《積分變換》課程實施大綱目錄1.教學理念……………………52.課程介紹……………………53.教師簡介……………………54.先修課程……………………55.課程目標……………………56.課程內(nèi)容……………………56.1課程內(nèi)容概要………………56.2教學重點、難點……………66.3學時安排……………………67.教學實施……………………77.1教學單元一…………………77.2教學單元二………………137.3教學單元三………………187.4教學單元四………………287.5教學單元五………………337.6教學單元六………………417.7教學單元七………………457.8教學單元八………………527.9教學單元九………………557.10教學單元十………………598.課程學習要求……………649.課程考核方式及評分規(guī)則………………6410.學術(shù)誠信規(guī)定……………6511.課堂規(guī)范…………………6512.教學合約及學生簽名確認………………661．教學理念展示知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程;強調(diào)基本概念、基本理論、基本方法的掌握;注重數(shù)學計算能力、學習能力的提高.2．課程介紹《積分變換》是工科類學校部分專業(yè)的基礎(chǔ)專業(yè)課程.課程內(nèi)容豐富,基礎(chǔ)性復(fù)雜.積分變換的基本理論和方法是學生后續(xù)專業(yè)課程學習的基礎(chǔ)和工具.學習好積分變換的理論和方法,對于進一步的學習和研究有十分重要的意義和作用.3．教師簡介偏微分方程中有很強實際應(yīng)用背景的雙曲型方程解的存在性、奇異性等問題的研究.4．先修課程:高等數(shù)學,復(fù)變函數(shù)5．課程目標通過本門課程的學習,掌握積分變換的基本概念、基本理論、基本方法,進一步提高數(shù)學的學習能力、計算能力和應(yīng)用能力.6．課程內(nèi)容6.1課程的內(nèi)容概要:函數(shù)的Fourier積分公式;Fourier變換和逆變換的定義;函數(shù)的概念和性質(zhì),三角函數(shù)的Fourier變換和逆變換;Fourier變換和逆變換的性質(zhì);函數(shù)的卷積和卷積定理;應(yīng)用Fourier變換方法求解微積分方程;Laplace變換的概念及常見函數(shù)的Laplace變換;Laplace變換的性質(zhì);應(yīng)用留數(shù)方法求函數(shù)的Laplace逆變換;Laplace變換函數(shù)的卷積及卷積公式;應(yīng)用Laplace變換方法求解微積分方程.6.2教學重點、難點:函數(shù)Fourier變換和逆變換的求法;函數(shù)Laplace變換和逆變換的求法;Fourier變換和Laplace變換的應(yīng)用等內(nèi)容是課程的重點,也是是課程的難點.6.3學時安排:30學時7.課程實施第一講課時/課次:教學日期（學年/學期）Fourier積分公式2/12015-16/1教學目標一、了解函數(shù)Fourier積分公式的推導(dǎo)過程;二、掌握Fourier積分公式的指數(shù)形式;三、了解Fourier積分公式的其他形式;四、計算函數(shù)的Fourier積分表達式.教學內(nèi)容知識點：一、Fourier積分定理;二、指數(shù)形式的Fourier積分公式;三、三角形式的Fourier積分公式;四、正弦Fourier積分公式、余弦Fourier積分公式.重點:計算函數(shù)的Fourier積分表達式.難點:計算函數(shù)的Fourier積分表達式.教學過程及教學方法§1.1Fourier積分1.Dirichlet條件如果定義在實數(shù)上的實值函數(shù)在閉區(qū)間上⑴連續(xù),或者只有有限個第一類間斷點;⑵只有有限個極值點,則稱在上滿足Dirichlet條件.2.無窮限廣義含參變量的積分定義在上的實值函數(shù),如果絕對可積:,則含有參數(shù)的無窮限廣義積分存在.由此確定了一個以為自變量的函數(shù),記作3.Fourier積分定理若實值函數(shù)在上滿足下列條件：1、在的任一有限閉區(qū)間滿足Dirichlet條件；2、絕對可積:則函數(shù)存在,而且在的連續(xù)點,有在的第一類間斷點,有一般稱為函數(shù)的Fourier積分公式,也稱為Fourier積分公式的指數(shù)形式.4.Fourier積分公式的三角形式如果利用Euler公式把積分中的指數(shù)函數(shù)化成三角函數(shù),可以得到Fourier積分公式的三角形式.