1、專題14 導數的概念與運算 【考點預測】知識點一：導數的概念和幾何性質1.概念 函數在處瞬時變化率是，我們稱它為函數在處的導數,記作或知識點詮釋： 增量可以是正數，也可以是負，但是不可以等于0的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數； 當時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數，即存在一個常數與無限接近； 導數的本質就是函數的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即2.幾何意義 函數在處的導數的幾何意義即為函數在點處的切線的斜率3.物理意義 函數在點處的導數是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導數是物體在時刻的瞬時加速

2、度，即知識點二：導數的運算1.求導的基本公式基本初等函數導函數（為常數）2.導數的四則運算法則（1）函數和差求導法則：；（2）函數積的求導法則：；（3）函數商的求導法則：，則3.復合函數求導數復合函數的導數和函數，的導數間關系為 ：【方法技巧與總結】1.在點的切線方程切線方程的計算：函數在點處的切線方程為，抓住關鍵2.過點的切線方程設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外【題型歸納目錄】題型一：導數的定義題型二：求函數的導數題型三：導數的幾何意義1.在點P處切線2.過點P的切

3、線3.公切線4.已知切線求參數問題5.切線的條數問題6.切線平行、垂直、重合問題7.最值問題【典例例題】題型一：導數的定義例1（2022全國高三專題練習（文）函數的圖像如圖所示，下列不等關系正確的是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根據導數的幾何意義和函數平均變化率的定義，結合圖象，即可求解.【詳解】如圖所示，根據導數的幾何意義，可得表示切線斜率，表示切線斜率，又由平均變化率的定義，可得，表示割線的斜率，結合圖象，可得，即.故選：C.例2（2022河南南陽中學高三階段練習（理）設函數滿足，則（）AB1CD2【答案】A【解析】【分析】利用函數的導數的定義求解.【詳解】解：因為，所以，故選：A

4、例3（2022新疆昌吉二模（理）若存在，則稱為二元函數在點處對的偏導數，記為；若存在，則稱為二元函數在點處對的偏導數，記為，已知二元函數，則下列選項中錯誤的是（）ABC的最小值為D的最小值為【答案】B【解析】【分析】根據條件求出、，然后可逐一判斷ABC，然后利用導數求出右邊的最小值即可.【詳解】因為（，），所以，則，又，所以，因為，所以當時，取得最小值，且最小值為，令（），當時，當時，故，從而當時，取得最小值，且最小值為.故選：B.例4（2022貴州黔東南一模（文）一個質點作直線運動，其位移s（單位：米）與時間t（單位：秒）滿足關系式，則當時，該質點的瞬時速度為（）A米/秒B3米/秒C4米/秒

5、D5米/秒【答案】B【解析】【分析】先求出導數，再代入計算即可.【詳解】，當時，故當時，該質點的瞬時速度為3米/秒.故選：B.例5（2022全國高三專題練習）已知函數，則的值為（）ABC10D20【答案】D【解析】【分析】根據導數的定義可得，再用求導公式可得，代入即可得解.【詳解】因為，所以，所以.故選：D例6（2022浙江高三專題練習）已知函數（是的導函數），則（）ABCD【答案】D【解析】【分析】對函數進行求導，求出，再令代入解析式，即可得到答案；【詳解】，故選：D.例7（2022浙江高三專題練習）已知函數的導函數為，且滿足，則（）A1BCD4【答案】C【解析】【分析】先對進行求導，然后把

6、代入，可列出關于的等式，即可解出，從而得出的解析式，即可求出.【詳解】解：因為，所以，把代入，得，解得：，所以，所以.故選：C.【方法技巧與總結】對所給函數式經過添項、拆項等恒等變形與導數定義結構相同，然后根據導數定義直接寫出.題型二：求函數的導數例8（2022天津耀華中學高二期中）求下列各函數的導數：(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】根據導數求導法則及基本初等函數的導數求解即可.(1)，.(2)，.(3)，.例9（2022新疆莎車縣第一中學高二期中（理）求下列函數的導數：(1)；(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】利用導數四則運算法則和復合函數

7、求導法則計算即可得到結果.(1)(2)(3)例10（2022廣東北京師范大學珠海分校附屬外國語學校高二期中）求下列函數的導數：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】利用導數公式和運算法則求解.(1)因為，所以；(2)因為，所以；(3)因為，所以；(4)因為所以【方法技巧與總結】對所給函數求導，其方法是利用和、差、積、商及復合函數求導法則，直接轉化為基本函數求導問題.題型三：導數的幾何意義1.在點P處切線例11（2022河北模擬預測）曲線在處的切線斜率為（）A0B1C2D【答案】B【解析】【分析】即求曲線在(0,f(0)處的導數.【詳解】，.故選：B.例1

