1、PAGE29二次函數yabc的圖象和性質第三課時盧文一、教學目標（一）學習目標學會運用待定系數法求二次函數解析式，熟練應用已知圖象上三個點能確定二次函數解析式掌握二次函數解析式的三種形式，并會選用不同的形式，用待定系數法求二次函數的解析式（二）學習重點通過對用待定系數法求二次函數解析式的探究，掌握求解析式的方法（三）學習難點能靈活根據條件恰當地選擇解析式，體會二次函數解析式之間的轉化在實際運用中確立二次函數表達式二、教學設計（一）課前設計1預習任務（1）二次函數表達式常見的三種形式是：一般式：；頂點式：；交點式：求二次函數表達式的常用方法是待定系數法預習自測（1）若拋物線經過（0，1），（-1

2、，0），（1，0）三點，則此拋物線的解析式為（）=1=-1=-1=-1【知識點】待定系數法求解析式，解方程組【解題過程】解：設所求函數的解析式為y=a2bc，把（0，1），（-1，0），（1，0）分別代入，得：解得所求的函數的解析式為故選C【思路點撥】已知三點，用待定系數法求拋物線的解析式【答案】C（2）某拋物線的頂點坐標為（1，-2），且經過（2，1），則拋物線的解析式為（）=32-6-5By=32-61Cy=3261Dy=3265【知識點】待定系數法求解析式，解方程組【解題過程】解:拋物線的頂點坐標為（1，-2），且經過（2，1），設拋物線的解析式為y=a（-1）2-2，把（2，1）代入得

3、：1=a（2-1）2-2，解得：a=3，y=3（-1）2-2=32-61，選B【思路點撥】已知頂點，用頂點式求拋物線的解析式。設拋物線的解析式為y=a（-12-2，把（2，1）代入得出1=a（2-1）2-2，求出a【答案】B（3）已知拋物線經過點A（0，6），且與軸兩交點的橫坐標分別為-3，2，則此拋物線的解析式為（）=-26By=-2-6Cy=-256Dy=-25【知識點】待定系數法求解析式【解題過程】解:拋物線經過點A（0，6），且與軸兩交點的橫坐標分別為-3，2，設拋物線的解析式為y=a（3）（-2），把（0，6）代入得：a（03）（0-2）=6，解得：a=-1，y=-（3）（-2），即

4、y=-2-6，故選B【思路點撥】已知圖象與軸交點的坐標，用交點式求拋物線的解析式。【答案】選B（4）二次函數的圖象如圖所示,則它的解析式正確的是=-2=-1=-24【知識點】待定系數法求解析式【數學思想】數形結合【解題過程】解:根據圖象得:拋物線的頂點坐標為1,2,設拋物線的解析式為y=a-12,將2,0代入解析式,得0=a2,解得a=-2,則拋物線解析式為y=-2-12=-24故選D【思路點撥】由圖象與軸交點的橫坐標，可求得對稱軸方程，再用頂點式求拋物線的解析式。二課堂設計1知識回顧（1）二次函數表達式常見的三種形式是：一般式：；頂點式：；交點式：（2）拋物線的頂點坐標是（h,）2問題探究探

5、究一利用一般式求二次函數解析式活動回顧舊知,引出新知問題1：一次函數y=b0有幾個待定系數通常需要已知幾個點的坐標求出它的解析式生答：2個問題2：求一次函數解析式的方法是什么它的一般步驟是什么生答：待定系數法：1設：（表達式）；2代：（坐標代入）；3解：方程（組）；4還原：（寫解析式）問題3：二次函數（a0）有幾個待定系數通常需要已知幾個點的坐標求出它的解析式生答：3個【設計意圖】復習待定系數法求一次函數解析式的方法，引出同樣可用待定系數法求二次函數（a0）的解析式。活動合作探究，已知拋物線上三個點確定二次函數解析式問題：已知拋物線上三個點如何確定二次函數解析式已知二次函數圖象經過點（-3，0