注意到積分是的奇函數(shù),則有積分是的偶函數(shù),則有所以有5.正弦、余弦積分在Fourier積分公式的三角形式中,若是奇函數(shù),則上述兩個積分中的被積函數(shù),是奇函數(shù),是偶函數(shù),則所以有奇函數(shù)的正弦Fourier積分公式若是偶函數(shù),則上述兩個積分中的被積函數(shù),是偶函數(shù),是奇函數(shù),則所以有偶函數(shù)的余弦積分Fourier積分公式例1求函數(shù)的Fourier積分解：容易知道是函數(shù)的間斷點.在時,根據(jù)Fourier積分公式，有注意到根據(jù)Euler公式,有,所以有代入Fourier積分表達式,并由Euler公式,有注意到是的奇函數(shù),于是有所以有在時,由于,根據(jù)Fourier積分公式，有在時,由于根據(jù)Fourier積分公式，也有所以在時,都有例2求函數(shù)的Fourier積分解：分段函數(shù)可能的間斷點是函數(shù)的分段點.由于則在函數(shù)連續(xù),則函數(shù)沒有間斷點.根據(jù)Fourier積分公式，有根據(jù)Euler公式，有注意到時,,所以則有根據(jù)Euler公式，有注意到積分變量的奇函數(shù),因此有所以，有作業(yè)安排及課后反思:(1)歸納，總結(jié)重要概念，公式和方法.(2)習題一:2(1),3(1,2).本課程使用教材：P3-10第二講課時/課次:教學日期（學年/學期）Fourier變換2/22015-16/1教學目標一、掌握函數(shù)的Fourier變換和逆變換的概念;二、掌握函數(shù)的概念及性質(zhì);三、掌握函數(shù)的Fourier變換;四、三角函數(shù)的Fourier變換.教學內(nèi)容知識點：一、函數(shù)的Fourier變換和逆變換;二、函數(shù);三、函數(shù)的性質(zhì)及其Fourier變換;四、三角函數(shù)的Fourier變換五、非周期函數(shù)的頻譜.重點:函數(shù)的概念、性質(zhì)及Fourier變換、三角函數(shù)的Fourier變換.難點:函數(shù)的概念及性質(zhì)、三角函數(shù)的Fourier變換及Fourier逆變換.教學過程及教學方法§1.2Fourier變換1.Fourier變換和逆變換設(shè)是定義在上的實值函數(shù),則稱上的復(fù)值函數(shù)是的Fourier變換;是的Fourier逆變換;并稱為Fourier變換的象函數(shù)或Fourier變換，記為為Fourier變換的象原函數(shù)或Fourier逆變換，記為由函數(shù)的Fourier變換和逆變換的定義可知,Fourier變換的象原函數(shù)和象函數(shù)是一一對應(yīng)的.例3求指數(shù)衰減函數(shù)的Fourier變換.解：根據(jù)函數(shù)Fourier變換的定義公式,有2.函數(shù)及其Fourier變換2.1引入函數(shù)的數(shù)學背景對單位階躍函數(shù)在時,,而在時，由于所以在普通導(dǎo)數(shù)意義下，在的導(dǎo)數(shù)不存在.為了表示像的導(dǎo)數(shù)這樣的函數(shù),我們引入單位脈沖函數(shù),也稱為Dirac函數(shù),記為函數(shù).2.2函數(shù)的數(shù)學定義若,記對任意無窮次可微函數(shù)，如果則稱的弱極限為函數(shù)，記為.有時候也直觀的理解為從這個定義出發(fā)，我們可以推導(dǎo)出函數(shù)的重要性質(zhì).2.3函數(shù)的重要性質(zhì)（1）函數(shù)的單位性質(zhì):在定義公式中,取,有由此得到（2）函數(shù)是偶函數(shù):例4（3）函數(shù)的篩選性質(zhì):根據(jù)函數(shù)的定義公式，有由于函數(shù)連續(xù),根據(jù)積分中值定理,有所以由此有一般的，有例5（4）對單位階躍函數(shù)，有2.4函數(shù)的Fourier變換根據(jù)函數(shù)的篩選性質(zhì)有:.2.5重要公式根據(jù)函數(shù)Fourier逆變換公式有:由此有重要公式（※）例62.6函數(shù)在積分變換中的作用(1)有了函數(shù),對于點源和脈沖量的研究就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣,以統(tǒng)一的方式來對待.