8、2（2022安徽巢湖市第一中學模擬預測（文）曲線在點處的切線方程為，則的值為（）ABCD1【答案】A【解析】【分析】依據題意列出關于的方程組，即可求得的值【詳解】由切點在曲線上，得；由切點在切線上，得；對曲線求導得，即，聯立，解之得故選：A.例13（2022海南文昌中學高三階段練習）曲線在處的切線的傾斜角為，則（）A-BC1D-1【答案】A【解析】【分析】利用導數的幾何意義求得切線的斜率，求得其傾斜角，即可求解.【詳解】由題意，函數，可得，則，即曲線在處的切線的斜率為，即，因為，所以，所以.故選：A.例14（2022安徽巢湖市第一中學高三期中（理）已知，則曲線在點處的切線的斜率為（）ABCD【

9、答案】D【解析】【分析】根據導數的幾何意義，寫出切線方程的公式，直接計算求解即可【詳解】對，求導可得，得到，所以，所以，故選D例15（2022全國高三專題練習（文）已知函數是定義在R上的奇函數，且，則函數的圖象在點處的切線的斜率為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】求導數得出，結合奇函數定義得函數解析式，然后計算即可【詳解】是奇函數，恒成立，所以，所以，即，故選：A例16（2022廣西廣西模擬預測（理）曲線在點處的切線方程為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】利用導數的幾何意義得到切線的斜率，利用點斜式求出切線方程.【詳解】，所以，又當時， 所以在點處的切線方程為：，即.故選：A.例17（

10、2022河南省浚縣第一中學模擬預測（理）曲線在處的切線方程為（）A4xy+80B4x+y+80C3xy+60D3x+y+60【答案】B【解析】【分析】將代入曲線方程求得切點坐標，利用導數的幾何意義求解切線斜率，利用直線方程點斜式求解即可.【詳解】解：因為，所以，所以又當時，故切點坐標為，所以切線方程為故選：B.2.過點P的切線例18（2022四川廣安二中二模（文）函數過點的切線方程為（）ABC或D或【答案】C【解析】【分析】設切點，利用導數的幾何意義求該切點上的切線方程，再由切線過代入求參數m，即可得切線方程.【詳解】由題設，若切點為，則，所以切線方程為，又切線過，則，可得或，當時，切線為；當

11、時，切線為，整理得.故選：C例19（2022四川省成都市郫都區第一中學高三階段練習（文）若過點的直線與函數的圖象相切，則所有可能的切點橫坐標之和為（）ABCD【答案】D【解析】【分析】由已知，設出切點，寫出切線方程，然后把點代入方程，解出切點坐標即可完成求解.【詳解】因為函數，所以，設切點為，則切線方程為：，將點代入得，即，解得或，所以切點橫坐標之和為故選：D.例20（2022陜西安康高三期末（文）曲線過點的切線方程是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】設出切點，結合導數列方程，由此求出切點坐標并求出切線的斜率，進而可得切線方程.【詳解】由題意可得點不在曲線上，設切點為，因為，所以所求切線的

12、斜率，所以.因為點是切點，所以，所以，即.設，明顯在上單調遞增，且，所以有唯一解，則所求切線的斜率，故所求切線方程為.故選：B.例21（2022廣東茂名二模）過坐標原點作曲線的切線，則切點的縱坐標為（）AeB1CD【答案】B【解析】【分析】設出切點，利用導數得到切線的斜率，寫出切線方程，將原點坐標代入切線方程，解出即可.【詳解】解：設切點，由，得，所以，曲線在點處的切線方程為，又過（0，0），解得，切點，縱坐標為1故選：B例22（2022山東濰坊三模）過點有條直線與函數的圖像相切，當取最大值時，的取值范圍為（）ABCD【答案】B【解析】【分析】求導分析的圖象可得，再設切點坐標為，由題可得有三根

13、，再構造函數求導分析圖象單調性與最值即可【詳解】由，故當時，單調遞減，且；當時，單調遞增，結合圖象易得，過點至多有3條直線與函數的圖像相切，故.此時，設切點坐標為，則切線斜率，所以切線方程為，將代入得，存在三條切線即函數有三個不同的根，又，易得在上，單調遞增；在和上，單調遞減，畫出圖象可得當，即時符合題意故選：B【點睛】本題主要考查了利用導數解決切線的問題，同時也考查了構造函數，求導分析單調性，進而確定根的個數與參數取值范圍的問題，屬于難題3.公切線例23（2022全國高三專題練習）若函數與函數有公切線，則實數的取值范圍是（）ABC D【答案】B【解析】【分析】分別求出導數，設出各自曲線上的切

