F,則橢圓的另一個焦點為2,12(2yxF-,再由橢圓的定義知421=+OFOF,即42(12(122=+-+yx,即4921(22=+-yx(除掉點(0,1-說明:本題看似簡單,倒是一道頗費考慮的題目,當(dāng)題中條件不易直接得出結(jié)論時,回歸定義倒是最好的方法.一般的,用定義法求軌跡方程有五個步驟:1.分析條件找到動點M在運動過程中與已知條件之間所保持的不變的特色,從中研究動點M的軌跡能否符合某種圓錐曲線的定義——定性;2.再依照條件確定圓錐曲線對稱中心、或極點的地點——定位;3.求出a、b、c或p的值——定量;4.從而得出動點M的軌跡方程——定方程;5.最后要指出動點的運動范圍——定范圍六.利用圓錐曲線定義巧解實詰問題例6.如圖A村在B處,C村與B地相距4km,且在B地的正東方向.已知公路PQ上任一點到,BC的距離之和都為8km.此刻要在公路旁建筑一個變電房M,分別向A村,C村送電,但C村有一村辦工廠,用電須用專用線路,所以向C村要架兩條線路分別給村民和工廠送電.要使得所用電線最短,變電房M應(yīng)建在A村的什么方向?并求出M到A村的距離.分析:實質(zhì)應(yīng)用問題要將問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)模型來解決.解由題意知,||||84||MAMBBC+=>=,故點M在以,BC為焦點的橢圓上.如圖,成立平面直角坐標(biāo)系0xy,則(2,0,(2,0,(BCA--.所以點M的軌跡方程為2211612xy+=.又12cea==,右準(zhǔn)線2:8alxc==.過M作MNl⊥于N,則由橢圓的第二定義可知||2||MNMC=.依題意知求||2||MAMC+的最小值,即求||||MAMN+的最小值,由平面幾何知識可知,當(dāng),,MAN共線時,||||MAMN+最小.所以MN,即變電房應(yīng)建在A村的正東方向且距A村2km處.說明:本解法綜合觀察了橢圓的第必定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程,并利用橢圓的第二定義求最小值問題,特別是第二定義的應(yīng)用,并借助了數(shù)形結(jié)合使問題得以解決.從上面我們可以看出:運用圓錐曲線的定義解題,經(jīng)過數(shù)形結(jié)合,不但能抓住問題的實質(zhì),還可以避開復(fù)雜的運算,使問題巧妙獲解.鏈接練習(xí)1.橢圓0(12222>>=+babyax中假如∠PF1F2=α∠,PF2F1=β,求離心率.鏈接練習(xí)2.已知雙曲線1322=-yx的右焦點F,右準(zhǔn)線l,直線3+=kxy經(jīng)過以F、l為對應(yīng)焦點和準(zhǔn)線的橢圓的中心,求k的取值范圍.鏈接練習(xí)3.如圖,某村在送到莊稼地ABCD中去,已知

P處有一堆化肥,今要把這堆肥料沿道路100PAm=,150PBm=,60APB?

PA或

PB∠=,能否在田地ABCD中確定一條界限,使位于界限一側(cè)的點沿道路PA送肥較近;而另一側(cè)沿道路PB送肥較近?假如能,請說出這條界限是一條什么曲線,并求出其方程.鏈接練習(xí)4.F1、F2為橢圓12222=+bya的兩焦點,若橢圓上存在一點,使∠F1PF2=90,°求橢圓的離心率的取值范圍.鏈接練習(xí)5.已知P為橢圓192522=+yx上一點,1F、2F是橢圓的兩個焦點,02160=∠PFF,求21PFF?的面積.鏈接練習(xí)6.已知點A(-2,,設(shè)F為橢圓1121622=+yx的右焦點,M為橢圓上的一動點,求MFAM2+的最小值,并求出此時點的坐標(biāo).鏈接練習(xí)7.如圖,已知三點A(-7,0,B(7,0,C(2,-12。①若橢圓過A、B兩點,且C為其一焦點,求另一焦點P的軌跡方程;②若雙曲線的兩支分別過A、B兩點,且C為其一焦點,求另一焦點Q的軌跡方程.鏈接練習(xí)8.已知兩圓C1:1694(22=+-yx,C2:94(22=++yx,動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切,和圓C2相外切,求動圓圓心的軌跡方程.鏈接練習(xí)9.艦A在艦B的正東6千米處,艦C在艦B的北偏西30°且與B相距4千米,它們準(zhǔn)備捕大海動物,某時刻A發(fā)現(xiàn)動物信號,4秒后B、C同時發(fā)現(xiàn)這種信號,A發(fā)射麻醉炮彈.設(shè)艦與動物均為靜止的,動物信號的流傳速度為1千米/秒,炮彈的速度是320g千米/秒,其中g(shù)為重力加快度,若不計空氣阻力與艦高,問艦A發(fā)射炮彈的方向角和仰角應(yīng)是多少?答案與提示:鏈接練習(xí)1.由橢圓定義知:|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c,||||22221PFPFcacace+===,由正弦定理得|PF1|=2Rsinβ,|PF2|=2Rsinα,|F1F2|=2Rsin(α+β,∴2coscos2cos2sin2cossin2sinsinsin(sin(sin2sin(2||||221βαβαβαβαβαβαβα-+=-?++?+=++=++=+=RRPFPFce說明:曲線上的點與焦點連線構(gòu)成的三角形稱焦點三角形,與焦點三角形相關(guān)的問題常常借助正(余弦定理,借助比率性質(zhì)進(jìn)行辦理.鏈接練習(xí)2.雙曲線1322=-yx的焦點F(2,0,準(zhǔn)線23:=xl,設(shè),(yxP為橢圓上隨意一點,，可得橢圓中心為