(2)盡管函數(shù)本身沒有普通意義下的函數(shù)值,但它與任何一個無窮次可做的函數(shù)的乘積在上的積分都有確定的值.(3)函數(shù)的Fourier變換是廣義Fourier變換，許多重要的函數(shù)，如常值函數(shù)、符號函數(shù)、單位階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等是不滿足Fourier積分定理中的絕對可積條件的(即不存在),這些函數(shù)的廣義Fourier變換都可以利用函數(shù)而得到.2.7求三角函數(shù)Fourier變換的基本方法例7求正弦函數(shù)的Fourier變換.解根據(jù)函數(shù)Fourier變換定義和Euler公式，有根據(jù)重要（※），有即3.非周期函數(shù)的頻譜在頻譜分析中,時間函數(shù)的Fourier變換稱為的頻譜函數(shù),而它的模稱為的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜).由于是連續(xù)變化的,我們稱之為連續(xù)頻譜,對一個時間函數(shù)作Fourier變換,就是求這個時間函數(shù)的頻譜.振幅函數(shù)是角頻率的偶函數(shù),即定義為的相角頻譜.相角頻譜是的奇函數(shù)，即作業(yè)安排及課后反思(1)歸納，總結(jié)重要概念和結(jié)論.(2)習題二7,9,10,11,12.本課程使用教材：P11-29第三講課時/課次:教學日期（學年/學期）Fourier變換的性質(zhì)2/3,42015-16/1教學目標一、了解Fourier變換、逆變換位移性,微分性,積分性的推導(dǎo)過程;二、掌握Fourier變換、逆變換的位移性,微分性,積分性的應(yīng)用方法;三、了解乘積定理;四、了解能量積分;五、掌握能量譜密度的概念.教學內(nèi)容知識點：一、Fourier變換、逆變換的位移性;二、Fourier變換、逆變換的微分性;三、Fourier變換、逆變換的積分性;四、乘積定理;五、能量積分;六、能量譜密度.重點:掌握Fourier變換、Fourier逆變換的位移性,微分性,積分性;能量譜密度的概念.難點:掌握Fourier變換、Fourier逆變換的位移性,微分性,積分性.教學過程及教學方法§1.3Fourier變換的性質(zhì)1.Fourier變換公式簡表只是給出了部分基本函數(shù)的Fourier變換.在Fourier變換的廣泛應(yīng)用中，需要對各種各樣的函數(shù)求Fourier變換或逆變換，這就要求熟悉Fourier變換的性質(zhì).2.以Fourier變換的性質(zhì)為基礎(chǔ)，可以導(dǎo)出一些重要的概念和方法，例如，能量密度，微分方程的Fourier變換解法等等.3.Fourier變換的性質(zhì)都可以從Fourier變換和逆變換的定義公式出發(fā)推導(dǎo)得到.4.在Fourier變換的性質(zhì)表述和推導(dǎo)過程中，總有：1．線性性質(zhì)設(shè)和是常數(shù)，則直接由Fourier變換和逆變換的積分定義公式,有1.1象原函數(shù)的線性性質(zhì)：1.2象函數(shù)的線性性質(zhì)：2．位移性質(zhì)2.1象原函數(shù)的位移性質(zhì)（時移性質(zhì)）：證明：根據(jù)Fourier變換的積分定義公式，有：在上述積分中，令,則有:.再一次根據(jù)Fourier變換的定義，有：在實際應(yīng)用中,還經(jīng)常使用上述公式的等價形式.在上述公式兩邊同時作Fourier逆變換，有：2.2象函數(shù)的位移性質(zhì)（頻移性質(zhì)）：證明：根據(jù)Fourier逆變換的積分定義公式，有：在上述積分中，令,則有：再一次根據(jù)Fourier逆變換的定義，有：在上述公式兩邊同時作Fourier變換，可以得到有重要應(yīng)用意義的等價形式：在已知時,位移性質(zhì)的應(yīng)用:(1)求的Fourier變換和的Fourier逆變換;例8已知，求函數(shù)的頻譜函數(shù).解：根據(jù)Fourier變換象原函數(shù)的位移公式,有在Fourier變換公式中,取,有所以有.則的頻譜函數(shù)為例9已知,求函數(shù)的Fourier逆變換.解：記.根據(jù)Fourier變換象函數(shù)的位移公式,有根據(jù)Euler公式,有.在公式中，取,則有.所以(2).求正余弦函數(shù)與乘積函數(shù)的Fourier變換和逆變換.例10．已知，求解根據(jù)Euler公式，有.根據(jù)Fourier變換的線性性質(zhì),有.