14、點，得出兩個切線方程，由兩個切線方程可整理成關于一個變量的函數，利用導數求出函數的取值范圍即可求解.【詳解】設公切線與函數切于點，切線的斜率為，則切線方程為，即設公切線與函數切于點，切線的斜率為，則切線方程為，即所以有因為，所以，可得，即，由可得：，所以，令，則，設，則，所以在上為減函數，則，所以，所以實數的取值范圍是，故選：B【點睛】方法點睛：求曲線過點的切線的方程的一般步驟是：（1）設切點（2）求出在處的導數，即在點處的切線斜率；（3）構建關系解得；（4）由點斜式求得切線方程.例24（2022全國高三專題練習）已知曲線和曲線，若存在斜率為1的直線與，同時相切，則b的取值范圍是（）ABCD【

15、答案】D【解析】【分析】分別求出兩函數的導函數，再分別設直線與兩曲線的切點的橫坐標，由于斜率為1即導數值為1分別求出切點橫坐標，可得切線方程，再根據切線方程系數相等得與的關系式，再根據二次函數性質可求出b的取值范圍【詳解】，設斜率為的切線在，上的切點橫坐標分別為，由題知，兩點處的切線方程分別為和，故，即.故選：D.例25（2022江蘇南京外國語學校模擬預測）若兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線，則正實數a的取值范圍為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】分別求出導數，設出切點，得到切線方程，再由兩點的斜率公式，結合切點滿足曲線方程，運用導數求的單調區間、極值、最值即可得出a的取值范

16、圍.【詳解】設切線：，即切線：，即，令在上單調遞增，在上單調遞減，所以故選：A例26（2022河南南陽中學高三階段練習（理）若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為（）AB1CeD【答案】B【解析】【分析】設出切點，求出，根據斜率列出方程，得到，構造，利用函數單調性和圖象特征，求出，從而求出答案.【詳解】設直線與曲線相切于點，直線與曲線相切于點，則，且，所以，且，所以，令，當時，單調遞減，當時，單調遞增，且，所以當時，因為，即，所以，所以，故故選：B【點睛】對于不知道切點的切線方程問題，要設出切點，再根據斜率列出方程，進行求解.例27（2022河北省唐縣第一中學高三階段練習）已知函數，若直線

17、與函數，的圖象都相切，則的最小值為（）A2BCD【答案】B【解析】【分析】利用導數的幾何意義分別得到、，再運用基本不等式即可求解.【詳解】設直線與函數，的圖象相切的切點分別為，.由，有，解得，.又由，有，解得，可得，當且僅當，時取“=”.故選：B例28（2022重慶市育才中學高三階段練習）若直線（）為曲線與曲線的公切線，則l的縱截距（）A0B1CeD【答案】D【解析】【分析】設切點分別為，分別求出切線方程，再令切線方程相等；【詳解】設l與的切點為，則由，有.同理，設l與的切點為，由，有.故 解得 或 則或.因，所以l為時不成立.故，故選：D.例29（2022全國高三專題練習）若兩曲線與存在公切

18、線，則正實數的取值范圍是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】設公切線與曲線的切點為，利用導數的幾何意義分別求和上的切線方程，由所得切線方程的相關系數相等列方程求參數關系，進而構造函數并利用導數研究單調性求參數范圍.【詳解】設公切線與曲線和的交點分別為，其中，對于有，則上的切線方程為，即，對于有，則上的切線方程為，即，所以，有，即，令，令，得，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，故，即.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：應用導數幾何意義求兩條曲線的含參切線方程，由公切線對應系數相等得到相關參數方程，進而構造函數研究單調性求參數范圍.例30（2022全國高三專題練習）若僅存在一條直線與函數（）和的

19、圖象均相切，則實數（）ABCD【答案】C【解析】【分析】分別求出函數上切點處的切線方程和上切點處的切線方程，消去，得，該問題轉化為有唯一的值時，求值，即可通過導數研究函數的單調性即可得到答案.【詳解】設直線與的切點為，由可知，該直線的斜率為，即該直線的方程為，即為，設直線與的切點為，由可知，該直線的斜率為，即該直線的方程為，即為，僅存在一條直線與函數（）和的圖象均相切， ，即，令，則，當時，即，當時，即，即在上單調遞增，在上單調遞減，則在處取得最大值，圖像為切線只有一條，即的值唯一，只有，故選：.4.已知切線求參數問題例31（2022湖南模擬預測）已知P是曲線上的一動點，曲線C在P點處的切線的