6、），（-1，0），（0，-3），試求出這個二次函數的解析式解析：設一般式ya2bc，再把已知三點坐標代入得到關于a、b、c的方程組，然后解方程組求出a、b、c即可解：設這個二次函數的表達式是y=abc,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=abc得解得所求的二次函數的表達式是y=-4-3歸納總結：一般式法求二次函數解析式的方法：這種已知三點求二次函數解析式的方法叫做一般式法其步驟是：設函數解析式為y=abc；代入后得到一個三元一次方程組；解方程組得到a,b,c的值；把待定系數用數字換掉，寫出函數解析式若題目給出了二次函數圖象上三個點的坐標，則可采用一般式求解【設計意圖】讓學生知道已

7、知拋物線上三個點確定二次函數解析式的方法探究二利用頂點式求二次函數解析式活動合作探究，已知拋物線的頂點坐標確定二次函數解析式問題：已知頂點坐標及圖象上另一點坐標，能否求出二次函數解析式如何進行已知拋物線的頂點坐標為M1，2，且經過點N2，3，求此二次函數的解析式解析：因為拋物線的頂點坐標為M1，2，所以設此二次函數的解析式為ya122，把點N2，3代入解析式解答解：已知拋物線的頂點坐標為M1，2，設此二次函數的解析式為ya122，把點N2，3代入解析式，得a23，即a5，此函數的解析式為y5122歸納總結頂點式法求二次函數解析式的方法：這種知道拋物線的頂點坐標，求解析式的方法叫做頂點式法其步驟

8、是：設函數解析式是y=a-h2；先代入頂點坐標，得到關于a的一元一次方程；將另一點的坐標代入原方程求出a值；a用數值換掉，寫出函數解析式若題目給出了二次函數的頂點坐標，則采用頂點式求解簡單【設計意圖】讓學生知道已知拋物線的頂點坐標確定二次函數解析式的方法探究三利用交點式求二次函數解析式活動已知拋物線與軸兩交點坐標或一交點坐標和對稱軸如何確定二次函數解析式已知拋物線經過兩點A1，0，B0，3，且對稱軸是直線2，求此二次函數的解析式解析：可設交點式ya13，然后把B點坐標代入求出a即可；解：對稱軸是直線2，拋物線與軸另一個交點坐標為3，0設拋物線解析式為ya13，把B0，3代入得a133，解得a1

9、，拋物線解析式為y13243歸納總結：交點式法求二次函數解析式的方法：這種知道拋物線與軸的交點坐標，求解析式的方法叫做交點式法其步驟是：設函數解析式是y=a-；先把兩交點的橫坐標,代入到解析式中，得到關于a的一元一次方程；將另一點的坐標代入原方程求出a值；a用數值換掉，寫出函數解析式已知拋物線與軸兩交點或一交點和對稱軸，則采用交點式求解簡單【設計意圖】讓學生知道已知拋物線與軸兩交點坐標或一交點坐標和對稱軸，確定二次函數解析式的方法探究四用待定系數法求二次函數解析式的訓練活動基礎型例題軸交點的縱坐標為1,且經過點2,5和-2,13,求這個二次函數的表達式【知識點】用待定系數法求二次函數解析式【解

10、題過程】解:因為二次函數圖象與y軸交點的縱坐標為1,所以c=1設二次函數的表達式為y=ab1,將點2,5和-2,13代入y=ab1,得所以所求二次函數的表達式為y=2-21【思路點撥】已知二次函數圖象經過任意三點，可直接設表達式為一般式，代入可得三元一次方程組，解之即可求出待定系數【答案】y=2-21練習:已知二次函數的圖象經過點A3,0，B2，-3，C0，-3，求函數的表達式和對稱軸【知識點】用待定系數法求二次函數解析式【解題過程】解:設函數表達式為y=a2bc，因為二次函數的圖象經過點A3,0，B2，-3，C0，-3，則有解得函數的表達式為y=2-2-3，其對稱軸為直線=1【思路點撥】已知

11、圖象上三點，用一般式求解【答案】y=2-2-3，對稱軸為直線=1例2已知拋物線的頂點是（1，2）且過點（2，3，求這個二次函數的表達式【知識點】用待定系數法求二次函數解析式【解題過程】解:已知頂點坐標設頂點式y=a-h頂點是（1，2）設y=a-12，又過點（2，3）a2-12=3，a=1y=-12，即y=-23【思路點撥】此題只告訴了兩個點的坐標，但其中一點為頂點坐標，所以表達式可設頂點式：y=a-h2，即可得到一個關于字母a的一元一次方程，的符號【答案】y=-23練習：已知一個二次函數的圖象的頂點是-1，2，且過點（0，），求這個二次函數的表達式及與軸交點的坐標【知識點】用待定系數法求二次函