根據(jù)Fourier變換的位移性質(zhì)，有,所以例11已知鐘形脈沖函數(shù)的Fourier變換,求函數(shù)的頻譜函數(shù).解:根據(jù)鐘形脈沖函數(shù)的Fourier變換公式，有.根據(jù)Euler公式，有,則由Fourier變換的位移公式可得頻譜函數(shù)為3．相似性質(zhì)4.微分性質(zhì)4.1象原函數(shù)的微分性質(zhì)：若.則有證明：根據(jù)Fourier變換的定義，有：,根據(jù)分部積分公式，有：注意到條件,因此有：則.再一次根據(jù)Fourier變換的定義，有：繼續(xù)重復(fù)前面的推導(dǎo)過程，最終有：.為了應(yīng)用方便,在上述公式兩邊同時作Fourier逆變換，有,整理后可得：4.2象函數(shù)的微分性質(zhì)：證明：根據(jù)Fourier變換的定義，有,在上述公式兩邊關(guān)于求導(dǎo)，有.根據(jù)Fourier變換的定義，有繼續(xù)關(guān)于求導(dǎo)，最終有在實際應(yīng)用中,也有可能用到下面的等價形式:5.積分性質(zhì)5.1象原函數(shù)的積分性質(zhì)：若,則有.證明：令,則有.對上式兩端同時作Fourier變換,并利用Fourier變換微分性質(zhì),有,由此可得等價的也有5.2象原函數(shù)的積分性質(zhì)：例12．求函數(shù)的Fourier逆變換.解根據(jù)Fourier變換象原函數(shù)的積分性質(zhì),有根據(jù)Fourier逆變換的積分定義公式、Euler公式和函數(shù)的重要公式，有所以有根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),有6.乘積定理定義在上的實值函數(shù)絕對可積,則有證明：根據(jù)Fourier逆變換的定義，有：對上述兩次積分交換積分次序，有：在函數(shù)Fourier變換的積分定義公式中,是實數(shù),則有所以有：后面的式子類似可得.7.能量積分7.1能量積分（Parseval等式）：7.2能量（能量譜）密度函數(shù)：稱為函數(shù)的能量密度函數(shù)，或能量譜密度.例13已知，求的能量譜密度.解根據(jù)Fourier變換象函數(shù)的微分性質(zhì),有根據(jù)Fourier變換象原函數(shù)的位移公式,有在Fourier變換公式中,取,有于是有.所以根據(jù)能量譜密度的定義,得到所求函數(shù)的能量譜密度注意到所以作業(yè)安排及課后反思(1)歸納，總結(jié)重要概念和結(jié)論.(2)習題三:3,5,7,10,11(2,4,7).本課程使用教材：P32-38第四講課時/課次:教學日期（學年/學期）卷積與相關(guān)函數(shù)2/5,62015-16/1教學目標一、了解函數(shù)卷積的概念;二、掌握函數(shù)卷積的計算方法;三、掌握卷積定理及其應(yīng)用;四、了解相關(guān)函數(shù)的概念;五、掌握相關(guān)函數(shù)和能量譜密度的關(guān)系.教學內(nèi)容知識點：一、函數(shù)卷積;二、象原函數(shù)的卷積公式;三、象函數(shù)的卷積公式;四、相關(guān)函數(shù);五、相關(guān)函數(shù)和能量譜密度的關(guān)系.重點:卷積定理、相關(guān)函數(shù)和能量譜密度的關(guān)系.難點:卷積定理、相關(guān)函數(shù)和能量譜密度的關(guān)系.教學過程及教學方法§1.4卷積與相關(guān)函數(shù)1.卷積的概念若定義在上的實值函數(shù)絕對可積,則稱積分為的卷積，記為，即2.卷積的性質(zhì)2.1對稱性：2.2線性性質(zhì)：2.3結(jié)合性：3.卷積定理3.1象原函數(shù)卷積公式：證明：根據(jù)函數(shù)卷積和Fourier變換的定義，有：交換上述積分次序，有：.在積分中，令,并根據(jù)Fourier變換的積分定義公式,有：所以有：在實際應(yīng)用中,下面的等價公式有更重要的應(yīng)用:3.2象函數(shù)卷積公式：在求抽象函數(shù)乘積的Fourier變換和逆變換時,卷積公式有重要應(yīng)用.例14已知，求函數(shù)的Fourier逆變換.解根據(jù)Fourier逆變換的卷積公式,有在公式中,取,即,有根據(jù)函數(shù)卷積的定義,所以有4.相關(guān)函數(shù)4.1互相關(guān)函數(shù)：設(shè)定義在上的實值函數(shù)絕對可積.