20、傾斜角為，若，則實數a的取值范圍是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】對函數求導，利用導數的幾何意義以及給定傾斜角的范圍，轉化為恒成立問題求解a的范圍即可.【詳解】因為，所以，因為曲線在M處的切線的傾斜角，所以對于任意的恒成立，即對任意恒成立，即，又，當且僅當，即時，等號成立，故，所以a的取值范圍是故選：D例32（2022廣西貴港市高級中學三模（理）已知曲線在點處的切線方程為，則（）A，B，C，D，【答案】C【解析】【分析】求出函數的導函數，依題意可得，即可求出，再將切點代入切線方程，即可求出；【詳解】解：，將代入得，故選：C例33（2022江蘇蘇州模擬預測）已知奇函數在點處的切線方程為，則

21、（）A或1B或C或2D或【答案】D【解析】【分析】由函數為奇函數可得，根據切線的斜率為0建立方程求出即可得解.【詳解】由可得，因為，所以，解得.所以，故切線斜率，又，所以，解得或，所以或.故選：D例34（2022云南昆明模擬預測（文）若函數的圖象在處的切線方程為，則（）A，B，C，D，【答案】A【解析】【分析】利用導數的幾何意義可求出結果.【詳解】的定義域為，由題意可得，即，解得，故選：A例35（2022河南方城第一高級中學模擬預測（理）已知直線l的斜率為2，l與曲線：和圓：均相切，則（）A4B1C1D4【答案】D【解析】【分析】設曲線的切點，利用曲線的幾何意義可得切點坐標，進而求得切線方程，

22、再利用圓心到直線的距離等于半徑即可求得值.【詳解】設直線l：與曲線相切，切點為，因為的導數為，由，解得，所以切點為，代入得，所以切線方程為.將化為標準方程為，因為l與圓相切，所以，解得.故選：D5.切線的條數問題例36（2022全國高三專題練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（）ABCD【答案】D【解析】【分析】設切點坐標為，由切點坐標求出切線方程，代入坐標，關于的方程有兩個不同的實數解，變形后轉化為直線與函數圖象有兩個交點，構造新函數由導數確定函數的圖象后可得.【詳解】設切點坐標為，由于，因此切線方程為，又切線過點，則，設，函數定義域是，則直線與曲線有兩個不同的交點，當時，恒成立，在定義域內

23、單調遞增，不合題意；當時，時，單調遞減，時，單調遞增，所以，結合圖像知，即.故選：D.例37（2022河南洛陽三模（理）若過點可作出曲線的三條切線，則實數的取值范圍是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】由已知，設出切點，然后寫出切線方程，把點P帶入切線方程中，然后對式子進行整理，分別設出兩個函數，與，借助導數研究函數的單調性和極值，然后作圖，看兩個函數圖象的交點情況即可完成求解.【詳解】由已知，曲線，即令，則，設切點為，切線方程的斜率為，所以切線方程為：，將點代入方程得：，整理得，設函數，過點可作出曲線的三條切線，可知兩個函數圖像與有三個不同的交點，又因為，由，可得或，所以函數在，上單調遞減

24、，在上單調遞增，所以函數的極大值為，函數的極小值為，如圖所示，當時，兩個函數圖像有三個不同的交點.故選：C.例38（2022河南洛陽三模（文）若過點作曲線的切線，則這樣的切線共有（）A0條B1條C2條D3條【答案】C【解析】【分析】設切點為，求出函數的導函數，即可求出切線方程，再根據點在切線上，即可代入切線方程，解得，即可得解；【詳解】解：設切點為，由，所以，所以，所以切線方程為，即，因為切線過點，所以，解得或，所以過點作曲線的切線可以作2條，故選：C例39（2022河北高三階段練習）若過點可以作三條直線與曲線相切，則m的取值范圍為（）ABCD【答案】D【解析】【分析】本題為過點的切線，切點為

25、，可得切線方程，代入點P坐標整理為，即與有三個交點【詳解】由，則，設切點為，則切線斜率則在點的切線方程為，代入點P坐標得整理為，即這個方程有三個不等式實根，令，則 ，令則函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，故得，即，故選：D例40（2022內蒙古呼和浩特二模（理）若過點可以作三條直線與曲線C：相切，則m的取值范圍是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】求出導函數,利用導數的幾何意義列出方程，即可求解.【詳解】設切點為,過點P的切線方程為,代入點P坐標，化簡為，即這個方程有三個不等根即可.令,求導得：.令，解得：，所以在上遞增；令，解得：或，所以在和上遞增.要使方程有三個不等根即可.只