12、數解析式【解題過程】解:已知頂點坐標設頂點式y=a-h頂點是（-1，2）設y=a12，又過點（0，），a012=，a=-y=-12，即y=-2-令y=0，即-2-=0，解得與軸交點坐標為-3，0、1，0【思路點撥】已知拋物線的頂點和圖象上另外一點的坐標，采用頂點式求解關于其圖象與的交點，即當y=0時，解關于的一元二次方程【答案】y=-2-,與軸交點坐標為-3，0、1，0【設計意圖】讓學生熟悉用待定系數法求二次函數解析式。活動2提升型例題例3已知拋物線經過三點（-3，0），（-1，0），（0，-3），試求出這個二次函數的表達式【知識點】用待定系數法求二次函數解析式【解題過程】解：（-3，0）（-

13、1，0）是拋物線y=abc與軸的交點所以可設這個二次函數的表達式是y=a-其中、為交點的橫坐標）因此得y=a31再把點（0，-3）代入上式得a0301=-3，解得a=-1，所求的二次函數的表達式是y=-31,即y=-4-3【思路點撥】因為已知點為拋物線與軸的交點，表達式可設為交點式，再把第三點代入可得一元一次方程，較一般式所得的三元一次方程組簡單而頂點可根據頂點公式求出【答案】y=-4-3練習：已知一拋物線經過三點A-2，0、B1，0、C2，8試求該拋物線的表達式及頂點坐標【知識點】用待定系數法求二次函數解析式【解題過程】解:A-2，0、B1，0是拋物線與軸兩交點，設表達式為y=a2-1，把C

14、2，8代入上式，則有a222-1=8,a=2此函數的表達式為y=222-4，其頂點坐標為（-，-）【思路點撥】已知拋物線與軸兩交點，采用交點式求解【答案】y=222-4，其頂點坐標為（-，-）例4如圖，已知二次函數的圖象過A、C、B三點，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（4，0），點C在y軸正半軸上，且AB=OC（1）求點C的坐標；（2）求二次函數的解析式，并化成一般形式【知識點】待定系數法求二次函數解析式【數學思想】數形結合【解題過程】解：（1）點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（4，0），OC=AB=5，點C的坐標為（0，5）；（2）設二次函數解析式為：y=a2b5，把A（1，0）、

15、B（4，0）代入原函數解析式得出：a=，b=；所以這個二次函數的解析式為：y=25【思路點撥】（1）根據題目所給的信息可以知道OC=AB=5，點C在y軸上可以寫出點C的坐標；（2）二次函數圖象經過點A、B、C；這三個點的坐標已知，根據三點法確定這個二次函數解析式【答案】（1）C（0，5）；（2）y=25練習：已知在直角坐標平面內，拋物線y=2b6經過軸上兩點A，B，點B的坐標為（3，0），與y軸相交于點C（1）求拋物線的表達式；（2）求ABC的面積【知識點】待定系數法求二次函數解析式，求三角形面積【數學思想】數形結合【解題過程】解：（1）把點B的坐標（3，0）代入拋物線y=2b6得0=93b6

16、，解得b=5，所以拋物線的表達式y=256；（2）拋物線的表達式y=256；A（2，0），B（3，0），C（0，6），SABC=16=3【思路點撥】（1）把點B的坐標（3，0）代入拋物線y=2b6，即可得出拋物線的表達式y=256；（2）先求出A（2，0），B（3，0），C（0，6），再利用三角形面積公式求解【答案】（1）y=256；（2）SABC=3【設計意圖】讓學生掌握用待定系數法求解析式活動3探究型例題0,1,B1,2,C2,1,你能確定這個二次函數的表達式嗎你有幾種方法【知識點】二次函數的解析式的求法的綜合運用【數學思想】分類討論【解題過程】解法1：二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標為1