稱積分為函數(shù)和的互相關(guān)函數(shù).類似還有4.2相關(guān)函數(shù)：在互相關(guān)函數(shù)的定義中，當時，稱積分為函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)，簡稱相關(guān)函數(shù).相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)：4.3相關(guān)函數(shù)和能量譜密度的關(guān)系根據(jù)Fourier變換的位移性質(zhì),有.根據(jù)乘積定理,有所以有由此也有求函數(shù)相關(guān)函數(shù)的一種重要方法：例15求信號的能量普密度和相關(guān)函數(shù).解先求的Fourier變換.根據(jù)Euler公式，有所以根據(jù)Fourier變換象函數(shù)的位移公式,有而根據(jù)公式：，有所以有根據(jù)能量譜密度的定義,有由關(guān)系式有根據(jù)Fourier變換象函數(shù)的位移公式,有根據(jù)Euler公式，有在公式中，取,即,有由此得到相關(guān)函數(shù)如果利用相關(guān)函數(shù)的定義，則有.這是一個幾乎不能夠計算的積分！作業(yè)安排及課后反思(1)歸納，總結(jié)重要概念、結(jié)論和方法.(2)習題四:3,5(1,3),7,8.本課程使用教材：P40-50第五講課時/課次:教學日期（學年/學期）Fourier變換的應(yīng)用2/7,82015-16/1教學目標一、了解應(yīng)用Fourier變換方法求解微積分方程的思路和方法;二、掌握求函數(shù)Fourier變換和逆變換的各種方法;三、能夠綜合應(yīng)用Fourier變換的方法解決實際問題.教學內(nèi)容知識點：一、微積分方程;二、方程的Fourier變換;三、代數(shù)方程.重點:應(yīng)用Fourier變換方法求解微積分方程和偏微分方程.難點:應(yīng)用Fourier變換方法求解微積分方程和偏微分方程.教學過程及教學方法§1.5Fourier變換的應(yīng)用1.應(yīng)用Fourier變換方法求解微積分方程的前提條件:需要求解方程中未知函數(shù)的自變量定義域為.2.求解基本思路:對方程中的未知函數(shù)關(guān)于定義在的自變量作Fourier變換;根據(jù)Fourier變換的微積分性質(zhì),可以得到未函數(shù)Fourier變換象函數(shù)滿足的代數(shù)方程;然后從代數(shù)方程中求解出象函數(shù);對象函數(shù)作Fourier逆變換,最后求得未知函數(shù).3.微積分方程的Fourier變換求解方法例16求解下列微積分方程解:由于在方程兩端對未知函數(shù)關(guān)于自變量作Fourier變換,記根據(jù)Fourier變換的微積分性質(zhì),有所以有即根據(jù)Fourier變換的積分定義公式,有由Euler公式,有根據(jù)函數(shù)的重要公式,有由此得到根據(jù)Fourier逆變換的積分定義公式和函數(shù)的篩選性質(zhì),有根據(jù)Euler公式,有所以方程的解為例17求解下列微積分方程其中是已知函數(shù).解:對方程兩端的函數(shù)自變量作Fourier變換,記.根據(jù)Fourier變換的微積分性質(zhì),有所以有則有根據(jù)Fourier變換象原函數(shù)的卷積公式,有查表可得,根據(jù)函數(shù)卷積的定義,有4.偏微分方程的Fourier變換求解方法例18求解一維熱傳導(dǎo)方程的初值問題解:對初值問題中的各函數(shù)關(guān)于自變量作Fourier變換,記注意到根據(jù)Fourier變換的微分性質(zhì),得到含有參數(shù)的常微分方程初值問題:根據(jù)常微分方程的分離變量解法可得.對上式兩端關(guān)于作Fourier逆變換,并應(yīng)用卷積公式,有在公式中,取,即,有根據(jù)函數(shù)卷積的定義,所以有例19求解非齊次波動方程初值問題解:把初值問題中的自變量作為參數(shù),對各函數(shù)關(guān)于自變量作Fourier變換,記注意到根據(jù)Fourier變換的微分性質(zhì),有由此得到含有參數(shù)的二階常微分方程初值問題:常微分方程對應(yīng)的齊次方程為其特征方程的特征根.由此得到齊次方程的通解,其中是與無關(guān)的常數(shù).根據(jù)非齊次方程的自由項,可設(shè)其特解為其中是與無關(guān)的待定常數(shù).