26、需,即.故選：D例41（2022廣東深圳二模）已知，若過點可以作曲線的三條切線，則（）ABCD【答案】B【解析】【分析】設切點為，切線方程為，求出函數的導函數，即可得到，整理得，令，利用導數說明函數的單調性，即可求出函數的極值，依題意有三個零點，即可得到不等式組，從而得解；【詳解】解：設切點為，切線方程為，由，所以，所以，則，所以，令，則，因為，所以當或時，當時，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，所以當時取得極大值，當時取得極小值，即，依題意有三個零點，所以且，即；故選：B6.切線平行、垂直、重合問題例42（2022安徽合肥一中模擬預測（文）對于三次函數，若曲線在點處的切線與曲線在點處點的切線

27、重合，則（）ABCD【答案】B【解析】【分析】由得，然后求得，由求得，設，由得及，再由得，解得后可得【詳解】設，設，則，即又，即由可得，.故選：B.例43（2022山西太原二模（理）已知函數圖象上存在兩條互相垂直的切線，且，則的最大值為（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根據已知條件用換元法令，利用導數及三角函數的差的正弦公式即可得出導函數的范圍，根據已知條件得出，再利用輔助角公式及三角函數的性質即可求解.【詳解】由，令，由，得，所以由題意可知，存在，使得，只需要，即，所以，所以的最大值為.故選: D.【點睛】解決此題的關鍵是用換元思想，再利用存在兩條互想垂直的直線進而得出，再利用三角函數的

28、性質即可求解.例44（2022全國高三專題練習）已知函數f(x)x22x的圖象在點A(x1，f(x1)與點B(x2，f(x2)(x1x20)處的切線互相垂直，則x2x1的最小值為（）AB1CD2【答案】B【解析】【分析】求出導函數，由切線垂直斜率乘積為得的關系，計算，用基本不等式求最小值得結論【詳解】因為x1x20，f(x)x22x，所以f(x)2x2，所以函數f(x)在點A，B處的切線的斜率分別為f(x1)，f(x2)，因為函數f(x)的圖象在點A，B處的切線互相垂直，所以f(x1)f(x2)1所以(2x12)(2x22)1，所以2x120，2x220，所以x2x1 (2x12)(2x22)

29、1，當且僅當(2x12)2x221，即x1，x2時等號成立所以x2x1的最小值為1故選：B例45（2022全國高三專題練習）若直線與兩曲線分別交于兩點，且曲線在點處的切線為，曲線在點處的切線為，則下列結論：，使得；當時，取得最小值；的最小值為2；最小值小于其中正確的個數是（）A1B2C3D4【答案】C【解析】【分析】先利用導數求得兩條切線方程，令,可知，故存在零點，正確；，通過求導討論單調性可知有最小值，進而可以判斷最小值范圍，可以判斷正確，錯誤，正確.【詳解】解：由直線與兩曲線分別交于兩點可知：曲線上點坐標，可求導數，則切線斜率，可知切線：.曲線上點坐標，可求導數，則切線斜率.令，則，令，由

30、零點存在定理，使，即，使，即，故正確.，令，由同理可知有，使，令，在處取最小值，即當時，取得最小值，故正確.是對勾函數，在上是減函數，故錯誤，正確.故選：C例46（2022全國高三專題練習）已知函數的圖象上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線重合，則實數的取值范圍是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】先根據導數的幾何意義寫出函數在點、處的切線方程，再利用兩直線重合的充要條件：斜率相等且縱截距相等，列出關系式，從而得出，判斷單調性，可得出的取值范圍【詳解】解：當時，的導數為；當時，的導數為，設，為該函數圖象上的兩點，且，當，或時，故，當時，函數在點，處的切線方程為：；當時，函數在點，處的切

31、線方程為兩直線重合的充要條件是，由及得，由令，則，且，記導數為，且在恒成立，則函數在為減函數，實數的取值范圍是故選：B例47（2022全國高三專題練習（文）若曲線的一條切線與直線垂直，則切線的方程為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根據導數的幾何意義求出切線的斜率，再根據直線垂直得出切線的斜率，解方程即可得切點坐標，求出切線方程.【詳解】，設切點坐標為，則切線的斜率，解得，所以，故切線的方程為，即故選：A7.最值問題例48（2022全國高三專題練習）若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的距離的最小值為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】求出平行于直線且與曲線相切的切點坐標，再利用點到直線