17、,c=1設二次函數的表達式為y=ab1,將點1,2和2,1分別代入y=ab1,二次函數的表達式為y=-21解法2：由A0,1,B1,2,C2,1三個點的特征以及二次函數圖象的對稱性,可得點B1,2是函數圖象的頂點坐標二次函數的表達式為y=a-12,將點0,1代入y=a-12,得a=-1二次函數的表達式為y=-12,即y=-21解法3：設二次函數的表達式為y=abc,將點0,1,1,2和2,1分別代入y=abc,得二次函數的表達式為y=-21【思路點撥】分別找出用三種方法求解析式的條件，分別求解。【答案】y=-21；三種。練習：如圖所示,這是一名學生推鉛球時,鉛球行進高度ym與水平距離m之間的圖

18、象，請求出其表達式。【知識點】待定系數法求二次函數解析式，二次函數圖象性質【數學思想】數形結合【解題過程】解：4,3是拋物線的頂點坐標,設二次函數表達式為y=a-43,把點10,0代入y=a-423,解得a=,因此鉛球行進高度ym與水平距離m之間的函數表達式為y=-43即【思路點撥】觀察圖象知，已知拋物線的頂點和另一點坐標，用頂點式求解。【答案】例6如圖，已知二次函數的圖象經過點A和點B（1）求該二次函數的表達式；（2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點坐標；（3）點，m）與點Q均在該函數圖象上（其中m0），且這兩點關于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點Q到軸的距離【知識點】待定系數法求二次函數解析式，

19、二次函數圖象性質【數學思想】數形結合【解題過程】解：（1）將=-1，y=-1；=3，y=-9分別代入解得二次函數的表達式為（2）對稱軸為=2；頂點坐標為（2，-10）（3）將（m，m）代入，得，解得m0，不合題意，舍去m=6點，m）代入拋物線解析式求出m值，再求Q點坐標。【答案】（1）；（2）對稱軸為=2；頂點（2，-10）；（3）m=6，點Q到軸的距離為6練習：如圖，拋物線y=a22c經過點A（0，3），B（1，0），請解答下列問題：（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的頂點為點D，對稱軸與軸交于點E，連接BD，求BD的長【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的性質【數學思想】數形結

20、合【解題過程】解：（1）拋物線y=a22c經過點A（0，3），B（1，0），將A與B坐標代入得：，解得：，則拋物線解析式為y=223；（2）點D為拋物線頂點，由頂點坐標（，）得，D（1，4），對稱軸與軸交于點E，DE=4，OE=1，B（1，0），BO=1，BE=2，在RtBED中，根據勾股定理得：BD=【思路點撥】（1）將A與B代入拋物線解析式求出a與c的值，即可確定出拋物線解析式；（2）利用頂點坐標公式表示出D點坐標，進而確定出E點坐標，得到DE與OE的長，根據B點坐標求出BO的長，進而求出BE的長，在直角三角形BED中，利用勾股定理求出BD的長【答案】（1）y=223；（2）BD=【設計意

21、圖】在實際運用中確立二次函數解析式，并用二次函數解析式解決其它問題3課堂總結知識梳理待定系數法求解析式的一般步驟：設：（表達式）；代：（坐標代入）；解：方程（組）；還原：（寫解析式）待定系數法求二次函數解析式的一般方法：已知條件所選方法已知三點坐標用一般式法：已知頂點坐標或用頂點法：對稱軸或最值已知拋物線與軸用交點法：的兩個交點（為交點的橫坐標）重難點歸納在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸或最大（小）值，常設其解析式為頂點式

22、來求解；當已知拋物線與軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解（三）課后作業基礎型自主突破=abc經過點-1,10和2,7,且3a2b=0,則該拋物線的解析式為_【知識點】用待定系數法求二次函數解析式【解題過程】解：根據題意,得解方程組,得所以該拋物線的解析式為y=2-3=2-35【思路點撥】用待定系數法，列方程組求解。【答案】y=2-352已知二次函數的圖象如圖所示,則這個二次函數的表達式為_【知識點】用待定系數法求二次函數解析式【數學思想】數形結合【解題過程】解：拋物線過0,-3,c=-3,設二次函數的表達式為y=ab-3,把-1,0,3,0分別代入上式,得解這個方程組,得這個二次函