代入非齊次方程后,可得由此得到.則非齊次方程的特解為非齊次方程的通解為由初值條件首先可得.又所以有,由此有.由此解得代入通解,可得二階常微分方程初值問題的解.根據(jù)Fourier變換的積分定義公式,有由Euler公式,有根據(jù)函數(shù)的重要公式,有所以有.對上式兩端作Fourier逆變換,根據(jù)函數(shù)Fourier逆變換的積分定義公式可得由Euler公式,有所以有作業(yè)安排及課后反思(1)歸納，總結(jié)重要概念、結(jié)論和方法.(2)習題五:5,6(2).本課程使用教材：P52-65第六講課時/課次:教學日期（學年/學期）Laplace變換2/92015-16/1教學目標一、掌握函數(shù)Laplace變換的積分定義公式;二、了解函數(shù)Laplace變換存在定理;三、掌握常見函數(shù)的Laplace變換.教學內(nèi)容知識點：一、Laplace變換的積分定義公式;二、Laplace變換存在定理;三、常見函數(shù)的Laplace變換;四、周期函數(shù)的Laplace變換;五、函數(shù)的Laplace變換.重點:Laplace變換的積分定義公式、常見函數(shù)的Laplace變換.難點:常見函數(shù)的Laplace變換.教學過程及教學方法§2.1Laplace變換的概念1.Laplace變換的定義設(shè)函數(shù)在時有定義,是一個復(fù)參變量，積分在的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)稱為的Laplace變換(簡稱L-變),記為稱為的Laplace變換(象函數(shù)),稱為的Laplace逆變換(象原函數(shù)),記為2.函數(shù)的Laplace變換例1求單位階躍函數(shù)的Laplace變換.解根據(jù)Laplace變換的定義,有這個積分在時收斂,而且有這個結(jié)果在以后的應(yīng)用中作為常值函數(shù)的Laplace變換,記為例2求指數(shù)函數(shù)的Laplace變換(為實數(shù)).解根據(jù)Laplace變換的定義,有這個積分在時收斂,而且有所以例3求(為實數(shù))的Laplace變換.解根據(jù)Laplace變換的定義和Euler公式,有所以有3.Laplace變換存在定理若函數(shù)滿足條件:1.在的任一有限區(qū)間上至少分段連續(xù)；當時,的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),即存在常數(shù)及,使得則1.函數(shù)的Laplace變換在半平面存在;2.積分在上絕對且一致收斂;3.在半平面內(nèi),為解析函數(shù).4.常見函數(shù)的Laplace變換1);2);3)4)5)是正整數(shù).5.周期函數(shù)的Laplace變換以為周期的函數(shù),即,有6.函數(shù)在原點含有脈沖函數(shù)時的Laplace變換作業(yè)安排及課后反思(1)歸納，總結(jié)重要概念和結(jié)論.(2)習題二7,9,10,11,12.本課程使用教材：P11-29第七講課時/課次:教學日期（學年/學期）Laplace變換的性質(zhì)2/10,112015-16/1教學目標一、了解Laplace變換位移性,微分性,積分性的推導(dǎo)過程;二、掌握Laplace變換位移性,微分性,積分性的應(yīng)用方法;三、了解Laplace變換的延遲性;四、了解初值定理和終值定理的內(nèi)容及意義.教學內(nèi)容知識點：一、Laplace變換微分性;二、Laplace變換積分性;三、Laplace變換位移性;四、Laplace變換延遲性;五、初值定理;六、終值定理.重點:Laplace變換位移性,微分性,積分性及其應(yīng)用.難點:Laplace變換位移性,微分性,積分性的應(yīng)用.教學過程及教學方法§2.2Laplace變換的性質(zhì)1.假定在這些性質(zhì)中,所有求Laplace變換的函數(shù)都滿足Laplace變換存在定理中的條件,并且把這些函數(shù)的增長指數(shù)都統(tǒng)一地取為2.在Laplace變換的性質(zhì)表述和推導(dǎo)過程中，總有1．線性性質(zhì)設(shè)和是常數(shù)，則直接由Laplace變換和逆變換的積分定義公式,有1.1象原函數(shù)的線性性質(zhì)：1.2象函數(shù)的線性性質(zhì)：2．