32、的距離公式，即可求解.【詳解】設平行于直線且與曲線相切的切線對應切點為，由，則，令，解得或（舍去），故點P的坐標為，故點P到直線的最小值為：.故選：A.例49（2022山東省淄博第一中學高三開學考試）動直線分別與直線，曲線相交于兩點，則的最小值為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】當點處的切線和直線平行時，的值最小，結合導數和解析式求得點，再由點到直線距離公式即可求解.【詳解】設點是直線上任意一點點是曲線上任意一點，當點處的切線和直線平行時，這兩條平行線間的距離的值最小因為直線的斜率等于，曲線的導數，令，可得或(舍去)，故此時點的坐標為，故選：A.例50（2022江蘇高三專題練習）已知，為正

33、實數，直線與曲線相切，則的取值范圍是（）ABCD，【答案】C【解析】【分析】利用導數求切點坐標，再由切點在直線上可得，結合目標式有，構造并研究單調性，進而求值域即可.【詳解】函數的導數為，則，切點為，代入，得，、為正實數，即，令且，則，即為增函數，故選：C例51.（2022全國高三專題練習）曲線上的點到直線的最短距離是（）ABCD1【答案】A【解析】【分析】由題意可知曲線上的點到直線的最短距離即與平行的切線的切點到直線的距離，因此根據導數的幾何意義先求出切點即可求出結果.【詳解】，所以，設曲線在處的切線與直線平行，則，所以，切點，曲線上的點到直線的最短距離即為切點P到直線的距離，故選：A例52

34、（2022河北衡水高三階段練習）已知函數在處的切線為l，第一象限內的點在切線l上，則的最小值為（）ABCD【答案】C【解析】【分析】求出x=1處的導數值，根據點斜式直線方程寫出l的方程，從而得出a，b之間的關系，運用基本不等式即可求解.【詳解】函數， ， ，由點斜式直線方程得：切線l的方程為， ，由于點P在直線l上，則且，即，則 ，當且僅當，即時取等號；故選：C.例53（2022山東聊城二模）實數，滿足：，則的最小值為（）A0BCD8【答案】D【解析】【分析】由題設，將問題轉化為求上的點與上的點的距離的平方的最小值，利用導數的幾何意義求上與平行的切線方程，應用點線距離公式求目標式的最值即可.【

35、詳解】由，則，又，的最小值轉化為：上的點與上的點的距離的平方的最小值，由，得：，與平行的直線的斜率為1，解得或（舍，可得切點為，切點到直線之間的距離的平方，即為的最小值，的最小值為：.故選：D.例54（2022河南許昌高中高三開學考試（理）已知函數的圖象與函數的圖象關于某一條直線l對稱，若P，Q分別為它們圖象上的兩個動點，則這兩點之間距離的最小值為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由于為函數圖象上任意一點，關于直線的對稱點為在的圖象上，所以函數的圖象與的圖象關于直線對稱，從而將問題轉化為這兩點之間距離的最小值等于P到直線距離最小值的2倍，然后利用導求出與直線平行，且與曲線相切的直線，從而可

36、求得答案【詳解】設為函數圖象上任意一點，則，關于直線的對稱點為，設，則，所以，所以，即函數的圖象與的圖象關于直線對稱，所以這兩點之間距離的最小值等于P到直線距離最小值的2倍.函數在點處的切線斜率為，令得,，所以點P到直線距離的最小值為，所以這兩點之間距離的最小值為.故選：A【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數的幾何意義的應用，考查函數圖象的對稱問題，考查數學轉化思想和計算能力，解題的關鍵是得到函數的圖象與的圖象關于直線對稱，從而將問題轉化為這兩點之間距離的最小值等于P到直線距離最小值的2倍，屬于較難題例55（2022河南靈寶市第一高級中學模擬預測（文）已知直線是曲線的切線，則的最小值為（）AB0C

37、D3【答案】A【解析】【分析】對曲線求導，求出其在處的切線方程，從而得到了切線中的關系，然后將所求進行構造，與已知條件建立聯系，再用均值不等式求解最小值即可.【詳解】設直線與曲線相切于點，當時，直線不是曲線的切線，故，由得，所以切線方程為，即，所以，所以，所以，當且僅當即時，等號成立，所以的最小值為.故選：A【方法技巧與總結】函數在點處的導數，就是曲線在點處的切線的斜率.這里要注意曲線在某點處的切線與曲線經過某點的切線的區別.（1）已知在點處的切線方程為.（2）若求曲線過點的切線方程，應先設切點坐標為，由過點，求得的值，從而求得切線方程.另外，要注意切點既在曲線上又在切線上.【過關測試】一、單