O由直線

，化簡得由定義得過，

，求出

橢圓的中心，有，而，∴，從而求出k的范圍為：．2鏈接練習(xí)3．若存在滿足條件的界限,則界限上的點應(yīng)經(jīng)PA或PB走相同的行程.經(jīng)過成立直角坐標(biāo)系,即可求出其方程.如圖以AB所在的直線為x軸,AB的中點O為坐標(biāo)原點成立直角坐標(biāo)系.設(shè)M為所求的界線上的一點,則點M滿足即故所求界限是以A,B為焦點,實軸長為50的雙曲線的一支(湊近B點的一支的一部分.由于所以所以故所求界限的方程為其右支位于四邊形ABCD內(nèi)的部分.6253750鏈接練習(xí)4．由橢圓定義知：|PF1|+|PF2|=2a，兩邊平方得：4a=|PF1|+|PF2|+2|PF1||PF2|

≤2|PF1|+|PF2|），∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|，∴4a≤2（2c，得222222222222＜1．≤e說明：波及到角度時，利用勾股定理或余弦定理，再利用不等式放縮，常常簡單了然，注意放縮時等號條件能否成立．鏈接練習(xí)5．本題集中了橢圓方程、三角形的面積、三角形的邊角關(guān)系等條件，在這些條件中，都離不開PF1、PF2兩條線段，由此可由橢圓的定義和三角形中的余弦定理出發(fā)，求得三角形的面積．在橢

圓

中，

a=5，

，c=4，∵

P點在橢圓上，∴

PF1+PF2=10259由余弦定理得

PF12①2①-②得：PF1·PF2=12，∴．222鏈接練習(xí)

6．過

A點作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為

N，與橢圓交與

M，離心率

，

2，的最小值即為AN的長，10，的最小值為10．此時點M（23，3）．說明：若利用成立目標(biāo)函數(shù)來求的最小值，其函數(shù)表達(dá)式復(fù)雜，用常例方法求解較繁，但若能對中的數(shù)值“2進(jìn)”行分析，不難求出“2就”是就是M點到右準(zhǔn)線的距離，問題即可解出．鏈接練習(xí)7．①由橢圓定義知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|，即，故P的軌跡為A（－7，0）、B（7，0）為焦點實軸長為2的雙曲線的一支：其方程為，則依照橢圓的第二定義，；48②經(jīng)談?wù)撝徽揂在雙曲線的哪一支上總有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14，故點Q的軌跡為以A（－7，0）、B（7，0）為焦點長軸長為28的橢圓，其方程為．196147鏈接練習(xí)8．動圓滿足的條件為：①與圓C1相內(nèi)切；②與圓C2相外切．依照兩圓相切的充要條件成立關(guān)系式．設(shè)動圓圓心Ｍ（x，y），半徑為r，以以下圖，由題意動圓Ｍ內(nèi)切于圓C1，∴，圓Ｍ外切于圓C2，∴，∴，∴動圓圓心Ｍ的軌跡是以C1、C2為焦點的橢圓，且2，C2Ｍ，222ＯC1x故所求軌跡方程為：．6448鏈接練習(xí)9．取AB所在直線為x軸，以AB的中點為原點，成立以以下圖的直角坐標(biāo)系.由題意可知，A、B、C艦的坐標(biāo)為(3，0、(－3，0、(－5，23．

7由于B、C同時