微分性質(zhì)2.1象原函數(shù)的微分性質(zhì)：證明:這里只對一階的情況給出證明,至于高階的時候,可用類似方法證得.根據(jù)Laplace變換的積分定義公式,有根據(jù)函數(shù)Laplace變換的存在條件可知,所以有例4已知,根據(jù)微分性質(zhì),有所以有則例5當是正整數(shù)時,根據(jù)Laplace變換象原函數(shù)的微分性質(zhì),有由此有注意到,利用常見函數(shù)的Laplace變換結(jié)果,有所以有.由此得到公式2.2象函數(shù)的微分性質(zhì)：證明:對函數(shù)Laplace變換的積分定義公式關(guān)于求導(dǎo),有所以有至于更高階的導(dǎo)數(shù),從前面證明過程可以看出，只要對Laplace變換積分定義公式求更高階導(dǎo)數(shù)即可.3.積分性質(zhì)3.1象原函數(shù)的積分性質(zhì)：證明:令,則有且.對上述微分式子兩端求Laplace變換,并根據(jù)Laplace變換象原函數(shù)的微分性質(zhì),有由此可得則有3.2象函數(shù)的積分性質(zhì)：4．位移性質(zhì)證明:根據(jù)函數(shù)Laplace變換的積分定義公式,有.再次應(yīng)用函數(shù)Laplace變換的積分定義公式,有所以有在實際應(yīng)用中,也經(jīng)常應(yīng)用下面的等價形式以便更容易求函數(shù)的Laplace逆變換.下面是直接應(yīng)用位移性質(zhì)的公式求復(fù)雜函數(shù)Laplace變換的例題,特別需要注意例題展示的具體計算過程.例6已知，根據(jù)位移性質(zhì),有例7求的Laplace逆變換.解根據(jù)位移性質(zhì)、Laplace逆變換的線性性質(zhì)和常見函數(shù)Laplace變換的結(jié)果,有5．延遲性質(zhì)若時函數(shù),則對任意,有這個性質(zhì)主要用于應(yīng)用Laplace變換方法求解差分方程.6．初值定理若存在，則有7．終值定理若在內(nèi)解析，則有例8已知,求解根據(jù)初值定理和終值定理，有例9求函數(shù)的Laplace變換.解根據(jù)Laplace變換的積分性質(zhì)：,有根據(jù)Laplace變換象函數(shù)的微分性質(zhì)：有根據(jù)Laplace變換的位移性質(zhì)：有注意到，所以,繼續(xù)回代，有.所以有作業(yè)安排及課后反思(1)歸納，總結(jié)重要概念和結(jié)論.(2)習題二:1(2,4,6,8),3,4(2,4),6(6,8).本課程使用教材：P80-91第八講課時/課次:教學日期（學年/學期）Laplace逆變換2/122015-16/1教學目標一、了解反演積分的概念;二、掌握Laplace逆變換的留數(shù)公式;三、掌握留數(shù)的計算規(guī)則;四、熟練應(yīng)用留數(shù)方法求函數(shù)Laplace逆變換.教學內(nèi)容知識點：一、反演積分;二、Laplace逆變換的留數(shù)公式;三、留數(shù)計算規(guī)則.重點:應(yīng)用留數(shù)方法求函數(shù)Laplace逆變換.難點:應(yīng)用留數(shù)方法求函數(shù)Laplace逆變換.教學過程及教學方法§2.3Laplace逆變換1.Laplace逆變換在Laplace變換方法的實際應(yīng)用中,幾乎變換和逆變換同時都需要,因此,求Laplace變換象函數(shù)的逆變換和求的Laplace變換有同等重要的作用.與Fourier變換和逆變換不同,函數(shù)的Laplace逆變換沒有簡潔的積分定義公式,而有的只是一個稱為Laplace反演積分實際上,幾乎不會應(yīng)用上述反演積分來求具體函數(shù)的Laplace逆變換.到目前為止,可以求函數(shù)Laplace逆變換的方法有1)常見函數(shù)Laplace變換公式既可以用于求Laplace變換,同時也可以用來求Laplace逆變換;2)由于Laplace變換的象函數(shù)通常都是有理分式函數(shù),當需要求比較復(fù)雜的有理分式函數(shù)的Laplace逆變換時,可以先把復(fù)雜的有理分式函數(shù)化成簡單分式,然后利用常見函數(shù)的Laplace變換公式.除了以上兩種方法以外,還有下面一種常用的方法.2.Laplace逆變換的留數(shù)方法定理若是函數(shù)的所有奇點(適當選取使這些奇點全在的范圍內(nèi)),且當時,,則有3.