初中數學比賽專題培訓(5)：恒等式的證明.初中數學比賽專題培訓(5)：恒等式的證明.9/9初中數學比賽專題培訓(5)：恒等式的證明.初中數學比賽專題培訓第五講恒等式的證明代數式的恒等變形是初中代數的重要內容，它波及的基礎知識好多，主要有整式、分式與根式的基本見解及運算法例，因式分解的知識與技術技巧等等，所以代數式的恒等變形是學好初中代數必備的基本功之一．本講主要介紹恒等式的證明．第一復習一下基本知識，此后進行例題分析．兩個代數式，假如關于字母在贊成范圍內的全部取值，它們的值都相等，則稱這兩個代數式恒等．把一個代數式變換成另一個與它恒等的代數式叫作代數式的恒等變形．恒等式的證明，就是經過恒等變形證明等號兩邊的代數式相等．證明恒等式，沒有一致的方法，需要依據詳細問題，采納不一樣樣的變形技巧，使證明過程盡量簡捷．一般能夠把恒等式的證明分為兩類：一類是無附帶條件的恒等式證明；另一類是有附帶條件的恒等式的證明．關于后者，同學們要擅長利用附帶條件，使證明簡化．下邊聯合例題介紹恒等式證明中的一些常用方法與技巧．1．由繁到簡和相向趨進恒等式證明最基本的思路是“由繁到簡”((即由等式較繁的一邊向另一邊推導和“相向趨進”馬上等式兩邊同時轉變成同一形式．例1x+y+z=xyzx(1y2(1z2+y(1x2(1z2+z(1x2(1y2=4xyz已知，證明：．分析將左側張開，利用條件x+y+z=xyz，將等式左側化簡成右側．證由于x+y+z=xyz，所以左側=x(1z2y2y2z2+y(1z2x2+x2z2+(1y2x2+x2y2=(x+y+zxz2xy2+xy2z2yz2+yx2+yx2z2zy2zx2+zx2y2=xyzxy(y+xxz(x+zyz(y+z+xyz(xy+yz+zx=xyzxy(xyzzxz(xyzyyz(xyzx+xyz(xy+yz+zx=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右側．說明本例的證明思路就是“由繁到簡”．222例2已知1989x=1991y=1993z，x＞0，y＞0，z＞0，且222證令1989x=1991y=1993z=k(k＞0，則又由于所以所以說明本例的證明思路是“相向趨進”，在證明方法上，經過設參數k，使左右兩邊同時變形為同一形式，進而使等式建立．2．比較法a=b(比商法．這也是證明恒等式的重要思路之一．例3求證：分析用比差法證明左-右=0．本例中，這個式子擁有以下特點：假如拿出它的第一項，把此中的字母輪換，即以b代a，c代b，a代c，則可得出第二項；若對第二項的字母推行上述輪換，則可得出第三項；對第三項的字母推行上述輪換，可得出第一項．擁有這類特點的式子叫作輪換式．利用這類特點，可使輪換式的運算簡化．證由于所以所以說明本例若采納通分化簡的方法將很繁．像這類把一個分式分解成幾個部分分式和的形式，是分式恒等變形中的常用技巧．全不為零．證明：(1+p(1+q(1+r=(1-p(1-q(1-r．同理所以所以(1+p(1+q(1+r=(1-p(1-q(1-r．說明本例采納的是比商法．3．分析法與綜合法依據推理過程的方向不一樣樣，恒等式的證明方法又可分為分析法與綜合法．分析法是從要求證的結論出發，追求在什么狀況下結論是正確的，這樣一步一步逆向推導，追求結論建立的條件，一旦條件建馬上可斷言結論正確，即所謂“執果索因”．而綜合法正好相反，它是“由因導果”，即從已知條件出發順向推理，獲得所求結論．2222證要證a+b+c=(a+b-c，只需證222222a+b+c=a+b+c+2ab-2ac-2bc，只需證ab=ac+bc，只需證c(a+b=ab，只需證這最后的等式正好是題設，而以上推理每一步都可逆，故所求證的等式建立．說明本題采納的方法是典型的分析法．4444例6已知a+b+c+d=4abcd，且a，b，c，d都是正數，求證：a=b=c=d．證由已知可得4444a+b+c+d-4abcd=0，(a2222222222-b+(c-d+2ab+2cd-4abcd=0，所以(a222222+2(ab-cd2-b+(c-d=0．222由于(a-b≥0，(c2-d22≥0，(ab-cd2≥0，所以2222a-b=c-d=ab-cd=0，所以(a+b(a-b=(c+d(c-d＝0．又由于a，b，c，d都為正數，所以a+b≠0，c+d≠0，所以a＝b，c=d．所以22，ab-cd=a-c=(a+c(a-c=0所以a＝c．故a=b＝c=d建立．說明本題采納的方法是綜合法．4．其余證明方法與技巧求證：8a+9b+5c=0．a+b=k(a-b，b+c=2k(b-c，(c+a=3k(c-a．所以6(a+b=6k(a-b，3(b+c=6k(b-c，2(c+a=6k(c-a．以上三式相加，得6(a+b+3(b+c+2(c+a=6k(a-b+b-c+c-a，即8a+9b+5c=0．說明本題證明頂用到了“遇連比設為k”的設參數法，前面的例2用的也是近似方法．這類設參數法也是恒等式證明中的常用技巧．例8已知a+b+c=0，求證44422222(a+b+c＝(a+b+c．分析與證明用比差法，注意利用a+b+c=0的條件．4442222左-右=2(a+b+c-(a+b+c=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a2-b2-c22-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc(a2-b2-c2-2bc=[a2-(b-c2][a2-(b+c2]=(a-b+c(a+b-c(a-b-c(a+b+c=0．所以等式建立．說明本題證明過程中主假如進行因式分解．分析本題的兩個已知條件中，包括字母a，x，y和z，而在求證的結論中，卻只包括a，x和z，所以可以從消去y著手，獲得以下證法．證由已知說明本題利用的是“消元”法，它是證明條件等式的常用方法．例證明：(y+z-2x3+(z+x-2y3+(x+y-2z3=3(y+z-2x(z+x-2y(x+y-2z．分析與證明本題看起來很復雜，但認真察看，能夠使用換元法．令y+z-2x=a，①z+x-2y=b，②x+y-2z=c，③則要證的等式變成a3+b3+c3=3abc．聯想到乘法公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c(a2+b2+c2-ab-bc-ca，所以將①，②，③相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以a3+b3+c3-3abc=0，所以(y+z-2x3+(z+x-2y3+(x+y-2z3=3(y+z-2x(z+x-2y(x+y-2z．說明由本例能夠看出，換元法也能夠在恒等式證明中發揮效勞．例設x，y，z為互不相等的非零實數，且求證：x2y2z2=1．分析本題x，y，z擁有輪換對稱的特點，我們不如先看二元的所以x2y2=1．三元與二元的構造近似．證由已知有①×②×③得x2y2z2=1．說明這類欲進先退的解題策略常常用于研究解決問題的思路中．總之，從上邊的例題中能夠看出，恒等式證明的重點是代數式的變形技術．同學們要在明確變形目的的基礎上，深刻意會例題中的常用變形技術與方法，這對此后的數學學習特別重要．練習五21．已知(c-a-4(a-b(b-c=0，求證：2b=a+c．2．證明：33(x+y