38、選題1（2022河南高三階段練習（理）若曲線在點（1，f（1）處的切線方程為，則a（）A1BC2De【答案】A【解析】【分析】利用導數的幾何意義求解.【詳解】解：因為曲線，所以，又因為曲線在點（1，f（1）處的切線方程為，所以，故選：A2（2022云南曲靖二模（文）設是函數的導函數，是函數的導函數，若對任意恒成立，則下列選項正確的是（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根據導函數與函數的單調性及導數的幾何意義判斷即可；【詳解】解：因為對任意，恒成立，所以在上單調遞增，且在上單調遞減，即的圖象增長得越來越慢，從圖象上來看函數是上凸遞增的，所以，又，表示點與點的連線的斜率，由圖可知即，故選：A3（

39、2022全國高三專題練習）設為可導函數，且，則曲線在點處的切線斜率為（）A2B-1C1D【答案】D【解析】【分析】利用導數的定義及幾何意義進行求解.【詳解】由導數的幾何意義，點處的切線斜率為，因為時，所以，所以在點處的切線斜率為，故選：D.4（2022河南模擬預測（文）已知，則曲線在點處的切線方程為()ABCD【答案】A【解析】【分析】求f(x)的導數和在x=3時的導數值，結合導數的幾何意義和直線的點斜式方程即可求切線方程【詳解】，y=f(x)在處的切線方程為：，即故選：A5（2022貴州黔東南一模（理）一個質點作直線運動，其位移s（單位：米）與時間t（單位：秒）滿足關系式，則當時，該質點的瞬

40、時速度為（）A5米/秒B8米/秒C14米/秒D16米/秒【答案】C【解析】【分析】求導得到，即得解.【詳解】解：由題得，當時，故當時，該質點的瞬時速度為14米/秒故選：C6（2022全國高三專題練習）已知函數，若經過點存在一條直線與圖象和圖象都相切，則（）A0BC3D或3【答案】D【解析】【分析】先求得在處的切線方程，然后與聯立，由求解.【詳解】因為，所以，則，所以所以函數在處的切線方程為，由得，由，解得或，故選：D7（2022湖南長郡中學高三階段練習）若不等式對任意，恒成立，則實數m的取值范圍是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】將問題轉化為直線與曲線上的點的距離最小值，利用導數的幾何意義

41、求上斜率為1的切線上切點坐標，再應用點線距離公式求最小距離，即可得m的范圍.【詳解】設，則T的幾何意義是直線上的點與曲線上的點的距離，將直線平移到與面線相切時，切點Q到直線的距離最小而，令，則，可得，此時，Q到直線的距離，故，所以故選：B【點睛】關鍵點點睛：將題設不等式關系轉化為求直線與曲線上點的最小距離且，結合導數的幾何意義、點線距離公式求m的范圍.8（2022遼寧沈陽二模）若直線與直線是曲線的兩條切線，也是曲線的兩條切線，則的值為（）AB0C-1D【答案】C【解析】【分析】利用和互為反函數推得兩條公切線和也互為反函數，結合導數的幾何意義表示出，進而化簡可得，代入化簡可得答案.【詳解】由和互

42、為反函數可知，兩條公切線和也互為反函數，即滿足，即，設直線與和分別切于點和，可得切線方程為和，整理得：和，則，由，得，且，則，所以，所以,故選：C【點睛】本題考查了反函數的相關知識以及導數的幾何意義的應用，解答時要注意利用導數的幾何意義寫出切線方程并進行系數的比較，從而得出參數之間的關系式.二、多選題9（2022遼寧丹東模擬預測）若過點可以作出曲線的切線l，且l最多有n條，則（）AB當時，a值唯一C當時，Dna的值可以取到4【答案】ABD【解析】【分析】設切線的切點為，得到，令，畫出函數的圖象分析得解.【詳解】解：由題得，設切線的切點為，所以切線的斜率，所以切線方程為，因為，所以，化簡得，令，

43、所以，令令或，所以函數在單調遞增，在，單調遞減，當時，當時，函數的圖象如圖所示，過點可以作出曲線的切線l，所以,所以選項A正確；當時，與圖象有兩個交點，取值唯一，所以選項B正確；當時，或，所以選項C不正確；由于時，所以的值可以取到4，所以選項D正確.故選：ABD10（2022浙江高三專題練習）為滿足人們對美好生活的向往，環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業要限期整改設企業的污水排放量與時間的關系為，用的大小評價在這段時間內企業污水治理能力的強弱已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如圖所示，則下列結論中正確的有（）A在這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強B在時刻