留數(shù)的計算規(guī)則需要求Laplace逆變換的函數(shù)一般都是有理分式函數(shù),對于有理分式函數(shù),有一個基本結(jié)論:有理分式函數(shù)的奇點就是分式函數(shù)的分母多項式方程的根,也稱為分母多項式的零點;有理分式函數(shù)的奇點都是極點,極點的級數(shù)就是分母多項式方程根的重數(shù).對于極點留數(shù)的計算規(guī)則,根據(jù)復(fù)變函數(shù)的結(jié)論,有若是函數(shù)的級極點,則.4.典型例題例10求函數(shù)的Laplace逆變換.解函數(shù)在復(fù)平面有三個有限奇點：,分別是1級，1級和3級極點.根據(jù)Laplace逆變換的留數(shù)公式，有.根據(jù)留數(shù)計算規(guī)則，有;;.根據(jù)Euler公式，最終有作業(yè)安排及課后反思(1)歸納，總結(jié)重要概念、結(jié)論和方法.(2)習題四:3,5(1,3),7,8.本課程使用教材：P40-50第九講課時/課次:教學日期（學年/學期）Laplace變換函數(shù)卷積2/132015-16/1教學目標一、掌握Laplace變換函數(shù)卷積的計算公式;二、掌握Laplace變換卷積定理及其應(yīng)用;三、理解卷積定理的應(yīng)用情形.教學內(nèi)容知識點：一、函數(shù)卷積公式;二、卷積的計算;三、卷積定理;重點:卷積定理的應(yīng)用.難點:卷積定理的應(yīng)用.教學過程及教學方法§2.4卷積1.卷積公式由于作Laplace變換的函數(shù)滿足條件：當時，,根據(jù)一般函數(shù)卷積的定義，在時,有即由此可知,作Laplace變換變換函數(shù)的卷積不再是無窮限積分.按照上述公式計算的函數(shù)卷積也具有對稱性質(zhì)、線性性質(zhì)及結(jié)合性.2.卷積定理在實際應(yīng)用中,經(jīng)常利用卷積定理求復(fù)雜乘積函數(shù)的Laplace逆變換,這時使用卷積定理的方便形式是：例11求函數(shù)Laplace逆變換.解：根據(jù)Laplace變換的卷積定理，有而所以有根據(jù)卷積定義，有利用三角公式有因此例12證明積分公式證明:根據(jù)Laplace變換的卷積定理及常見函數(shù)的Laplace變換結(jié)果，有即對上式兩端同時作Laplace變換,有對于例10中求函數(shù)的Laplace逆變換,也可以應(yīng)用卷積方法:根據(jù)Laplace變換的卷積定理及常見函數(shù)的Laplace變換結(jié)果，有這里的計算主要集中在積分.求Laplace逆變換的方法比較多,在實際應(yīng)用中,需要分析比較各種方法的特點,才能在具體計算時靈活選取適當?shù)姆椒?作業(yè)安排及課后反思(1)歸納，總結(jié)重要概念、結(jié)論和方法.(2)習題四:3.本課程使用教材：P100-104第十講課時/課次:教學日期（學年/學期）Laplace變換的應(yīng)用2/14,152015-16/1教學目標一、了解應(yīng)用Laplace變換方法求解微積分方程的思路和方法;二、掌握求函數(shù)Laplace變換和逆變換的各種方法;三、能夠綜合應(yīng)用Laplace變換方法解決實際問題.教學內(nèi)容知識點：一、微積分方程;二、方程的Laplace變換;三、代數(shù)方程、代數(shù)方程組.重點:應(yīng)用Laplace變換方法求解微分方程或方程組的定解問題.難點:應(yīng)用Laplace變換方法求解微分方程或方程組的定解問題.教學過程及教學方法§2.5Laplace變換的應(yīng)用1.應(yīng)用Laplace變換方法求解微積分方程的前提條件:需要求解方程中未知函數(shù)的自變量定義域為,還需要有相應(yīng)的初值條件.2.求解基本思路:對方程中的未知函數(shù)關(guān)于定義在的自變量作Laplace變換;根據(jù)Laplace變換的微積分性質(zhì),可以得到未函數(shù)Laplace變換象函數(shù)滿足的代數(shù)方程;然后從代數(shù)方程中求解出象函數(shù);對象函數(shù)作Laplace逆變換,最后求得未知函數(shù).3.微分方程定解問題的Laplace變換解法例13求方程滿足初值條件的解.解:在在方程兩端同時作Laplace變換,記根據(jù)Laplace變換微分性和初始條件,并利用常見函數(shù)的Laplace變換變換結(jié)果,有.由此整理可得.應(yīng)用求函數(shù)Laplace逆變換的留數(shù)方法,有根據(jù)留數(shù)的計算規(guī)則,有