23、數的表達式為y=-2-3【思路點撥】用待定系數法，列方程組求解。【答案】y=-2-3=bc的圖象經過點3,0和4,0,則這個二次函數的表達式是_【知識點】用待定系數法求二次函數解析式【解題過程】解：設二次函數的解析式為y=a-3-4,而a=1,所以二次函數的解析式y=-3-4=-7=-712【思路點撥】已知拋物線與軸兩交點，采用交點式求解【答案】y=-7124已知二次函數的圖象經過點（-1，-5），（0，-4）和（1，1），則這二次函數的表達式為（）=-63=-2=23-4【知識點】用待定系數法求二次函數解析式【解題過程】解：設函數表達式為y=abc，把（-1，-5），（0，-4）和（1，1）

24、分別代入上式，得：解得函數的表達式為y=2【思路點撥】已知圖象上三點，用一般式求解【答案】D5已知某二次函數的圖象如圖所示，則這個二次函數的解析式為（）=-3-1=3-1=-31=313【知識點】用待定系數法求二次函數解析式【數學思想】數形結合【解題過程】解:拋物線的頂點為（1，3）設拋物線的頂點式為y=a-13，把（0，0）代入，得a=-3，該二次函數的解析式為y=-3-13，故選A【思路點撥】已知拋物線的頂點和圖象上另外一點的坐標，采用頂點式求解【答案】A（2，0）和B（-1，0），且與y軸交于點C，若OC=2則這條拋物線的解析式是（）=-2=2或y=2=-2=-2或y=-2【知識點】用待

25、定系數法求二次函數解析式【數學思想】數形結合【解題過程】解:A（2，0）和B（-1，0）是拋物線與軸兩交點，設表達式為y=a-21，OC=2C點坐標為（0，2）或（0，-2）當C點坐標為（0，2）時，則有a0-201=2，a=-1拋物線的解析式為y=-21，即y=-2當C點坐標為（0，-2）時，則有a0-201=-2，a=1拋物線的解析式為y=-21，即y=-2故選D【思路點撥】已知拋物線與軸兩交點，采用交點式求解注意分類討論。【答案】D能力型師生共研7若二次函數的與的部分對應值如下表：765432y27133353則當1時，的值為（）A、5B、3C、13D、27【知識點】待定系數法求二次函數

26、解析式，二次函數性質。【解題過程】解法一：由表可知，拋物線的對稱軸為3，頂點為（3，5），設二次函數的解析式為（3）25，把（2，3）代入得，2二次函數的解析式為2（3）25當1時，27故選D解法二：由表可知，拋物線的對稱軸為3，頂點為（3，5），由拋物線的對稱性知，=1時y的值與=7時y的值相等，=7時y的值為27，=1時y的值也為27，故選D【思路點撥】此題既可用待定系數法求，也可用拋物線的對稱性求。【答案】D8某公園要建造一個圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，在柱子上離地面1米的B處安裝一個噴頭向外噴水李冰同學建立了如圖所示的直角坐標系，得到該拋物線還經過2,1,兩點，請求出

27、該噴泉噴出的最遠距離，即地面點A距離點B所在的柱子的距離【知識點】待定系數法求二次函數解析式，二次函數性質。【數學思想】數形結合【解題過程】解：由題意，B（0，1），圖象還過2,1,兩點，設拋物線解析式為ya2bc，則有得：解得拋物線解析式為：由，解得OA=3,噴泉噴出的最遠距離為3米【思路點撥】先用待定系數法求出二次函數解析式，再令y=0，解一元二次方程求出。【答案】3米探究型多維突破9如圖，拋物線y2bc過點A4，3，與y軸交于點B，對稱軸是3，請解答下列問題：1求拋物線的解析式；2若和軸平行的直線與拋物線交于C，D兩點，點C在對稱軸左側，且CD8，求BCD的面積【知識點】待定系數法求二次函數解析式，二次函數性質，三角形面積。【數學思想】數形結合【解題過程】解：1把點A4，3代入y2bc得164bc3，c4b19對稱軸是3，eqfb,23，b6，c5，拋物線的解析式是y265；CD軸，點C與點D關于3對稱點C在對稱軸左側，且CD8，點C的橫坐標為7，點C的縱坐標為7267512點B的坐標為0，5，BCD中CD邊