44、，甲企業的污水治理能力比乙企業強C在時刻，甲、乙兩企業的污水排放都已達標D甲企業在，這三段時間中，在的污水治理能力最強【答案】ABC【解析】【分析】結合甲乙企業污水排放量與時間關系圖象，利用曲線在區間的變化率判斷企業的治污能力，進而判斷各選項的正誤即可【詳解】由題圖可知甲企業的污水排放量在時刻高于乙企業，而在時刻甲、乙兩企業的污水排放量相同，故在這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強，故A正確；由題圖知在時刻，甲企業在該點的切線斜率的絕對值大于乙企業的，故B正確；在時刻，甲、乙兩企業的污水排放量都低于污水達標排放量，故都已達標，故C正確；由題意可知，甲企業在，這三段時間中，在時的污水治理能

45、力明顯低于時的，故D錯誤故選：ABC11（2022全國高三專題練習）已知函數，則下列結論正確的是（）A曲線的切線斜率可以是1B曲線的切線斜率可以是C過點且與曲線相切的直線有且只有1條D過點且與曲線相切的直線有且只有2條【答案】AC【解析】【分析】由函數，求導得到，再逐項判斷.【詳解】因為函數，所以 A.令，得 ，所以曲線的切線斜率可以是1，故正確；B.令無解，所以曲線的切線斜率不可以是，故錯誤； C. 因為在曲線上，所以點是切點，則，所以切線方程為，即，所以過點且與曲線相切的直線有且只有1條，故正確；D.設切點，則切線方程為，因為點在切線上，所以，解得，所以過點且與曲線相切的直線有且只有1條，

46、故錯誤；故選：AC12（2022全國高三專題練習）過平面內一點作曲線兩條互相垂直的切線，切點為（不重合），設直線分別與軸交于點，則下列結論正確的是（）A兩點的橫坐標之積為定值B直線的斜率為定值；C線段的長度為定值D三角形面積的取值范圍為【答案】ABC【解析】【分析】A.由條件可知兩條直線的斜率存在時，斜率之積為-1，討論的位置，即可判斷；B.由兩點的坐標，表示直線的斜率，即可判斷；C.分別求切線方程，并表示點的坐標，即可求線段的長度；D.根據切線方程，求交點的橫坐標，因為為定值，即轉化為求點的橫坐標的取值范圍.【詳解】因為，所以，當時，；當時，不妨設點，的橫坐標分別為，且，若時，直線，的斜率分

47、別為，此時，不合題意；若時，則直線，的斜率分別為，此時，不合題意.所以或，則，由題意可得，可得，若，則；若，則，不合題意，所以，選項A對；對于選項B，易知點，所以，直線的斜率為，選項B對；對于選項C，直線的方程為，令可得，即點，直線的方程為，令可得，即點，所以，選項C對；對于選項D，聯立可得，令，其中，則，所以，函數在上單調遞增，則當時，所以，選項D錯.故選：ABC.三、填空題13（2022山東肥城市教學研究中心模擬預測）已知函數則曲線在點處的切線方程為_.【答案】【解析】【分析】利用導數的幾何意義可求切線的斜率，將代入函數可求切點坐標，利用直線方程點斜式求解即可.【詳解】解：因為，又，切線方

48、程為：，即；故答案為：.14（2022全國模擬預測（文）若直線與曲線和都相切，則的斜率為_【答案】【解析】【分析】設出的切點坐標，求導，利用導數幾何意義表達出切線斜率，寫出切線方程，根據圓心到半徑距離為半徑列出方程，求出，從而求出斜率.【詳解】設的切點為，故，則切線方程為：，即圓心到圓的距離為，即，解得：或（舍去）所以，則的斜率為故答案為：15（2022湖北武漢模擬預測）已知函數，則_.【答案】-2【解析】【分析】利用復合函數求導法則求導，求出函數，再求函數值作答.【詳解】由函數求導得：，當時，解得，因此，所以.故答案為：-216（2022全國贛州市第三中學模擬預測（理）已知，且，那么_.【答案】【解析】【分析】在題中等式兩邊同乘可得，可得出，由可求得的值，進而可求得的值.【詳解】因為，所以，即，所以，因為，則，所以，解得，所以，因此，.故答案為：.四、解答題17（2022全國高三專題練習（文）下列函數的導函數（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】直接根據求導公式及導數的運算法則即可求出（1）（3）（4）的導數；利用二倍角公式化簡（2）中的函數解析式，再